人教版八年级下册第17章 勾股定理 单元综合练习(含解析)

第17章勾股定理单元综合练习
一、选择题
1. 如图，以直角三角形的三边，，为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足的图形有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 下列四组数，是勾股数的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3. 如图，分别以直角三角形各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个正方形的面积分别为和，则正方形的边长是( )
A.
B.
C.
D.
4. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
5. 在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是( )
A. 如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么
B. 如果直角三角形的三边分别为，，，那么
C. 如果三角形的三边分别为，，，那么
D. 如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形
6. 如图，甲货船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，乙货船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后两船之间的距离是( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
7. 如图，数轴上点对应的数是，点对应的数是，，垂足为，且，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，，以斜边为边向外作正方形，连接，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，中，，，以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；，按照这个规律，在中，点到的距离是( )
A. B. C. D.
10. 年月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11. 如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为______．
12. 如图，在中，平分，于点，，若，，则 ______ ．
13. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，点是的中点，连接、，若，，则的周长为______ ．
14. 如图所示是一个圆柱形饮料罐，底面半径为，高为，上底面中心有一个小圆孔，将一根长的直吸管从小圆孔插入，直到接触到饮料罐的底部，直吸管在罐外的长度罐的厚度和小圆孔的大小忽略不计，则的取值范围是______．
15. 如图，和为四边形的对角线，，，，，则的最大值为______ ．
三、解答题
16. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在一条直线上，并新修一条路，测得米，米，米．
是否为从村庄到河边的最近路线？请通过计算加以说明．
求原来的路线的长．
17. 某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，．
求出空地的面积．
若每种植平方米草皮需要元，问总共需投入多少元？
18. 如图，每个小正方形的边长为，，，是小正方形的顶点．
求和；
求的度数．
19. 如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
求证：；
若，求的长．
20. 如图，已知：在中，，，将一块足够大的直角三角尺按如图放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点，并且与的夹角，斜边交于点．
当时，判断的形状，并说明理由；
点在滑动时，当长为多少时，与全等，并说明理由；
点在滑动时，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出夹角的大小；若不可以，请说明理由．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，
第一个图形中，，，，满足；
第二个图形中，，，，满足；
第三个图形中，，，，满足；
第四个图形中，，，满足；
综上所述，满足题意的图形有个，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，，不是整数，不是勾股数；
B.，、、是勾股数；
C.，、、不是是勾股数；
D.，，，不是勾股数；
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意知，，，且，
．
正方形的面积为．
正方形的边长是．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：、如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么，故符合题意；
B、如果直角三角形的三边分别为，，，不一定得到，故不符合题意；
C、如果三角形的三边分别为，，，则得不到，故不符合题意；
D、如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，这是勾股定理的逆定理，故不符合题意；
故选：．
6.【答案】
【解析】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
，
两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里，
根据勾股定理得海里．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
，
点表示的数是：，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：过作，交的延长线于，
四边形为正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，，
根据勾股定理得：．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：在中，，，，
根据勾股定理得，
在，根据勾股定理得，
在，根据勾股定理得，
按照这个规律，在中，根据勾股定理得，
如图，作于点，
，
，
，
点到的距离是．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由条件可得：，
解之得：．
所以，
故选A
11.【答案】
【解析】解：连接．
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：如图，延长交于点，
平分，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
在中，，，
．
如图，延长交于点，构建全等三角形≌，由全等三角形的对应边相等推知，；根据，，求得，然后利用勾股定理求得．
13.【答案】
【解析】解：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，，
又，
在中，，，
解得：，
又点是的中点，
，
的周长．
故答案为：．
14.【答案】
【解答】
解：如图，当吸管底部在点时吸管在罐内部分最短，
此时罐内部分就是圆柱形的高，
罐外部分；
当吸管底部在点时吸管在罐内部分最长，
即线段的长，
在中，
，
罐外部分，
所以．
故答案是：．
15.【答案】
【解析】解：取的中点为，连接，作，使，，连接，
过点作于，
，
，
，
点与重合，
，
，
，，
∽，
，
，
，
连接，过点作于，
，
在中，，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
的最大值为：，
故答案为：．
16.【答案】解：在中，米，米，米，
，，
，
是直角三角形，，
，
是从村庄到河边的最近路线．
设米，则米，
由得，则，
在中，，，
解得，
所以原路线的长为米．
17.【答案】解：如图，连接，
在直角三角形中，
，，，
，
，
，
，
答：空地的面积是．
元，
答：总共需投入元．
18.【答案】解：连接．
根据勾股定理可以得到：，，
，；
，，
，即，
是等腰直角三角形，
．
19.【答案】解：证明：，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
；
解：≌，
，
在中，，
，，
，
．
20.【答案】解：是直角三角形，
理由为：
当时，，
，
，
是直角三角形；
当时，≌，
理由为：
，，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
≌；
的形状可以是等腰三角形，
则，，
当时，是等腰三角形，
，
即，
；
当时，是等腰三角形，
，
即，
；
当时，是等腰三角形，
，
，
即，
，
此时点与点重合，点和重合，
综合所述：当或或时，是等腰三角形．