(共14张PPT)
11.1.1 三角形的边
学前温故
新课早知
1.线段有 个端点,不向任何一方延伸,可以 其长度.
2.角:有 的两条射线所构成的图形.
两
度量
公共端点
学前温故
新课早知
1.由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形.如图的三角形记作 ,这个三角形的边是线段 ,三角形的顶点是点 ,
是相邻两边组成的角,叫做三角形的内角,简称三角形的角.
首尾顺次相接
△DEF
DE,EF,DF
D,E,F
∠D,∠E,∠F
学前温故
新课早知
2.如图,图中三角形的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.三角形按三个内角的大小可以分为 .三角形按边的相等关系可以分为 和等腰三角形,而等腰三角形又分为底边和腰不相等的等腰三角形和 .
C
题图中的三角形有△ABC,△ABD,△ADC.
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三边都不相等的三角形
等边三角形
学前温故
新课早知
4.给出下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②三角形按边的相等关系分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;③三角形按角的大小分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确说法的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.0
5.三角形两边的和 第三边,三角形两边的差 第三边.
B
①③正确.
大于
小于
1.三角形的概念
【例1】 观察图形,回答问题.
(1)图中共有多少个三角形
(2)写出其中以EC为边的三角形.
(3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”,则以∠B为公共角的“共角三角形”有哪些
解:(1)图中共有5个三角形.
(2)△ACE,△DCE,△BCE.
(3)△DBE与△CBE,△CBA与△CBE,△DBE与△CBA.
2.三角形三边的关系
【例2】已知一个等腰三角形的两边长分别为5,6,求这个等腰三角形的周长.
分析因为等腰三角形的两腰相等,所以它的三边长可能是5,5,6或6,6,5.于是,本题要分情况进行讨论.
解:当长为5的边是腰时,三角形的三边长是5,5,6.
此时5+5>6,符合三角形的三边关系.所以这个等腰三角形的周长是5+5+6=16.
当长为6的边是腰时,三角形的三边长是6,6,5.
此时5+6>6,符合三角形的三边关系.所以这个等腰三角形的周长是5+6+6=17.
因此,这个等腰三角形的周长是16或17.
1
2
3
4
5
6
1.下列长度的三条线段, 不能组成三角形的是( ).
A.2,5,1 B.4,9,6
C.15,20,8 D.9,15,8
答案
答案
关闭
A
1
2
3
4
5
6
2.若一个三角形的两边长分别为3 cm,6 cm,则它的第三边的长可能是( )
A.2 cm B.3 cm
C.6 cm D.9 cm
答案
解析
解析
关闭
设三角形的第三边的长为 x cm,则6-3答案
解析
关闭
D
1
2
3
4
5
6
3.任选长为13 cm,10 cm,7 cm,5 cm的四条线段中的三条线段为边,可以组成三角形的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
解析
解析
关闭
先确定从四条线段中,选出三条线段作为一组有几种情况,再根据三角形的三边关系判断有哪几组可以组成三角形,即选出的三条线段长度为13 cm,10 cm,5 cm;13 cm,10 cm,7 cm;13 cm,7 cm,5 cm;10 cm,5 cm,7 cm.但13 cm,7 cm,5 cm不符合要求,故选C.
答案
解析
关闭
C
1
2
3
4
5
6
4.如图,已知D是△ABC的边AB上的一点,连接CD,则∠ADC是 的内角,BC是△ABC的边,也是 的边.
答案
答案
关闭
△ADC △BCD
1
2
3
4
5
6
5.若等腰三角形的两边长分别为4和6,则第三条边长为 .
答案
答案
关闭
6或4
1
2
3
4
5
6
6.如图,点D在线段BC上,找出满足下列条件的三角形(用符号表示):
(1)以A为顶点的三角形;
(2)以AD为边的三角形;
(3)以∠C为内角的三角形.
答案
答案
关闭
(1)以A为顶点的三角形有△ABC,△ABD,△ACD.
(2)以AD为边的三角形有△ABD,△ADC.
(3)以∠C为内角的三角形有△ABC,△ADC.(共13张PPT)
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
学前温故
新课早知
1.由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形.
2.从一个角的顶点出发,把这个角分成 的两个角的 ,叫做这个角的平分线.
首尾顺次
相等
射线
学前温故
新课早知
1.(1)如图①,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 .
(2)如图②,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的 .
高
中线
学前温故
新课早知
(3)如图③,三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做 .
(4)如图④,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的 .
三角形的重心
角平分线
学前温故
新课早知
2.如图,下列说法正确的是( ).
A.如图①,由AB,BC,DE三条线段组成的图形是三角形
B.如图②,已知∠BAD=∠CAD,则射线AD是△ABC的角平分线
C.如图③,已知D为边BC上的中点,则射线AD是△ABC的中线
D.如图④,已知AD⊥BC于点D,则线段AD是△ABC的边BC上的高
D
1.认识三角形的三条重要线段
【例1】如图,AD⊥BC于点D,GC⊥BC于点C,CF⊥AB于点F,下列关于高的说法错误的是( ).
A.在△ABC中,AD是边BC上的高
B.在△GBC中,CF是边BG上的高
C.在△ABC中,GC是边BC上的高
D.在△GBC中,GC是边BC上的高
解析:根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析、判断求解.
选项A,在△ABC中,AD是边BC上的高,故本选项中的说法正确;
选项B,在△GBC中,CF是边BG上的高,故本选项中的说法正确;
选项C,在△ABC中,GC不是边BC上的高,故本选项中的说法错误;
选项D,在△GBC中,GC是边BC上的高,故本选项中的说法正确.故选C.
答案:C
2.三角形的三条重要线段的简单应用
【例2】 如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,AB=6,AC=8,BC=10,∠CAB=90°.
(1)求AD的长;
(2)求△ABE的面积;
(3)计算△ACE和△ABE的周长差.
分析直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半,又等于斜边与斜边上的高的乘积的一半;因为BE=CE= BC,所以△ABE的面积是△ABC面积的一半;△ACE的周长与△ABE的周长之差为AC+EC+AE-(AB+BE+AE)=AC-AB.
1
2
3
4
5
1.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是( )
A.线段BD是△ABC的角平分线
B.线段CE是△BCD的角平分线
D.线段CE是△ABC的角平分线
答案
答案
关闭
D
1
2
3
4
5
2.在下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的是( ).
答案
答案
关闭
A
1
2
3
4
5
3.如图,线段AM是△ABC的中线,若用S1表示△ABM的面积,用S2表示△ACM的面积,则S1与S2的大小关系是( ).
A.S1>S2
B.S1C.S1=S2
D.以上三种情况都有可能
答案
答案
关闭
C
1
2
3
4
5
4.如果一个三角形的三条高的交点在三角形的内部,那么该三角形是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
答案
答案
关闭
锐角
1
2
3
4
5
5.如图,
(1)在△ABC中,边BC上的高是线段 ;
(2)在△AEC中,边AE上的高是线段 .
答案
答案
关闭
(1)AB (2)CD(共10张PPT)
11.1.3 三角形的稳定性
学前温故
新课早知
三角形的三条重要线段是 、 、 .
高
中线
角平分线
学前温故
新课早知
1.三角形是具有 性的图形,四边形是不具有 性的图形.
2.判断:只要在四边形的木架上加钉一根木条,将它的一组相对顶点连接起来,这个四边形就可以固定了.( ).
稳定
稳定
√
1.三角形的稳定性
【例1】 (1)如图,下列图形中哪些具有稳定性
(2)对上面不具有稳定性的图形,请适当地添加线段,使它具有稳定性.
分析:(1)根据“三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性”可作出判断.(2)添加后需构成三角形.
解:(1)具有稳定性的图形是①④⑥.
(2)答案不唯一,如图所示.
2.三角形的稳定性在生活中的应用
【例2】 工人师傅在安装木制门框时,为防止变形常常如图中所示,钉上两条斜拉的木条,这样做是依据三角形的 性.
解析:木制门框是四边形,很容易变形,当按题图所示钉上两条斜拉的木条时,在其上部的两个角处就构成了两个三角形,依据三角形的稳定性,整个门框也就不易变形了.
答案:稳定
1
2
3
4
答案
答案
关闭
C
1.下列图形中不具有稳定性的是( ).
1
2
3
4
2.某活动衣帽架如图所示,它应用了四边形的 性.
答案
答案
关闭
不稳定
1
2
3
4
3.撑上支撑后的自行车能稳稳地停在地上,是因为三角形具有 性.
答案
答案
关闭
稳定
1
2
3
4
4.照相机的支架是三条腿,这是利用了三角形的 .现实生活中还有利用三角形的这个特性的例子吗 如果知道,请写出来: .(只写一个)
答案
答案
关闭
稳定性 自行车的三角梁(答案不唯一)(共12张PPT)
11.2.1 三角形的内角
学前温故
新课早知
1.平角的度数是 .
2.两条平行线被第三条直线所截,则 相等;内错角 ;同旁内角 .
180°
同位角
相等
互补
学前温故
新课早知
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于 .如图,在△ABC中,∠A+∠B+∠C= .
2.在△ABC中,∠A=55°,∠B=25°,则∠C的度数是 .
3.直角三角形的两个锐角 .
180°
180°
100°
互余
4.有两个角 的三角形是直角三角形.
互余
三角形内角和定理的运用
【例题】 如图,在△ABC中,AE是边BC上的高,AD是角平分线, ∠B=42°,∠C=68°,分别求∠BAC,∠DAE的度数.
分析从已知条件入手,首先对△ABC应用三角形内角和定理求出∠BAC的度数,然后根据角平分线性质求出∠DAC的度数;在Rt△AEC中,由∠EAC与∠C互余,求出∠EAC的度数,最后根据∠DAE=∠DAC-∠EAC求出∠DAE的度数.
解:∵∠B=42°,∠C=68°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠DAC= ∠BAC=35°.
∵AE是高,∠C=68°,
∴∠EAC=90°-∠C=22°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=35°-22°=13°.
1
2
3
4
5
6
7
1.在△ABC中,若∠A=2∠B=70°,则∠C的大小是( ).
A.40° B.75°
C.35° D.105°
答案
解析
解析
关闭
∵∠A=70°,∠B=35°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-35°=75°.
答案
解析
关闭
B
1
2
3
4
5
6
7
2.如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=40°, DE∥BC,则∠AED的度数是( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案
解析
解析
关闭
∵∠A=60°,∠B=40°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=80°.又DE∥BC,
∴∠AED=∠C=80°.
答案
解析
关闭
D
1
2
3
4
5
6
7
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
1
2
3
4
5
6
7
4.一块三角形木板的残余部分如图所示,量得∠A=100°,∠B=40°,则这块三角形木板的另外一个角的大小是 .
答案
答案
关闭
40°
1
2
3
4
5
6
7
5.在△ABC中,若∠A=40°,∠B=∠C,则∠C的度数是 ,按角分类此三角形是 三角形.
答案
解析
解析
关闭
锐角 ∵∠A=40°,
∴∠B+∠C=180°-40°=140°.
∵∠B=∠C,
∴∠B=∠C=70°.
按角分类应是锐角三角形.
答案
解析
关闭
70°
1
2
3
4
5
6
7
6.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠C的度数是 ,按角分类此三角形是 三角形.
答案
解析
解析
关闭
直角 可设∠A=x°,∠B=2x°,∠C=3x°.
由“三角形的内角和是180°”,可得方程
x°+2x°+3x°=180°,
解得x=30.
所以∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.
按角分类应是直角三角形.
答案
解析
关闭
90°
1
2
3
4
5
6
7
7.
如图,AB∥CD,AE交CD于点C,DE⊥AE,垂足为E,∠A=37°,则∠D的度数是 .
答案
解析
解析
关闭
∵AB∥CD,
∴∠DCE=∠A=37°.
∵DE⊥AE,
∴∠D=90°-37°=53°.
答案
解析
关闭
53°(共12张PPT)
11.2.2 三角形的外角
学前温故
新课早知
1.三角形三个内角的和等于 .
2.在两条直线相交所构成的四个角中,相邻的两个角的度数和为 .
180°
180°
学前温故
新课早知
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的 .如图, 是△ABC的一个外角.
2.三角形的外角等于 的两个内角的和.
3.如图,在△ABC中,∠A=80°,∠B=50°,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于( ).
A.100° B.120° C.130° D.150°
外角
∠ACD
与它不相邻
C
∠ACD=∠A+∠B=80°+50°=130°.
1.利用三角形外角的性质求角度
【例1】 如图,在△ABC与△DBE中,AC∥DE,点B,C,E在同一条直线上,AC,BD相交于点F.若∠BDE=85°,∠BAC=55°,∠ABD∶∠DBE=3∶4,求∠DBE的度数.
分析首先根据AC∥DE,∠BDE=85°,应用平行线的性质,求出∠BFC的度数;然后求出∠ABD的度数,最后根据∠ABD∶∠DBE=3∶4,求出∠DBE的度数即可.
解:∵AC∥DE,∠BDE=85°,∴∠BFC=85°.
∵∠ABD+∠BAC=∠BFC,
∴∠ABD=85°-55°=30°.
∵∠ABD∶∠DBE=3∶4,∴∠DBE=40°.
2.三角形内角、外角的不等关系
【例2】 如图,D是△ABC外角∠ACE的平分线与BA的延长线的交点.求证:∠BAC>∠B.
分析∠BAC,∠DCE分别是△ACD,△BCD的一个外角,根据三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角进行证明.
证明∵∠BAC是△ACD的一个外角,
∴∠BAC>∠ACD.
∵∠DCE是△BCD的一个外角,
∴∠DCE>∠B.
又CD平分∠ACE,∴∠ACD=∠DCE,
∴∠BAC>∠ACD=∠DCE>∠B,即∠BAC>∠B.
1
2
3
4
5
6
7
1.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为 ( ).
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
1
2
3
4
5
6
7
2.若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ).
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
答案
答案
关闭
C
1
2
3
4
5
6
7
3.将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为( )
A.85° B.75°
C.65° D.60°
答案
答案
关闭
B
1
2
3
4
5
6
7
4.如图,已知∠α=125°,∠1=50°,则∠2的度数是 .
答案
解析
解析
关闭
因为∠α为三角形的外角,所以∠α=∠1+∠2,所以∠2=∠α-∠1=125°-50°=75°.所以∠β=180°-∠2=180°-75°=105°.
答案
解析
关闭
105°
1
2
3
4
5
6
7
5.如图,同一平面内的直线a,b分别经过线段OK的两个端点(其他数据如图),则a,b相交所成的锐角的度数是 .
答案
解析
解析
关闭
假设a,b相交所成点P(图略),则100°的角是△OKP的一个外角,所以a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°.
答案
解析
关闭
30°
1
2
3
4
5
6
7
6.如图,用“>”把∠1,∠2,∠3,∠4连接起来:
.
答案
解析
解析
关闭
根据三角形外角的性质定理即可得到∠3>∠1>∠2>∠4.
答案
解析
关闭
∠3>∠1>∠2>∠4
1
2
3
4
5
6
7
7.如图,在△ABC中,∠A=60°,BD,CE分别是边AC,AB上的高,H是BD与CE的交点,求∠BHC的度数.
答案
答案
关闭
∵BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高,
∴∠BEH=∠ADB=90°.
又∠A=60°,
∴∠ABH=30°.
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,知∠BHC=∠ABH+∠BEH,即∠BHC=30°+90°=120°.(共14张PPT)
11.3.1 多边形
学前温故
新课早知
由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫做三角形.
首尾顺次
学前温故
新课早知
1.在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做
;多边形按组成它的 分成三角形、四边形、五边形…… 是最简单的多边形.如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就叫做 .
多边形
线段的条数
三角形
n边形
学前温故
新课早知
2.多边形相邻两边组成的角叫做它的 ,如图,六边形ABCDEF的内角分别是 ;多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 ,如图,
是六边形ABCDEF的一个外角;连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的 ,如图,线段 是六边形ABCDEF的一条对角线.
内角
∠FAB,∠B,∠BCD,∠CDE,∠E,∠F
外角
∠EDG
对角线
AC
学前温故
新课早知
3.如图,从下面图形的其中一个顶点出发作对角线.
学前温故
新课早知
4.画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在的直线,整个四边形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做 .
5.下列图形不是凸多边形的是( ).
6.各个角都 ,各条边都 的多边形叫做正多边形.
凸四边形
D
相等
相等
1.多边形的概念
【例1】 如图,把一张长方形纸片对折,再以折痕AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,则剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是( ).
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
解析:由折叠的方法可知,剪出的以O为顶点的等腰三角形共有6个,且这6个等腰三角形大小一样,以O为顶点的角的度数为60°,所以三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是正六边形.
答案:D
2.多边形的对角线
【例2】 从十五边形的一个顶点可引出 条对角线,并把十五边形分成 个三角形.
解析:因为与每一个顶点不相邻的顶点数为12(即15-3),所以从一个顶点可引出12条对角线.结合图形(图略)可知这些对角线将十五边形分成了13个三角形.
答案:12 13
1
2
3
4
5
1.在下列图形中,是正多边形的是( ).
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.长方形 D.正七边形
答案
答案
关闭
D
1
2
3
4
5
2.下列图形不是凸多边形的是( ).
答案
答案
关闭
A
1
2
3
4
5
3.下列说法正确的是( ).
A.四条边都相等的四边形是正方形
B.四个角都相等的四边形是正方形
C.等边三角形不是正多边形
D.正方形是正多边形
答案
解析
解析
关闭
正多边形要求各条边都相等,各个角也都相等,两个条件缺一不可,排除A,B;等边三角形是正多边形,排除C.故选D.
答案
解析
关闭
D
1
2
3
4
5
4.若一个正多边形的周长是100,边长为10,则该正多边形的边数n= .
答案
答案
关闭
10
1
2
3
4
5
5.从正八边形的一个顶点可引出 条对角线,这些对角线把这个正八边形分成了 个三角形.
答案
答案
关闭
5 6(共11张PPT)
11.3.2 多边形的内角和
学前温故
新课早知
1.三角形的内角和等于 .
2.多边形的边与它的 组成的角叫做多边形的外角.
180°
邻边的延长线
学前温故
新课早知
1.n边形内角和等于 .
2.六边形的内角和为( ).
A.90° B.180° C.360° D.720°
3.多边形的外角和等于 .
4.如果一个多边形的内角和等于其外角和,那么这个多边形是( ).
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
(n-2)×180°
D
360°
B
1.运用多边形的内角和进行计算
【例1】 已知在五边形ABCDE中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D∶∠E=2∶3∶4∶5∶6,求其内角中最大角和最小角的度数.
分析:已知每个内角之间的关系,可以设未知数,列出它们和的表达式,利用多边形的内角和公式列出方程求解.
解:设五边形的各内角度数分别为2x°,3x°,4x°,5x°,6x°,
则根据多边形的内角和公式,得2x+3x+4x+5x+6x=(5-2)×180,解得x=27.
所以6x°=162°,2x°=54°.
所以最大角的度数为162°,最小角的度数为54°.
2.运用多边形的外角和计算
【例2】 已知一个多边形的每个内角都相等,且每个内角的度数等于和它相邻的外角的度数的3倍,求这个多边形的边数.
解法1设这个多边形的边数为n.由题意知,这个多边形的内角和等于其外角和的3倍,于是得方程(n-2)·180=360×3,解得n=8.故这个多边形的边数为8.
解法2设这个多边形的每个外角都为x°,则它的每个内角都为3x°.根据题意,得x+3x=180,解得x=45.所以这个多边形外角的个数是360÷45=8.故这个多边形的边数为8.
1
2
3
4
5
1.多边形的内角和不可能为( )
A.180° B.540°
C.1 080° D.1 200°
答案
答案
关闭
D
1
2
3
4
5
2. 正十边形的每一个外角的度数为( )
A.36° B.30°
C.144° D.150°
答案
答案
关闭
A
1
2
3
4
5
3.如图,一个四边形的其中三个外角分别为110°,85°,30°,则∠α等于( ).
A.30° B.45°
C.70° D.85°
答案
解析
解析
关闭
∠α的补角为180°-∠α,由多边形的外角和等于360°,
知(180°-∠α)+110°+85°+30°=360°,解得∠α=45°.
答案
解析
关闭
B
1
2
3
4
5
4.当多边形的边数增加1时,它的内角和 ,它的外角和 .
答案
答案
关闭
增加180° 不变
1
2
3
4
5
5.已知一个多边形的每个内角都是150°,则这个多边形的内角和是多少度
答案
答案
关闭
设这个多边形的边数为n,由题意知每个外角都是30°.由多边形的外角和为360°,得n=12.
则此多边形的内角和为
180°×(12-2)=180°×10=1 800°.
