2014年中考总复习提能训练课件第六章 第4讲图形的相似

课件29张PPT。第4讲图形的相似 1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通
过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．知道相似多边形的对应角相等、对应边成比例、面积的
比等于对应边比的平方．
3．了解两个三角形相似的概念，两个三角形相似的条件．
4．了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小．考点1比例线段及黄金分割1．在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于c 与d
a c
b d简称__________．成比例线段比例线段的比，即—＝—，那么这四条线段a，b，c，d叫做___________， ______________________.ad＝bc 3．黄金分割．
(1)定义：点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果
____________，那么线段 AB 被点 C 黄金分割．其中点 C 叫做
线段 AB 的____________，AC 与 AB 的比叫做黄金比．(2)黄金比的比值为，约为 0.618.黄金分割点考点 2相似图形的性质与判定1．相似三角形的定义．相等成比例如果两个三角形的对应角________，对应边____________，那么这两个三角形叫做相似三角形．相等成比例2．相似多边形(三角形)的性质．相似比的平方(1)对应角_______，对应边__________．
(2)周长之比等于_______，面积之比等于______________．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于________．相似比相似比3．相似三角形的判定．两角对应相等 (1)__________________的两个三角形相似．
(2)____________________________的两个三角形相似．
(3)____________________的两个三角形相似．
4．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三
角形和原三角形______．基本图形为“A”型和“X”型，如图 6-4-1.

图 6-4-1两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例相似考点 3位似图形 1．概念：如果两个多边形不仅________，而且对应顶点的
连线相交于__________，这样的图形叫做位似图形，这个点叫做____________．相似一点位似中心位似比 2．性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之
比等于__________．
【学有奇招】
1．深刻理解并掌握“平行截比例”“平行截相似”“比例
出平行”等平行与相似的关系．
2．增强识图能力，能够从已知图形中找出相似三角形，从
中列出所需比例式． 1．在上科学课时，老师让同学利用手中的放大镜对蜗牛进
行观察，同学们在放大镜中看到蜗牛与实际的蜗牛属于什么变换(B．平移变换
D．对称变换A.3
2B.2
3C.3
5D.5
3A )
A．相似变换
C．旋转变换C3．若一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，则此三角形的周长扩大为原来的________倍．530 4．高 6 m 的旗杆在水平地面上的影子长 4 m，同一时刻附
近有一建筑物的影子长 20 m，则该建筑物的高为_______m.
5．在△ABC 中，D，E分别是边AB 与AC的中点，BC＝4，
下面四个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE 的面
积与△ABC 的面积之比为 1∶4；④△ADE 的周长与△ABC 的
周长之比为 1∶4.其中正确的有_____________(只填序号)．
①②③相似三角形的判定图 6-4-2 例题：(2013 年湖南益阳)如图 6-4-2，在△ABC 中，AB＝
AC，BD＝CD，CE⊥AB 于 E.
求证：△ABD∽△CBE.
思路分析：要判断两三角形相似，
由图形可知∠B 是公共角，可再找到一组角相等．
证明：在△ABC 中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.
∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∠B＝∠B，∴ △ABD∽△CBE.【试题精选】 1．(2013 年四川南充)如图 6-4-3，在等腰梯形 ABCD 中，
AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝60°，P 为BC边上一点(不与
B，C 重合)，过点 P 作∠APE＝∠B，PE 交CD 于 E.(1)求证：△APB∽△PEC；
(2)若 CE＝3，求 BP 的长．图 6-4-3(1)证明：梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
即∠APE＋∠EPC＝∠B＋∠BAP.
∵∠APE＝∠B，∴∠BAP＝∠EPC.∴△APB∽△PEC.图 54(2)解：如图 54，过点 A 作 AF∥CD 交 BC 于 F.
则四边形 ADCF 为平行四边形，△ABF 为等边三角形．
∴CF＝AD＝3，AB＝BF＝7－3＝4.＝∴—＝∵△APB∽△PEC，∴BP AB
.
EC PC设 BP＝x，则 PC＝7－x，又 EC＝3, AB＝4，x
3 4
7－x.整理，得 x2－7x＋12＝0.解得 x1＝3,x2＝4.经检验， x1＝3,x2＝4 是所列方程的根． ∴BP 的长为 3 或 4.
名师点评：相似的判定方法可类比全等三角形的判定方法，
找对应边(角)时应遵循一定的对应原则，如长(大)对长(大)，短
(小)对短(小)，或找相等的角(边)帮助确定．相似三角形的性质及综合应用 例题：(2013 年福建莆田)定义：如图 6-4-4(1)，点 C 在线
段 AB 上，若满足 AC2＝BC·AB，则称点 C 为线段 AB 的黄金分
割点．如图 6-4-4(2)，在△ABC 中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，
BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D.(1)求证：点 D 是线段 AC的黄金分割点；(2)求出线段 AD 的长．图 6-4-4 思路分析：先证两三角形相似，借助相似三角形的对应边成
比例构建关系式，进而借助黄金分割点的定义进行判断与计算．
(1)证明：∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝72°.
又∵BD 平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝36°.
在△ABC 与△BDC 中，∠A＝∠DBC，∠C＝∠C，【试题精选】
2．(2013 年湖南湘西)如图 6-4-5，在?ABCD 中，E 是 AD
边上的中点，连接 BE，并延长 BE 交 CD 延长线于点 F，则△EDF 与△BCF 的周长之比是()A图 6-4-5A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5 3. (2013 年甘肃)如图 6-4-6，路灯距离地面 8 米，身高 1.6
米的小明站在距离灯的底部(点 O)20 米的 A 处，则小明的影子
AM 长__________米． 5图 6-4-6 名师点评：利用相似三角形的性质可以证明有关线段成比
例、角相等，也可计算三角形中边的长度或角的大小．关键是
要注意相似中的对应边的确认及性质的综合运用，尤其在运用
相似图形的面积比等于相似比的平方时，不要漏了“平方”． 图形的位似
4．(2013 年湖北孝感)在平面直角坐标系中，已知点 E(－ 4,2)，
1
2 △EFO 缩小，则点 E 的对应点 E′的坐标是()DA．(－2,1)
B．(－8,4)
C．(－8,4)或(8，－4)
D．(－2,1)或(2，－1) F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为—，把＝—，若△AEF 的面积为 2，5．(2013 年四川眉山)如图 6-4-7，在△ABC 中，E，F 分别是 AB，AC 上的两点，且AE
EB＝AF
FC1
2则四边形 EBCF 的面积为________．16
名师点评：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定
是位似图形，位似图形是相似图形的特例．图 6-4-7 1．(2011 年广东肇庆)如图6-4-8，已知直线 a∥b∥c，直线
m，n 与 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 BF＝(B )
图 6-4-8A．7B．7.5C．8D．8.5 2．(2011 年广东广州)如图 6-4-9，以点 O 为位似中心，将
五边形 ABCDE 放大后得到五边形 A′B′C′D′E′，已知
OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形 ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是_______．
图 6-4-9 3．(2010年广东茂名)如图6-4-10，已知△OAB 与△OA ′B′
是相似比为 1∶2 的位似图形，点 O 是位似中心，若△OAB 内
的一点 P(x，y)与△OA′B′内的一点P′是一对对应点，则点P′的坐标是_____________．
图 6-4-10(－2x，－2y) 4．(2013 年广东佛山)如图 6-4-11，网格图中每个方格都是
边长为 1 的正方形．若 A，B，C，D，E，F 都是格点，试说明
△ABC∽△DEF.
图 6-4-11 5．(2012 年广东梅州)如图 6-4-12，AC 是⊙O 的直径，弦
BD 交 AC 于点 E.
(1)求证：△ADE∽△BCE；图 6-4-12(2)如果 AD2＝AE·AC，求证：CD＝CB.
证明： (1)∵ ＝ ，∴∠A＝∠B.
又∵∠CEB＝∠AED，∴△ADE∽△BCE.(2)由 AD2＝AE·AC，得AE
AD＝AD
.
AC又∵∠A＝∠A，∴ △ADE∽△ACD.∴∠AED＝∠ADC.
又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即有∠AED＝90°.
∴直径 AC⊥BD.∴CD＝CB. 6．(2012 年广东肇庆)如图 6-4-13，在△ABC 中，AB＝AC，
以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，连接 BE，交
AD 于点 P.求证：(1)D 是 BC 的中点；
(2)△BEC∽△ADC；
(3)AB·CE＝2DP·AD.图 6-4-13＝，则 2BD2＝AC·CE.①证明：(1)∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°，即 AD⊥BC.
又∵AB＝AC，∴D 是 BC 的中点．
(2)在△BEC 与△ADC 中，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，
∴△BEC∽△ADC.(3)∵△BEC∽△ADC，∴AC BC
.
CD CE又∵D 是 BC 的中点， ∴2BD＝2CD＝BC.∴AC
BD＝2BD
CE＝，则 BD2＝PD·AD.②在△BPD 与△ABD 中，有∠BDP＝∠BDA，
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD.
又∵∠CAD＝∠CBE，∴∠DBP＝∠BAD.
∴△BPD∽△ABD.∴BD AD
PD BD∴由①、②，得 AC·CE＝2BD2＝2PD·AD.
∴AB·CE＝2DP·AD.