(共13张PPT)
12.1 全等三角形
学前温故
新课早知
1.三角形:由不在同一条直线上的三条线段 相接组成的图形.
2.构成三角形的元素:(1) ;(2)三条边;(3) .
3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但 、
都没有改变.
首尾顺次
三个顶点
三个内角
形状
大小
学前温故
新课早知
1.形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够 的两个图形叫做全等形,能够 的两个三角形叫做全等三角形.
两个全等三角形可以通过 、 、 得到.
2.观察图中的各个图形,其中的全等图形为 .(用编号表示)
完全重合
完全重合
平移
翻折
旋转
①和⑥,②和⑤,③和⑧
学前温故
新课早知
3.全等用符号“ ”表示,读作“ ”.
4.如图,若把△BEC沿着直线BC向左平移,就得到△CFA,则△FAC与△ECB的关系是 .
5.全等三角形的 相等,对应角相等.
6.如图,若两个三角形全等,则∠α等于( ).
A.72° B.60° C.58° D.50°
≌
全等于
全等
对应边
D
1.确定全等三角形的对应边、对应角
【例1】 如图,△ABC≌△A'B'C',其中∠A=36°,∠C'=24°,则∠B= .
解析:∵△ABC≌△A'B'C',∴∠C=∠C'=24°.
∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-36°-24°=120°.
答案: 120°
2.全等三角形性质的应用
【例2】 如图,已知△ACE≌△DBF.
(1)若AD=8,BC=3,求AC的长;
(2)求证:CE∥BF.
分析全等三角形→对应边相等→求AC的长;全等三角形→对应角相等→利用角的相等关系证明CE∥BF.
(1)解∵△ACE≌△DBF,∴AC=DB.
∴AC-BC=DB-BC,即AB=DC.
∴AC=AB+BC=2.5+3=5.5.
(2)证明∵△ACE≌△DBF,
∴∠ACE=∠DBF.∴CE∥BF.
1
2
3
4
5
6
1.下列说法正确的是( ).
A.形状相同的两个三角形全等
B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等
D.所有的等边三角形全等
答案
解析
解析
关闭
形状和大小完全相同,能够重合的两个三角形全等;面积只跟三角形的底与高的乘积有关,与形状无关;边长不同的等边三角形不全等.
答案
解析
关闭
C
1
2
3
4
5
6
2.如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE=( ).
A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB
答案
答案
关闭
A
1
2
3
4
5
6
3.在△ABC中,∠B=∠C,如果与△ABC全等的一个三角形中有一个角为95°,那么95°的角在△ABC中的对应角是( ).
A.∠A B.∠B
C.∠B或∠C D.∠A或∠C
答案
答案
关闭
A
1
2
3
4
5
6
4.如图,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是 .
答案
解析
解析
关闭
∵△ABC≌△DEF,
∴AB=DE.
∵AB=AE+BE=1+4=5,∴DE=AB=5.
答案
解析
关闭
5
1
2
3
4
5
6
5.如图,△ADB≌△ACE,∠E=40°,∠C=20°,则∠DAB的度数是 .
答案
答案
关闭
120°
1
2
3
4
5
6
6.如图,△ABC≌△AED,且∠C=∠D,指出其他的对应角和对应边.
答案
答案
关闭
解 其他的对应角:∠CAB与∠DAE,∠B与∠E;对应边:AB与AE,AC与AD,BC与ED.(共11张PPT)
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
学前温故
新课早知
如图,△ABC≌△A'B'C',则有:(1)AB=A'B',(2)BC=B'C',(3) ,(4)∠A=∠A',(5)∠B=∠B',(6) .
AC=A'C'
∠C=∠C‘
学前温故
新课早知
1.若两个三角形全等,则它们的对应边相等,对应角相等.反过来,若两个三角形满足三条边分别相等,三个角分别相等,那么这两个三角形 .
2. 的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).
3.三角形三条边的长度确定了,这个三角形的 、 也就确定了.
4.下列判断两个三角形全等的条件中,正确的是 ( ).
A.一条边对应相等 B.两条边对应相等
C.三个角对应相等 D.三条边对应相等
全等
三边分别相等
形状
大小
D
利用“SSS”定理证明两个三角形全等
【例题】 如图,已知在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.求证: ∠C=∠A.
分析:要证明∠C=∠A,图形中没有它们所在的三角形,可以连接BD,构造△CDB与△ADB, 题设已知条件以及DB是它们的公共边,可得到△CDB≌△ADB,从而∠C=∠A,问题得证.
证明:如图,连接BD.
在△CDB与△ADB中,
∴△CDB≌△ADB(SSS).∴∠C=∠A.
1
2
3
4
5
1.如图,如果AC=BD,BC=AD,那么△ABC≌ ,理由是 .
△BAD
三边分别相等的两个三角形全等(或SSS)
1
2
3
4
5
2.如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC, ∠B=130°,则∠D= .
130°
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠D=∠B=130°.
1
2
3
4
5
3.如图,已知AB=CD,若根据“SSS”证得△ABC≌△CDA,则需要添加的条件是 .
CB=AD
1
2
3
4
5
4.如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.
∴△ABD ≌△BAC.
∴∠ADB=∠BCA.
1
2
3
4
5
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB上的点,且AD=BD, AE=BC,DE=DC.求证:DE⊥AB.
∴△ADE≌△BDC(SSS),
∴∠AED=∠C=90°,
∴DE⊥AB.(共11张PPT)
第2课时 利用“边角边”判定三角形全等
判定三角形全等的方法:三边分别 的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
学前温故
新课早知
相等
边边边
SSS
学前温故
新课早知
1.判定三角形全等的方法:两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
2.下面结论错误的是( ).
A.边长相等的两个等边三角形全等
B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两条边对应相等的两个等腰三角形全等
D.腰对应相等且两腰的夹角相等的两个等腰三角形全等
相等
边角边
SAS
C
利用“边角边”定理判定两个三角形全等
【例题】 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,D是AC的中点,将一个锐角为45°的等腰直角三角尺如图放置,使三角尺斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.
试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
解:BE=EC,BE⊥EC.
证明:∵AC=2AB,D是AC的中点,
∴AB=AD=CD.
由三角形内角和定理知∠EAD=∠EDA=45°,
∴∠EAB=∠EDC=135°.
∵△AED为等腰直角三角形,∴EA=ED.
∴△EAB≌△EDC.
∴∠AEB=∠DEC,BE=EC.
∴∠BEC=∠AED=90°,∴BE⊥EC.
1
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3
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5
1.如图,使△ABC≌△ADC成立的条件是( ).
A.AB=AD,∠B=∠D
B.AB=AD,∠ACB=∠ACD
C.BC=DC,∠BAC=∠DAC
D.AB=AD,∠BAC=∠DAC
答案
答案
关闭
D
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4
5
2.如图,如果AD=BC,∠1=∠2,那么△ABC≌△CDA,根据是 .(填字母简写)
答案
答案
关闭
SAS
1
2
3
4
5
3.如图,AB=AC,要说明△ABE≌△ACD,若以“SAS”为依据,还缺一个条件是 .
SAS
答案
答案
关闭
AE=AD(或EC=DB)
1
2
3
4
5
4.如图,已知∠1=∠2,AO=BO.
求证:AC=BC.
答案
答案
关闭
在△AOC与△BOC中,
∵AO=BO,∠1=∠2,OC=OC,∴△AOC≌△BOC.
∴AC=BC.
1
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3
4
5
5.如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB, EA=FB,AB=CD.
(1)求证:∠E=∠F;
(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.
答案
答案
关闭(共11张PPT)
第3课时 利用“角边角”“角角边”
判定三角形全等
学前温故
新课早知
判定三角形全等的方法:
(1)三边分别 的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
(2)两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
相等
边边边
SSS
相等
边角边
SAS
学前温故
新课早知
1.判定三角形全等的方法:
(1)两角和它们的夹边分别 的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
(2)两角分别相等且其中一组等角的对边 的两个三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
2.在△ABC与△A'B'C'中,AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B',则△ABC≌△A'B'C'的根据是( ).
A.SAS B.SSA C.ASA D.AAS
相等
角边角
ASA
相等
角角边
AAS
C
利用“角角边”判定两个三角形全等
【例题】 如图,分别过点C,B作△ABC的边BC上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.求证:BF=CE.
分析
证明∵CE⊥AF,FB⊥AF,
∴∠DEC=∠DFB=90°.
∵AD是边BC上的中线,∴BD=CD.
∴△BFD≌△CED(AAS),∴BF=CE.
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5
1.如图,已知△ABC的六个元素,则在甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是( )
A.甲、乙 B.乙、丙
C.只有乙 D.只有丙
答案
解析
解析
关闭
甲图中只有两个已知元素,不能确定与△ABC是否全等;乙图与△ABC满足“SAS”的条件,所以两个图形全等;丙图与△ABC满足“AAS”的条件,所以两个图形也全等.
答案
解析
关闭
B
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5
2.在下列叙述中,两个三角形一定全等的是( ).
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.两个等边三角形
C.各有一个角是45°,腰长都是3 cm的两个等腰三角形
D.腰和底角对应相等的两个等腰三角形
答案
答案
关闭
D
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5
3.如图,要判定△ACF≌△BDE,根据给定的条件和指明的依据,将应当添加的条件填在横线上.
(1)若AC∥BD,AC=BD, ,则△ACF≌△BDE(ASA);
(2)若AC∥BD, ,AC=BD,则△ACF≌△BDE(AAS).
答案
答案
关闭
(1)∠A=∠B
(2)∠F=∠E(或AF∥EB)
1
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3
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5
4.如图,点E,F在AC上,AD∥CB,且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.
答案
答案
关闭
证明 ∵AD∥CB,∴∠A=∠C.
又AD=CB,∠D=∠B,
∴△ADF≌△CBE,
∴AF=CE.
∴AF+FE=CE+FE,即AE=CF.
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5.如图,点A,C,D,B四点共线,且AC=BD,∠E=∠F,∠ADE=∠BCF,求证:DE=CF.
答案
答案
关闭(共11张PPT)
第4课时 利用“斜边、直角边”
判定直角三角形全等
学前温故
新课早知
判定三角形全等的方法有:
(1)定义,(2) ,(3) ,(4) ,(5) .
(填字母简写)
SSS
SAS
ASA
AAS
学前温故
新课早知
1.直角三角形全等的判定:斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(可以简写成“ ”或“ ”).
2.下列条件不能判断两个直角三角形全等的是( ).
A.有两条直角边对应相等
B.有两个锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.斜边和一个锐角对应相等
直角三角形全等既可以用一般三角形全等的判定方法(直角作为一对相等的角),又可用“HL”判定,这些条件中至少有一对相等的边.
相等
斜边、直角边
HL
B
利用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等
【例题】 如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
分析:要证明BE⊥AC,可证∠C+∠1=90°,而∠2+∠1=90°,只需证明∠2=∠C,从而转化为证明它们所在的△BDF与△ADC全等.而由条件知在Rt△BDF与Rt△ADC中有BF=AC,DF=DC,故这两个三角形全等,从而问题得证.
证明:∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),
∴∠2=∠C.
∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°,
∴∠BEC=90°.∴BE⊥AC.
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1.如图,AC=BD,∠C=∠D=90°,则Rt△ABC≌Rt△BAD所根据的条件是( ).
A.SAS B.ASA C.HL D.AAS
答案
解析
解析
关闭
在Rt△ABC和Rt△BAD中,两条直角边对应相等,斜边为公共边,所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
答案
解析
关闭
C
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5
2.如图,已知AB=CD,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,则图中全等三角形有( )对.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案
解析
解析
关闭
由已知可以推导出△ABE≌△CDF,△AED≌△CFB,△ABD≌△CDB.
答案
解析
关闭
C
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5
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,给出下列结论:
①△ABD≌△ACD;②D为BC的中点;③AD平分∠BAC,其中,
结论正确的是 .(填序号)
答案
答案
关闭
①②③
1
2
3
4
5
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,DE⊥AB于点E,AC=AE.若∠CDA=60°,则∠BDE= .
答案
解析
解析
关闭
由条件AC=AE,AD是公共边,得到Rt△ACD≌Rt△AED,
∴∠ADC=∠ADE.
∵∠CDA=60°,
∴∠CDE=120°.
∴∠BDE=60°.
答案
解析
关闭
60°
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5
5.如图,DB⊥AB,DC⊥AC,垂足分别为B,C,DB=DC,求证:AD平分∠BAC.
答案
答案
关闭(共11张PPT)
第1课时 角的平分线的性质(1)
学前温故
新课早知
1.从一个角的顶点出发,把这个角分成 的两个角的射线,叫做这个角的平分线.
2.直线外一点到这条直线的 的长度,叫做点到直线的距离 .
相等
垂线段
学前温故
新课早知
1.角的平分线上的点到角的两边的距离 .
2.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论不一定成立的是( ).
A.PA=PB B.PO平分∠APB
C.OA=OB D.AB垂直平分OP
3.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行:
(1)明确命题中的 和 ;
(2)根据题意,画出 ,并用 表示已知和求证;
(3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
相等
D
已知
求证
图形
符号
角的平分线性质的应用
【例题】 如图,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且BD=CD.求证:BE=CF.
分析
证明∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴Rt△DBE≌Rt△DCF(HL),∴BE=CF.
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1.下列各图中,OP是∠MON的平分线,点E,F,G分别在射线OM,ON, OP上,则可以解:释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是( ).
答案
答案
关闭
D
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4
5
2.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=10,DE=3,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.15 D.30
答案
答案
关闭
C
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5
3.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=7 cm,AC=4 cm,则S△ABD∶S△ACD= .
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭
1
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3
4
5
4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是对角线AC上一点,PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.
求证:PE=PF.
答案
答案
关闭
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5
5.如图,∠1=∠2,AE⊥OB于点E,BD⊥OA于点D,且AE与BD的交点为C.求证:AC=BC.
答案
解析
解析
关闭
答案
解析
关闭(共9张PPT)
第2课时 角的平分线的性质(2)
学前温故
新课早知
相等
角的平分线的性质:角平分线上的点到角的两边的距离 .
学前温故
新课早知
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在 上.
2.三角形的三条角平分线 ,这点到三角形三边的距离 .
3.三角形中到三边的距离相等的点是( ).
A.三条边上经过对应顶点的任意三条线段的交点
B.三条高的交点
C.三条中线的交点
D.三条角平分线的交点
角的平分线
相交于一点
相等
D
角的平分线的判定方法
【例题】 如图,BD=CD,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E.求证:点D在∠BAC的平分线上.
分析:要证明点D在∠BAC的平分线上,因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以只要证明点D到∠BAC的两边距离相等,即DE=DF,利用题目的已知条件证明△DBE和△DCF全等即可得到.
证明在△DBE和△DCF中,
所以△DBE≌△DCF(AAS).
所以DE=DF.因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以点D在∠BAC的平分线上.
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1.关于三角形的角平分线的说法错误的是( ).
A.两内角平分线的交点一定在三角形内
B.两内角平分线的交点在第三个角的平分线上
C.两内角平分线的交点到三边的距离相等
D.两内角平分线的交点到三个顶点的距离相等
答案
答案
关闭
D
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4
2.如图,已知点P到AE,AD,BC的距离相等,则下列说法:①点P在∠BAC的平分线上;②点P在∠CBE的平分线上;③点P在∠BCD的平分线上;④点P是∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点,其中正确的是( ).
A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③
答案
答案
关闭
A
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4
3.如图,DB⊥AE于点B,DC⊥AF于点C,且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF的度数是 .
答案
答案
关闭
150°
1
2
3
4
4.如图,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且BE=CF,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线.
答案
答案
关闭
