2014年中考数学总复习提能训练课件专题九圆

课件18张PPT。专题九 圆 圆是平面几何的重要图形，也是中考的热点与必考内容．
它综合直线形、多边形于一体，知识点多，覆盖面广，具有极
强的综合性，思维能力要求较高．这类试题通常借助圆的对称
性和旋转不变性，考查与圆有关的概念、性质、位置关系(尤其
是切线的性质与判定)，进行相关问题(正多边形、弧、扇形、
圆锥等)的计算、作图、证明与探究． 解决问题的关键是在具体情境中，综合运用所学知识(三角
形、四边形、圆等)，借助圆的性质、与圆有关的位置关系等，
添加适当的辅助线构建相等的角、相等的边，或转化为直角三
角形，或将立体图形(圆锥)转化为平面图形(扇形)进行分析与解
决． 与圆有关的计算、操作题
例1：(2013 年广西玉林)如图 Z9-1，△ABC 是⊙O 内接正
三角形，将△ABC 绕O点顺时针旋转30°得到△DEF，DE分别
交 AB，AC 于点 M，N，DF 交 AC 于点 Q，则以下结论：
①∠DQN＝30°；②△DNQ≌△ANM；
③△DNQ 周长等于 AC 的长；④NQ＝QC.
其中正确的结论是__________(把所有正确的结论的序号都填上)．图 Z9-1解析：①DF 是 AC 旋转 30°后的位置，
∴∠DQN＝30°.故①正确．②如图 Z9-2，连接 OB，OE，OA，DA，
∴∠BOE＝30°，∠AOB＝120°.
∴∠AOE＝90°.∴∠ADE＝45°.
∵∠DQN＝30°，∠EDQ＝60°，
∴∠DNQ＝90°.∴∠AND＝90°.
∴∠NAD＝45°.∴AN＝DN.又∵∠MAN＝∠QDN＝60°，∠ANM＝∠DNQ，
∴△DNQ≌△ANM.故②正确． ③如图Z9-2，DF 交 BC 于点 G，
由②可得DN＝NA，△DNQ≌△CGQ.
∴DQ＝QC.∴△DNQ 周长DN＋NQ＋QD＝AN＋NQ＋QC
＝AC.故③正确．答案：①②③图 Z9-2 名师点评：本题以圆内接等边三角形的旋转操作为手段，
在具体操作情境中酝酿、发现与探究圆的有关性质、计算，借
助与圆有关的角及旋转不变性探究有关线段、角、三角形全等、
大小(周长、面积)的变与不变的关系，进而考查同学们的动手
操作能力几何图形的空间想象能力及逻辑推理能力． 圆与函数图象的综合
例 2：(2013 年山东济宁)如图Z9-3，在平面直角坐标系中，
12
x
以 P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点 A，B.
(1)求证：线段 AB 为⊙P 的直径；
(2)求△AOB 的面积；(3)如图Z9-4，Q是反比例函数y＝12
x(x＞0)图象上异于点 P的另一点，以 Q 为圆心，QO 为半径画圆与坐标轴分别交于点
C，D.求证：DO·OC＝BO·OA.O为坐标原点，P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上任意一点， 图 Z9-3图 Z9-4 思维分析：(1)∠AOB＝90°，由圆周角定理的推论，可以证
明 AB 是⊙P 的直径；
(2)将△AOB 的面积用含点P 坐标的表达式表示出来，容易
计算出结果；
(3)对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的
△COD 的面积，依然不变，与△AOB 的面积相等． (1)证明：∵∠AOB＝90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对
的圆周角，∴AB 是⊙P 的直径．
(2)解：设点 P 的坐标为(m，n)(m＞0，n＞0)，
12
x
∴mn＝12.
如图Z9-5，过点P 作 PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点N，则OM＝m，ON＝n.图Z9-5由垂径定理可知，点 M 为 OA 中点，点 N 为 OB 中点，∵点P是反比例函数y＝—(x＞0)图象上一点， 名师点评：求三角形的面积就是利用点P 的横坐标与纵坐
标的积为k，同理若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P 在坐
标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q 所形成
的⊙Q，结论依然成立．与圆有关的动态题 例3：(2013 年湖北宜昌)半径为 2 cm 的⊙O 与边长为 2 cm
的正方形 ABCD 在水平直线 l 的同侧，⊙O 与 l 相切于点 F，
DC 在 l 上．(1)过点 B 作⊙O 的一条切线 BE，E 为切点，①填空：如图 Z9-6，当点 A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是________；②如图 Z9-7，当 E，A，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长； (2)以正方形 ABCD 的边 AD 与 OF 重合的位置为初始位置，
向左移动正方形(图 Z9-8)，至边 BC 与 OF 重合时结束移动，M，
N 分别是边 BC，AD 与⊙O 的公共点，求扇形 MON 的面积的
取值范围．图 Z9-6图 Z9-7图 Z9-8解：(1)①如图Z9-6，∵切线BE 是⊙O 的切线，
∴OE⊥BE 于E.又OA＝AB＝OE＝2，易得∠EBA＝30°.
②如图Z9-7，∵直线l 与⊙O 相切于F，
∴∠OFD＝90°.∵在正方形ADCB 中，∠ADC＝90°，.∴OF∥AD.
∵OF＝AD＝2，∴四边形OFDA为平行四边形．
∵∠OFD＝90°，∴平行四边形OFDA为矩形．
∴DA⊥AO.∵在正方形ABCD 中，DA⊥AB，
∴O，A，B三点在同一直线上．
方法一，∵E，A，D三点在同一直线上，
∴EA⊥OB.
∵∠OEB＝90°，∴∠OEB＝∠EAO.
又∵∠EOB＝∠AOE，∴△EOA∽△BOE.＝＝方法二，在Rt△OAE 中，cos∠EOA＝OA OA
OE 2，在Rt△EOB 中，cos∠EOB＝OE 2
OB 2＋OA，图Z9-9＝过O 点作OK⊥MN 于 K，
∴∠MON＝2∠NOK，NM＝2NK.在Rt△ONK 中，sin∠NOK＝NK
ONNK
2， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∠MON 随 MN 的增大而增大．
∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小．
①当N，M，A 分别与D，B，O 重合时，MN 最大，MN＝
名师点评：解题的关键在于运用运动和变化的眼光，去观
察和研究问题，关注运动与变化中的不变量、不变关系、特殊
关系或范围．