第七章 观察、猜想与证明 期末试题选编 （含解析）2021-2022学年北京市各地京改版数学七年级下册

第七章 观察、猜想与证明
一、单选题
1．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．内错角相等 C．同旁内角互补 D．邻补角互补
2．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是( )
A． B． C． D．
3．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，点O在直线CD上，OB⊥OA．若∠BOD＝110°，则∠AOC的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．60° D．70°
4．（2022春·北京顺义·七年级统考期末）如图，∠AOB=50° ，则∠AOB的余角的度数是（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
5．（2022春·北京房山·七年级统考期末）若，则的对顶角的大小为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．140°
6．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）如图，直线DE过点A，且．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·北京通州·七年级统考期末）如图，已知DE∥BC，如果∠1=70°，那么∠B的度数为　　
A．70° B．100° C．110° D．120°
9．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）下列命题是假命题的是( )
A．如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3 B．对顶角相等
C．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除 D．内错角相等
10．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（ ）
①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180°
A．①②③④ B．①②③
C．①③④ D．①②
11．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）如图，直线，平分，，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
12．（2022春·北京西城·七年级统考期末）如图，，点E在AB上，过点E作AB的垂线交CD于点F．若∠ECD＝40°，则∠CEF的大小为( )
A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题
13．（2022春·北京通州·七年级统考期末）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”：_____________．
14．（2022春·北京门头沟·七年级统考期末）如果∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，且∠1=125°，那么∠3= ______°．
15．（2022春·北京平谷·七年级统考期末）的余角是________°．
16．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）图是对顶角量角器，用它测量角度的原理是___________．
17．（2022春·北京通州·七年级统考期末）为了测量一座古塔外墙底部的底角∠AOB的度数，李潇同学设计了如下测量方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，从而得到∠AOB的度数．这个测量方案的依据是_______________．
18．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）已知：在同一平面内，三条直线a，b，c．下列四个命题为真命题的是_____________．（填写所有真命题的序号）
①如果ab，，那么； ②如果，，那么；
③如果ab，cb，那么ac； ④如果，，那么bc．
19．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件_____，使得AB∥CE．
20．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）埃拉托斯特尼是古希腊著名的地理学家，他曾巧妙估算出地球的周长．如图，处是塞尼城中的一口深井，夏至日中午12时，太阳光可直射井底．处为亚历山大城，它与塞尼城几乎司一条经线上，两地距离约为800km，于是地球周长可近似为，太阳光线看作平行光线，他在亚历山大城测得天顶方向与太阳光线的夹角为7.2°．根据可以推导出的大小，依据是_____________________；埃拉托斯特尼估算得到的地球周长约为___________km．
21．（2022春·北京西城·七年级统考期末）在下图中，直线，指定位置的三条射线c，d，e满足，．有以下两个结论：①c与d一定共线；②．其中正确的结论是______（只填写序号）．
22．（2022春·北京朝阳·七年级统考期末）木工用如图所示的角尺就可以画出平行线，如，这样画图的依据是：______．
23．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）如图，在直线外取一点，经过点作的平行线，这种画法的依据是____________．
三、解答题
24．（2022秋·北京怀柔·七年级统考期末）将下面的解答过程补充完整：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE=90°．求证：∠FOB=2∠AOC．
证明：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE=∠EOF．（ ）
因为∠COE=90°，
所以∠AOC+∠AOE=90°
因为直线AB，CD相交于点O．
所以∠EOD=180°-∠COE=90°
所以．∠EOF+∠FOD=90°．
所以∠AOC=_ ___．（ ）
因为直线AB，CD相交于O，
所以 ．（ ）
所以∠FOB=∠FOD+∠BOD=2∠AOC
25．（2022春·北京石景山·七年级统考期末）如图，点、、、在一条直线上，与交于点，，，求证：
26．（2022春·北京延庆·七年级统考期末）如图，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2． 求证：ABCD．请将下面的证明过程补充完整．
证明：
∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（ ），
∴∠1=∠B（ ）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2＝ （ ）．
∴ABCD（ ）．
27．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，
(1)①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°；
②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明；
(2)在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系．
28．（2022春·北京东城·七年级统考期末）如图，直线与直线，分别交于点，，是它的补角的3倍，．判断与的位置关系，并说明理由．
29．（2022春·北京丰台·七年级统考期末）补全解题过程．
已知：如图，于点，于点，．
求证：．
证明：∵，，
∴．
∴（______）（填推理依据）．
∴（______）（填推理依据）．
又∵，
∴．
∴（______）（填推理依据）．
30．（2022春·北京海淀·七年级统考期末）如图，已知，于点，．
(1)求证：；
(2)连接，若，且，求的度数．
参考答案：
1．D
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、邻补角的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A．同位角不一定相等，则此项是假命题，不符题意；
B．内错角不一定相等，则此项是假命题，不符题意；
C．同旁内角不一定互补，则此项是假命题，不符题意；
D．邻补角互补，则此项是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角、邻补角、命题，熟记各概念是解题关键．
2．B
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意；
B．与是邻补角，故选项符合题意；
C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意；
D．与是同旁内角，故选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键．
3．B
【分析】利用互余的角的关系和邻补角的关系进行计算即可．
【详解】解：∵∠BOD=110°，
∴∠BOC=180°-110°=70°，
∵OB⊥OA，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC=90°-∠BOC=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是互余两角、邻补角的定义，解题的关键是找准互余的两角和互补的两角．
4．A
【分析】根据互余的两个角和为90°解答即可．
【详解】解：因为互余的两个角和为90°，
所以∠AOB的余角的度数为90°-50°=40°．
故选：A．
【点睛】此题考查的是余角的性质，掌握互余的两个角和为90°是解题的关键．
5．B
【分析】根据对顶角相等直接可得答案．
【详解】解：∵，
∴的对顶角的大小为
故选B
【点睛】本题考查的是对顶角的性质，掌握“对顶角相等”是解本题的关键．
6．A
【分析】根据对顶角的性质解答 ．
【详解】解：由对顶角的性质可得：∠1=∠2，
∵∠1=35°，
∴∠2=35°，
故选A．
【点睛】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的性质是解题关键 ．
7．C
【分析】根据两直线平行同旁内角互补求出∠BAE，即可求出∠2．
【详解】∵，
∴，
∴，
即：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟记平行线的基本性质是解题关键．
8．C
【分析】根据平行线的性质可知∠B与∠2互补，再根据对顶角的性质可知∠2=∠1=70°，据此即可得答案.
【详解】解：如图，
∵DE//BC，
∴∠2+∠B=180°，
∵∠2=∠1=70°，
∴∠B=180°-70°=110°，
故选C.
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
9．D
【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、如果，，那么，正确，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，正确，是真命题，不符合题意；
D、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质，难度不大．
10．C
【分析】根据平行线的判定方法对① ② ③④每一选项的正确性进行判断即可得到解答 ．
【详解】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①正确；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②错误；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③正确；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
11．A
【分析】先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得．
【详解】解：，
，
平分，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
12．B
【分析】由垂直可得∠AEF=90°，再由平行线的性质得∠AEC=∠ECD=40°，从而可求∠CEF的度数．
【详解】解：∵过点E作AB的垂线交CD于点F，
∴∠AEF=90°，
∵AB∥CD，∠ECD=40°，
∴∠AEC=∠ECD=40°，
∴∠CEF=∠AEF-∠AEC=50°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
13．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
【分析】找到命题的条件和结论进行改写即可．
【详解】根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
【点睛】本题考查了命题的特点，解题的关键是“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
14．125
【分析】由于∠1、∠3都与∠2互补，应当联想到用“同角的补角相等”来解决．
【详解】∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，
∴∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，
∴∠3=∠1=125°．
故答案为：125．
【点睛】本题考查同角的补角相等，解此题时要认真观察，只要发现∠1、∠3都与∠2互补，即可大功告成．
15．
【分析】从余角的定义出发：两个角和为，则这两个角互余；由此可得解．
【详解】解：由两个角和为，则这两个角互余可得：
故答案为．
【点睛】本题考查余角的定义；关键在于知道两个角和为，则这两个角互余．
16．对顶角相等
【分析】由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【详解】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．
因为对顶角相等，
所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为对顶角相等．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，正确掌握对顶角的性质是解题的关键．
17．对顶角相等
【分析】由对顶角相等即可得出结论．
【详解】这个测量方案的依据是：对顶角相等；
故答案是：对顶角相等．
【点睛】本题考查的是对顶角相等的性质和作图；根据题意正确作出图形、设计出测量方案是解题的关键．
18．①③④
【分析】分别根据每种情况画出符合条件的图形，再结合垂直的定义，平行线的判定逐一判断即可．
【详解】解：如图，ab，，
则，故①符合题意；
如图，，，
则 故②不符合题意；④符合题意；
如图，ab，cb，
则ac；故③符合题意；
故答案为：①③④
【点睛】本题考查的是平面内直线与直线的位置关系，平行线的性质，垂直的定义，命题真假的判断，掌握“平行公理，平面内垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键．
19．∠B＝∠ECD（答案不唯一）
【详解】解：当∠B＝∠ECD时，AB∥CE；
当∠B+∠BCE＝180°时，AB∥CE；
当∠A＝∠ACE时，AB∥CE．
故答案为∠B＝∠ECD（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
20． 两直线平行，同位角相等 40000
【分析】根据太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，利用两直线平行，同位角相等求出，再代入计算求解．
【详解】解：由题意知，太阳光线互为平行线，则亚历山大城、赛尼城与地球中心所成角和天顶方向与太阳光线的夹角为同位角，
则亚历山大城、赛伊尼与地球中心所成角为=7.2°，
理由是两直线平行，同位角相等．
因为亚历山大城、赛尼城间距离为800km，
所以地球周长为km．
故答案为：两直线平行，同位角相等；40000．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的乘除运算，确定出=7.2°是解答关键．
21．②
【分析】根据平行线的性质对各结论进行分析即可．
【详解】解：如图，延长射线c交直线a于点A，直线b于点C，
①∵a∥b，
∴∠2=∠CAD，
∵∠CAD+∠BAD=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠BAD=∠1，
∴c∥d，故①结论错误；
②∵d∥e，c∥d，
∴c∥e，故②结论正确．
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
22．同位角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行作答．
【详解】解：木工用角尺画出，其依据是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
23．同位角相等，两直线平行
【分析】根据画法得到同位角相等，然后根据平行线的判定方法可得到经过点C的直线与AB平行．
【详解】解：如图，
由图形痕迹可得∠BDE=∠CEF，则根据同位角相等，两直线平行可判断经过点C的直线与AB平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
24．角平分线的定义； ；等角的余角相等；∠BOD=∠AOC；对顶角相等
【分析】根据题目提供的解析过程结合具体问题进行解答即可．
【详解】证明：∵OE平分∠AOF，
∴∠AOE=∠EOF，（角平分线的定义）
∵∠COE=90°，
∴∠AOC+∠AOE=90°，
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠EOD=180°-∠COE=90°，
∴∠EOF+∠FOD=90°，
∴∠AOC=∠FOD（等角的余角相等）
∵直线AB，CD相交于O，
∴∠BOD=∠AOC,（对顶角相等）
∴∠FOB=∠FOD+∠BOD=2∠AOC．
故答案为：角平分线的定义；；等角的余角相等；∠BOD=∠AOC；对顶角相等．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角，邻补角，熟练掌握同角或等角的余角相等是解题的关键．
25．证明见解析
【分析】根据同位角相等，两直线平行可得AE//BF，进而可得∠E=∠2，由CE//DF可得∠F=∠2，最后根据等量代换即可证明结论.
【详解】∵，
∴，
∴.
∵CE//DF，
∴.
∴.
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
26．见解析
【分析】根据平行的判定定理证明即可．
【详解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），
∠1+∠BAD=180°（平角定义），
∴∠1=∠B（同角的补角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠2=∠B（等量代换）．
∴ABCD（同位角相等，两条直线平行）．
【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
27．(1)①40；②∠1+∠2=60°，证明见解析；
(2)α+β=105°或α-β=15°
【分析】（1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可；
②如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 ，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可；
（2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答．
（1）
解：①如图1：标出∠3和∠4
由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20°
∴∠1+∠2=60°
∴∠2=60°-20°=40°
故答案为：40；
②∠1+∠2=60°，证明如下：
证明：如图：过点C作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4
由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4
∵∠3+∠4=∠AOB=60°
∴∠1+∠2=60°．
（2）
解：设OA与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为
当射线OC在∠AOB的内部，如图：
在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出∠1和∠2
由格线平行可得∠2=，∠1+∠2=
∵∠AOB=60°，∠COB=45°
∴∠AOC=15°即∠1=15°，∠1+=
∴=15°+
即
当射线OC在∠AOB的外部，如图：
∵∠COB=45°，∠AOB=60°
∴∠AOC=∠AOB+∠COB=105°
由（1）中②知，∠AOC=α+β
∴α+β=105°
综上所述：α+β=105°或α-β=15°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．难点是作辅助线，第（2）要分类讨论，不要出现遗漏情况．
28．；理由见解析
【分析】先根据补角的定义求出的度数，然后求出∠CFE和∠2的度数，最后根据平行线的判定进行解答即可．
【详解】解：；理由如下：
∵是它的补角的3倍，
∴设，则的补角为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了补角的有关计算，平行线的判定，根据题意求出，是解题的关键．
29．；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行
【分析】先证明，可得，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：∵，，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵，
∴．
∴（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法以及简单的逻辑思维推理”是解本题的关键．
30．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）连接，设，则，再根据建立方程，解方程可得，然后根据平行线的性质即可得．
(1)
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
．
(2)
解：如图，连接，
设，
，
，
，
由（1）已得：，
，
，
解得，
即，
由（1）已证：，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．