山东省济宁市鱼台二中2013-2014学年高二3月质量检测 数学理

鱼台二中2013—2014学年高二3月质量检测
数学（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1．设 则 (　　)
A. B. C. D．不存在
2.已知命题：，则是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B. C. D.
4．函数有( )
A．极大值，极小值 B．极大值，极小值
C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值
5．函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数，如果，那么是函数 的极值点；因为函数在处的导数值，所以x=0是函数的极值点.”以上推理中（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．结论正确
7. 双曲线-=1的焦点坐标为 （ ）
A. （） （） B. （） （）
C. （-5,0） （5,0） D. （0，-5） （0,5）
8. 若椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则a的值是（ ）
A. B. 1或-2 C. 1或 D. 1
9．已知f(x)＝x2－cos x，x∈[－1,1]，则导函数f′(x)是(　　)
A．仅有最小值的奇函数
B．既有最大值，又有最小值的偶函数
C．仅有最大值的偶函数
D．既有最大值，又有最小值的奇函数
10．若在上是减函数，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
11.已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若aA．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
二、填空题（每小题5分，共20分.把所得到的结果直接填在横线上）
13.函数的单调递增区间是___________________________。
14.由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________;
15．已知不等式，，，…，可推广为，则a等于 .
16.如图是y＝f(x)的导函数的图象，现有四种说法：
(1)f(x)在(－3,1)上是增函数；
(2)x＝－1是f(x)的极小值点；
(3)f(x)在(2,4)上是减函数，
在(－1,2)上是增函数；
(4)x＝2是f(x)的极小值点；
以上正确的序号为________．
三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤）
17. （本小题满分10分）
已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
18．（本小题满分12分）
已知函数在与时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。
19．（本小题满分12分）
设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|； (2)若直线l的斜率为1，求b的值．
20．（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现以下四个不等式都是正确的：
；
；
；
．　
请你观察这四个不等式：
（1）猜想出一个一般性的结论（用字母表示）；
（2）证明你的结论。
21．（本小题满分13分）
已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
22．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数在区间[1，e]上的最小值；
（2）设，其中，判断方程在区间[1，e]上的解的个数.
（其中为无理数，约等于且有）
参考答案：
1-5 CADCA 6-10 AADDC 11-12 CA
13. 14. 15. 16.②
17. 解(1)　∵f(x)＝x2＋ln x，∴f′(x)＝2x＋.
∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明　令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋ln x，
则F′(x)＝x－2x2＋＝
＝＝.
∵x＞1，∴F′(x)＜0，∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数．
∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0，即f(x)＜g(x)．
∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．
18．（1）
由，得
，函数的单调区间如下表：



(
极大值
(
极小值
(
所以函数的递增区间是与,递减区间是；
（2），当时，
为极大值，而，则为最大值，要使
恒成立，则只需要，得
19．(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0. 则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，
解得b＝.
20． （1）一般性的结论：（4分（没写范围扣1分）
（2）证明：要证
只要证
只要证
只要证
∵a、b、c、d∈R，∴显然成立.
∴原命题得证
21.：(1)∵f(x)＝x2＋ln x
∴f′(x)＝2x＋
∵x＞1时，f′(x)＞0，故f(x)在[1，e]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)＝1，
最大值是f(e)＝1＋e2
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)
＝x2－x3＋ln x，
∴F′(x)＝x－2x2＋＝
＝＝
∵x＞1，∴F′(x)＜0，
∴F(x)在(1，＋∞)上是减函数
∴F(x)＜F(1)＝－＝－＜0.即f(x)＜g(x)．
∴当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方．
22.（1）由=0，得，
①当时， ，所以故在上是增函数，所以；
②当时，时，；时，，
所以，在上是减函数，在上是增函数，故；
③当时，，所以在上是减函数，故．
综上所述：时， ；
时， ；
时， ．
（2）令　　 ．
　　由 =0，解得;，
由，　知．
故当时，，则在上是增函数．
又； ，
由已知>0得： ，所以，所以
故函数在上有唯一的零点，即方程在区间上存在唯一解.