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8.1 基本立体图形
【学习要求】
1.理解并掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；
2.常见几何体的侧面展开图及截面问题的计算。
【思维导图】
【知识梳理】
1.空间几何体的相关概念
（1）空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
（2）多面体：由若干平面多边形围成的几何体叫多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（3）旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.
2.棱柱：（1）棱柱的定义:一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类；②按棱柱侧棱与底面位置关系分类；③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
3、棱锥：（1）棱锥的定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面：多边形面；侧面：有公共顶点的各三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的分类及表示：按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
4. 棱台：（1）棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台。上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：除上下底面以外的面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
5.圆柱：（1）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。圆柱的轴：旋转轴；圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边。
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱
6.圆锥：（1）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体。轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形
（3）圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥
7.圆台：（1）圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形
（3）圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如图，圆台
8.球
（1）球的定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（2）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（3）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（4）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
【高频考点】
高频考点1. 棱柱的几何特征
【方法点拨】棱柱的定义:一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点
1.（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；
对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是，故选：D
2、（2022春·山西太原·高一统考期中）下列结论不正确的是（ ）
A．长方体是平行六面体 B．正方体是平行六面体
C．平行六面体是四棱柱 D．直四棱柱是长方体
【答案】D
【解析】底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，故长方体、正方体是平行六面体，
平行六面体是四棱柱，侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱，
当直四棱柱的底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误；故选：D
3、（2022春·广东·高一统考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
【答案】D
【解析】对于A，正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，故错误；
对于B，平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；
对于C，平行六面体的侧面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；
对于D，棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.故选：D
4.（2022·高一课时练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】①如图，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；
②如图，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；
③如图，四边形为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，
因为两底面不一定是正方形，④错误．故选：A
5.（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．长方体是正四棱柱
【答案】B
【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；
对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；
对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；
对于D，正四棱柱是特殊的长方体，D错误.故选：B
高频考点2 . 棱锥和棱台的几何特征
【方法点拨】结合具体条件，根据棱锥、棱台的结构特征，进行分析求解.
1、（2022春·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C.
2．（2022春·浙江嘉兴·高一校考期中）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】A项中的几何体是棱柱．B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．故选：C
3.（2022春·河南开封·高一校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，
但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，
但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，
则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.故选：D.
4.（2022春·河南商丘·高一校联考期末）下列关于棱锥 棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【解析】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，
因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，
底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，
故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确，故选:D.
5、（2022春·江苏苏州·高一校考期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个 B．2个 C．1个 D．0
【答案】C
【解析】（1）如图，侧棱延长线可能不交于一点，故（1）错误
（2）正确，符合多面体的定义
（3）不正确，不存在这样的正六棱锥，正六边形中心与各个顶点连线，
构成了6个全等的小正三角，所以正六棱锥棱长不可能与底边相等，故(3)错误.
（4）错误 .不一定是正三棱锥,如图所示:
三棱锥中有. 满足底面为等边三角形.
三个侧面 ，， 都是等腰三角形，
但长度不一定等于，即三条侧棱不一定全部相等．故选：C
6．（2022·上海·高二专题练习）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为___________．
【答案】.
【详解】设正四棱台的高、斜高分别为h，x．
所以，解得．
再根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得
，解得．故答案为： ．
7．（2022·高二课时练习）正六棱锥高为1，侧棱长为2，则底面边长为___________.
【答案】
【详解】解：依题意如下正六棱锥，则，，为等边三角形，
所以，则底面边长为，故答案为：
高频考点3 . 旋转体的几何特征
【方法点拨】通过旋转体的结构特征，进行分析，即可得解.
1、（2022春·浙江台州·高一统考期末）将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱
【答案】A
【解析】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱.故选：A.
2．（2022·高一课时练习）关于下列几何体，说法正确的是（ ）
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
【答案】D
【详解】图①的上下底面既不平行又不全等，图①不是圆柱，故A错误；
图②和图③的母线长不相等,故图②和图③不是圆锥，故B错误；
图④的上下底面不平行,图④不是圆台,故C错误;
图⑤的上下底面平行,且母线延长后交于一点,故图⑤是圆台,故D正确. 故选：D.
4.（2022·全国·高一专题练习）下列关于圆柱的说法中，不正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
【答案】C
【解析】用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形， 故C选项错误，其他选项均正确，故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【详解】设碌碡的底面圆的半径为r，其高为h，由已知可得圆盘的半径h，
由已知可得，∴ 即碌碡的底面圆的半径与其高之比为，故选：B.
6．（2022·高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9 cm，则原来的圆锥的母线长为______.
【答案】18 cm
【详解】设轴截面如图所示，由已知得圆 与圆的面积比为 ，所以半径比 ，进而得，所以是的中点，且，故 ,故答案为：18 cm
高频考点4. 简单的组合体问题
【方法点拨】掌握常见的几种简单组合体，结合具体问题，进行求解即可.
1.（2022·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
【答案】B
【解析】由图知，简单组合体是由棱锥、棱柱组合而成.故选：B.
3、（2022·高一课时练习）如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱 C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
【答案】B
【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：B
3．（2022春·广东珠海·高一校考阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
【答案】B
【详解】圆及其内部旋转一周后所得几何体为球，
而矩形及其内部绕一边旋转后所得几何体为圆柱，
故题设中的平面图形绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选：B.
4．（2022春·上海宝山·高一校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
【答案】①⑤
【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，
综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤
5．（2022·上海·高二专题练习）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．
圆锥侧面积；圆柱侧面积；圆柱底面积，∴几何体表面积为．
（2）沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．
则．∴、两点间在侧面上的最短路径长为．
高频考点5 . 展开图及最短路径问题
1.（2023·高一课时练习）如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
【答案】A
【解析】正三棱柱的侧面展开图是底边长为，高为的矩形，
所以绕行两周的最短路线长为.故选：A
2.（2022·全国·高一假期作业）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接与分别交于两点，将三棱锥由展开，则，
为虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离，
∵，∴由勾股定理可得，所以虫子爬行的最短距离4，故选：A.
3.（2022春·河南·高一校联考期中）“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60km B．km C．72km D．km
【答案】C
【解析】该圆锥的母线长为，
所以，则圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
如图，展开圆锥的侧面，连接，过点S作的垂线，垂足为H，
由两点之间线段最短，知观光公路为图中的，，
记点P为上任一点，连接PS，上坡即P到山顶S的距离PS越来越小，
下坡即P到山顶S的距离PS越来越大，则下坡段的公路，即图中的HB，
由，得（km）．故选：C
4.（2022春·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考阶段练习）如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为_______.
【答案】
【解析】圆柱的高为4，底面周长为16，,则在底面圆中
如图将圆柱的侧面沿母线展开, 其侧面展开图是矩形，且矩形的长为16，宽为4.
在此圆柱侧面上，从到的路径中，
最短路径的长度为展开图中线段的长度 故答案为：
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点拉条绳子绕圆台侧面转到点，求这条绳长的最小值．
【答案】．
【详解】作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中与相似，得，可求得．
设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为,扇形的半径为，扇形所在圆的周长为．
所以的长度为所在圆周长的，所以．所以在中，，
所以，即所求绳长的最小值为．
高频考点6. 几何体的截面问题
【方法点拨】根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.
1.（2022·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
【答案】D
【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，
圆柱的轮廓是矩形除去一条边，
当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；
当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；故选:D
2.（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考阶段练习）一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是_____.
【答案】
【解析】依题意，截面面积与底面面积的比为，相似比为，
所以截得的小棱锥与原棱锥的高之比是.故答案为：
3、（2023·高一课时练习）从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
【答案】
【解析】如图所示作出轴截面，圆柱被平行于下底面的平面所截得的截面圆的半径，
设圆锥的截面圆的半径为，因为，所以是等腰直角三角形.
又，所以，故，
所以截面积.故答案为：.
4．（2022春·湖北襄阳·高一校考阶段练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过，，三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能
【答案】D
【详解】所以当点与重合时，过、、三点的截面是等边三角形；
当点与重合时，过、、三点的截面是矩形；
当点与的中点重合时，取的中点,由于所以,又,故过、、三点的截面是等腰梯形，如图所示：
所以过，，三点的截面图形是可能是等边三角形、矩形或等腰梯形．故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：根据已知，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分，根据对称性和截面性质作图如下：
观察可知截面不可能出现直角三角形. 故选：C
6．（多选）（2022春·福建厦门·高一校考期中）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ）
A．直角三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】AC
【详解】截面为六边形时，可能出现正六边形，
当截面为五边形时，假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；
当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；故选：AC．
7．（2022·上海·高二专题练习）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为的内接圆柱．
(1)用表示圆柱的轴截面面积(2)当为何值时，最大？
【答案】(1) S＝－x2＋4x(0详解：画出圆柱和圆锥的轴截面，如图所示，
设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得＝，解得r＝2－.
(1)圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2·(2－)·x＝－x2＋4x(0(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x2－6x)＝－(x－3)2＋6，∴当x＝3时，S最大，最大值为6.
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、（2022春·吉林长春·高一统考期中）下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A．所有的棱柱两个 面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有5个面
【答案】C
【解析】由棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱，知A、B正确的；对于C，如图，
有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，但它不是棱柱，所以C错误．
三棱柱有五个面，棱柱有个面，D正确.故选：C
2．（2022春·河南开封·高一校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.故选：D.
3.（2022·高一课时练习）下列叙述中，正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，故①错；
②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，故②错；
③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，
用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．故选：B.
4．（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，正四棱锥，为底面中心，则平面，
设为的中点，连接，令，则由题意可得，
且，解得.故选：C.
5．（2022·全国·模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【详解】如下图所示：
设圆柱的母线长为l，由圆柱的侧面积为可得，得，
连接AE，则，
连接BE，则，故，故.故选：A.
6．（2022·全国·模拟预测）将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形，其中小扇形的圆心角为，则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为（ ）
A．21 B． C．41 D．
【答案】B
【详解】不妨设半圆的半径为1，用圆心角为的扇形围成的圆锥的底面圆周长为，
设其底面圆的半径为，则，所以，该圆锥的高；
用圆心角为的扇形围成的圆锥的底面圆周长为，
设其底面圆的半径为，则，所以，该圆锥的高，所以所求高的比为，故选：.
7．（2022·陕西西安·统考三模）若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由公式，可知：
该圆台的体积为．故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱台中，棱，，的夹角为，，则棱，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由棱台的定义可知，分别延长，，，交于点P，连接AC， 如图，
在正四棱台中，棱，的夹角为，，
所以△PAB是边长为2的等边三角形，所以.
又在正方形中，,则，所以，
所以，所以棱，的夹角为，故选：D
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·广东广州·校联考三模）下列说法中正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱 B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱
【答案】AC
【详解】长方体是直四棱柱，A正确；两个平面平行，其余各面是梯形的多面体，
当侧棱延长后不交于同一点时，就不是棱台，B错；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，C正确；
平行六面体一定是棱柱，D错．故选：AC．
10．（2022春·全国·高一校联考期末）在正方体中，，，过，的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ）
A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱
【答案】ABC
【详解】如图，连接，则平面可截得三棱锥，故A正确；
如图，过作，过作，则过E，F的平面可截得直三棱柱，故B正确.
如图，延长至，连接，分别与交于两点，则可得平面截得三棱台，故C正确；
因为将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱，故D错误.
故选：ABC.
11．（2022春·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考期中）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】BD
【详解】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，
如图，截面的形状只可能为四边形和六边形. 故选：BD
12．（多选）（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】如图（1）所示，若两个平行平面在球心同侧，
则；
如图（2）所示，若两个平行截面在球心两侧，
则.故选：AD.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·高二课时练习）关于棱柱，下列说法正确的是______．（选填序号）
①所有的棱长都相等；②相邻两个面的交线叫做侧棱；③棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；④棱柱中至少有两个面的形状完全相同；⑤在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有2个．
【答案】④⑤
【详解】①棱柱的所有的侧棱长都相等，所有的棱长不一定相等.判断错误；
②相邻两个侧面的交线叫做侧棱，相邻两个面的交线可能是底面的边.判断错误；
③正四棱柱中相对的两个侧面互相平行.判断错误；
④棱柱的两个底面全等，则棱柱中至少有两个面的形状完全相同.判断正确；
⑤在斜棱柱的所有侧面中，最多互相平行的两个侧面可以是矩形，则矩形最多有2个．判断正确；
故答案为：④⑤
14．（2022·陕西西安·校考模拟预测）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点为四边形的中心，点为“四脚帐篷”的“上顶点”，.用平行于平面的平面去截“四脚帐篷”，当平面经过的中点时，截面图形的面积为___________.
【答案】3
【详解】根据对称性，可得截面的形状为正方形.
取中点中点，可知截面为半圆.
截面与弧交于点，与交于点为中点，
所以，由勾股定理可得，
所以截面正方形的边长为，故其面积为.故答案为：3
15．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）正方体的棱长为，设为中点，为线段上的动点，，过点，，的平面截该正方体所得截面记为以下结论正确的有___________填上所有正确的说法的序号
①不可能是菱形；②可能是五边形；③时，的面积为；
④时，将棱截成长度比为的两部分.
【答案】②③④
【详解】①当时，与重合，取的中点，连接，
根据正方体的性质可知，且，
所以截面为菱形，故①错误；
对于②④，当时，延长，交的延长线于，连接并延长，交于，
设，连接，由于，结合正方体的性质可知，
结合共面可知为截面，如图所示，
点是的中点，可得，，
与的交点满足，此时是五边形，且将棱截成长度比为的两部分.
故②④正确；
对于③，当时，根据正方体的性质可知，且，
如图所示，为等腰梯形，
可得，，等腰梯形得高为，
则的面积为.故③正确.故答案为：②③④
16．（2022·河南·校联考一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，，F为棱AA1上的一动点，则当BF+FC1最小时，△BFC1的面积为__________．
【答案】
【详解】解：由题意得 将直三棱柱的侧面沿剪开，并展开到同一平面上，如图所示：
连接，则与的交点即为最小时的点.在展开图中，，，.
又由易知，由此可知
在直三棱柱中，
在中，
故△BFC1的面积为故答案为：
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·高一单元测试）一个几何体的表面展开平面图如图.
(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
【答案】(1)四棱台；(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”
【详解】试题分析：（1）从一个几何体的表面展开平面图分析，此几何体是四棱台（2）把展开的平面图还原为四棱台即得结果.
试题解析：(1)该几何体是四棱台；
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
18．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．
【答案】
【详解】解：沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：
且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，
且.
19、（2022·全国·高一专题练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
【答案】．
【解析】作出圆台的侧面展开图，如图所示，
由轴截面中与相似，得，可求得．
设，由于的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为，
扇形的半径为，扇形所在圆的周长为．
所以的长度为所在圆周长的，所以．所以在中，，
所以，即所求绳长的最小值为．
20、（2022·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积.
【答案】
【解析】根据正棱锥的性质，知底面是正方形，故.
在等腰中，，又∵，
∴，
∴，即
21．（2022秋·上海浦东新·高二校考期中）已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形.
(1)求该圆锥的高；(2)求圆锥的母线与底面所成角的大小.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为底面半径，所以底面周长，及侧面展开图的弧长为，因为侧面展开图的圆心角，所以侧面展开图的半径，及母线长为，根据勾股定理可知圆锥的高；
（2）圆锥与底面所成角记作，则，所以.
22．（2022·高二课时练习）将地球视为球体，记地球半径为，地球球心为，设,为赤道上两点，且半径与的夹角为
(1)求线段的长；(2)赤道在 两点间的劣弧长.
【答案】(1)(2)
（1）在中，由余弦定理可得
所以
（2）赤道在A B两点间的劣弧长：
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8.1 基本立体图形
【学习要求】
1.理解并掌握棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；
2.常见几何体的侧面展开图及截面问题的计算。
【思维导图】
【知识梳理】
1.空间几何体的相关概念
（1）空间几何体：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这些由物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
（2）多面体：由若干平面多边形围成的几何体叫多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（3）旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.
2.棱柱：（1）棱柱的定义:一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点
（2）棱柱的图形
（3）棱柱的分类及表示
①按棱柱底面边数分类；②按棱柱侧棱与底面位置关系分类；③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱。表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱
3、棱锥：（1）棱锥的定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。底面：多边形面；侧面：有公共顶点的各三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点
（2）棱锥的图形
（3）棱锥的分类及表示：按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥。表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥
4. 棱台：（1）棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台。上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：除上下底面以外的面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
（2）棱台的图形
（3）棱台的分类及表示
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
用各顶点字母表示棱柱，如棱台
5.圆柱：（1）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。圆柱的轴：旋转轴；圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边。
（2）圆柱的图形
（3）圆柱的表示：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱
6.圆锥：（1）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体。轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
（2）圆锥的图形
（3）圆锥的表示：用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥
7.圆台：（1）圆台的定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台
轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体
（2）圆台的图形
（3）圆台的表示：用表示它的轴的字母表示，如图，圆台
8.球
（1）球的定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球。
（2）球心：半圆的圆心叫做球的球心；
（3）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；
（4）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
【高频考点】
高频考点1. 棱柱的几何特征
【方法点拨】棱柱的定义:一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点
1.（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A． B． C． D．
2、（2022春·山西太原·高一统考期中）下列结论不正确的是（ ）
A．长方体是平行六面体 B．正方体是平行六面体
C．平行六面体是四棱柱 D．直四棱柱是长方体
3、（2022春·广东·高一统考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
D．在棱柱的面中，至少有两个面互相平行
4.（2022·高一课时练习）下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5.（2022春·河北邢台·高一校联考阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．棱柱的每个面都是平行四边形 B．一个棱柱至少有五个面
C．棱柱有且只有两个面互相平行 D．长方体是正四棱柱
高频考点2 . 棱锥和棱台的几何特征
【方法点拨】结合具体条件，根据棱锥、棱台的结构特征，进行分析求解.
1、（2022春·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）下列几何体中是棱锥的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2022春·浙江嘉兴·高一校考期中）下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C．D．
3.（2022春·河南开封·高一校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A． B． C． D．
4.（2022春·河南商丘·高一校联考期末）下列关于棱锥 棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
5、（2022春·江苏苏州·高一校考期中）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
（2）由若干个平面多边形所围成的几何体是多面体
（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
A．3个 B．2个 C．1个 D．0
6．（2022·上海·高二专题练习）已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为___________．
7．（2022·高二课时练习）正六棱锥高为1，侧棱长为2，则底面边长为___________.
高频考点3 . 旋转体的几何特征
【方法点拨】通过旋转体的结构特征，进行分析，即可得解.
1、（2022春·浙江台州·高一统考期末）将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆台 C．圆锥 D．棱柱
2．（2022·高一课时练习）关于下列几何体，说法正确的是（ ）
A．图①是圆柱 B．图②和图③是圆锥 C．图④和图⑤是圆台 D．图⑤是圆台
4.（2022·全国·高一专题练习）下列关于圆柱的说法中，不正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
5．（2022·全国·高三专题练习）碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动.若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
6．（2022·高一课时练习）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的两个几何体分别为一个小圆锥和一个圆台，若小圆锥的底面面积与原圆锥的底面面积之比为1：4，圆台的母线长为9 cm，则原来的圆锥的母线长为______.
高频考点4. 简单的组合体问题
【方法点拨】掌握常见的几种简单组合体，结合具体问题，进行求解即可.
1.（2022·高一课时练习）如图所示的简单组合体的组成是（ ）
A．棱柱、棱台 B．棱柱、棱锥 C．棱锥、棱台 D．棱柱、棱柱
3、（2022·高一课时练习）如图的组合体是由（ ）组合而成.
A．两个棱柱 B．棱柱和圆柱 C．圆柱和棱台 D．圆锥和棱柱
3．（2022春·广东珠海·高一校考阶段练习）铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种．如图所示为清朝时的一枚“嘉庆通宝”，由一个圆和一个正方形组成，若绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体是（ ）
A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个正方体
4．（2022春·上海宝山·高一校考期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
5．（2022·上海·高二专题练习）一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．
（1）求此几何体的表面积；（2）如果点在直观图中所示位置，为所在母线中点，为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径长．
高频考点5 . 展开图及最短路径问题
1.（2023·高一课时练习）如图，已知正三棱柱底面边长4，高为7，一质点从A出发，沿三棱柱侧面绕行两周到达的最短路线长为（ ）
A．25 B．24 C．31 D．28
2.（2022·全国·高一假期作业）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（ ）
A．4 B． C． D．
3.（2022春·河南·高一校联考期中）“莫言下岭便无难，赚得行人空喜欢．”出自南宋诗人杨万里的作品《过松源晨炊漆公店》．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形．山脚呈圆形，半径为40km．山高为km，B是山坡SA上一点，且km．为了发展旅游业，要建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为（ ）
A．60km B．km C．72km D．km
4.（2022春·湖北襄阳·高一宜城市第一中学校联考阶段练习）如图，某圆柱的高为4，底面周长为16，，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为_______.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点拉条绳子绕圆台侧面转到点，求这条绳长的最小值．
高频考点6. 几何体的截面问题
【方法点拨】根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.
1.（2022·高一课时练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
2.（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第四十中学校考阶段练习）一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是_____.
3、（2023·高一课时练习）从一个底面半径和高均为R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的棱锥，得到一个如图几何体.如果用一个与圆柱下底面距离为d的平行平面去截这个几何体，截面面积为______.
4．（2022春·湖北襄阳·高一校考阶段练习）在正方体中，点是棱上的动点，则过，，三点的截面图形是（ ）
A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．以上都有可能
5．（2022·全国·高三专题练习）一个透明封闭的正四面体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正四面体，则水面在容器中的形状可能是：①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（多选）（2022春·福建厦门·高一校考期中）用一个平面去截正方体，截面的形状不可能是（ ）
A．直角三角形 B．等腰梯形 C．正五边形 D．正六边形
7．（2022·上海·高二专题练习）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为的内接圆柱．
(1)用表示圆柱的轴截面面积(2)当为何值时，最大？
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、（2022春·吉林长春·高一统考期中）下列关于棱柱的说法错误的是（ ）
A．所有的棱柱两个 面都平行
B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D．棱柱至少有5个面
2．（2022春·河南开封·高一校考期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A． B． C． D．
3.（2022·高一课时练习）下列叙述中，正确的个数是（ ）
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（2022·全国·模拟预测）如图，圆柱的底面半径为2，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的下底面圆上，若圆柱的侧面积为，且，则（ ）
A． B．4 C． D．
6．（2022·全国·模拟预测）将一个半圆沿它的一条半径剪成一个小扇形和一个大扇形，其中小扇形的圆心角为，则小扇形围成的圆锥的高与大扇形围成的圆锥的高之比为（ ）
A．21 B． C．41 D．
7．（2022·陕西西安·统考三模）若某圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为3，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正四棱台中，棱，，的夹角为，，则棱，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·广东广州·校联考三模）下列说法中正确的是（ ）
A．长方体是直四棱柱 B．两个面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台
C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．平行六面体不是棱柱
10．（2022春·全国·高一校联考期末）在正方体中，，，过，的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（ ）
A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱
11．（2022春·广东汕头·高一汕头市潮阳林百欣中学校考期中）如图，为正方体中所在棱的中点，过两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．（2022春·湖南邵阳·高一统考期中）两平行平面截半径为的球，若截面面积分别为和，则这两个平面间的距离是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·高二课时练习）关于棱柱，下列说法正确的是______．（选填序号）
①所有的棱长都相等；②相邻两个面的交线叫做侧棱；③棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行；④棱柱中至少有两个面的形状完全相同；⑤在斜棱柱的所有侧面中，矩形最多有2个．
14．（2022·陕西西安·校考模拟预测）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图1）.如图2所示的“四脚帐篷”为“牟和方盖”的上半部分，点为四边形的中心，点为“四脚帐篷”的“上顶点”，.用平行于平面的平面去截“四脚帐篷”，当平面经过的中点时，截面图形的面积为___________.
15．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）正方体的棱长为，设为中点，为线段上的动点，，过点，，的平面截该正方体所得截面记为以下结论正确的有___________填上所有正确的说法的序号
①不可能是菱形；②可能是五边形；③时，的面积为；
④时，将棱截成长度比为的两部分
16．（2022·河南·校联考一模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，，，F为棱AA1上的一动点，则当BF+FC1最小时，△BFC1的面积为__________．
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·高一单元测试）一个几何体的表面展开平面图如图.
(1)该几何体是哪种几何体；(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
18．（2022·全国·高三专题练习）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．
19、（2022·全国·高一专题练习）如图所示，圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，从母线的中点M拉条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
20、（2022·全国·高一专题练习）如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积.
21．（2022秋·上海浦东新·高二校考期中）已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形.(1)求该圆锥的高；(2)求圆锥的母线与底面所成角的大小.
22．（2022·高二课时练习）将地球视为球体，记地球半径为，地球球心为，设,为赤道上两点，且半径与的夹角为(1)求线段的长；(2)赤道在 两点间的劣弧长.
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