湖北省孝感市七所普高联考2013-2014学年高二下学期期中考试数学（理）试题

命题人：徐　志 审题人：蔡新鹏
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.
1．若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（ ）
A．，方程C表示椭圆B．，方程C表示椭圆
C．，方程C表示双曲线 D．，方程C表示抛物线
2．抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．P: ,Q:，则“P”是“Q”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．向量，与其共线且满足的向量是（ ）
A． B．（4，－2，4）
C．（－4，2，－4） D．（2，－3，4）
5．如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，
则等于（ ）
A． B． C． D．
6、空间直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1，0），B（-1，3，0），若点C满足=α+β，其中α，βR，α+β=1，则点C的轨迹为（ ）
A．平面 B．直线 C．圆 D．线段
7、椭圆上一点M到焦点的距离为2，是的中点，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．
8. 已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方体的棱长为2， 点是
平面上的动点，点在棱上， 且，
且动点到直线的距离与点到点的距离的
平方差为4，则动点的轨迹是（　　）
A．抛物线 B．圆 C．双曲线 D．直线
10．过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线，若与双曲线M的两条渐近线分别相关于点B、C，且｜AB｜＝｜BC｜，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、双曲线两条渐近线的夹角为60o，该双曲线的离心率为 .
12、如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在直线方程是 .
13、已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米。当水面升高1米后，水面宽度是________米.
14．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是 .
15．如图，正方体中，，分别为棱，上的点．已知下列判断：①平面；②在侧
面上的正投影是面积为定值的三角形；
③在平面内总存在与平面平行的直线；
④平面与平面所成的二面角（锐角）
的大小与点的位置有关，与点的位置无关．
其中正确结论的序号为__________（写出所有正确结论的序号）.
三、解答题（共75分，解答题应有适当的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）
设命题：，命题：；
如果“或”为真，“且”为假，求的取值范围。
17．（本小题满分12分）
如图，直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且⊥平面.（1）求证：⊥平面；
（2）求点到平面的距离.

18．（本小题满分12分）已知椭圆＋y2＝1及点B（0，－2），过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求△CDF2的面积．


19.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，
　　，点在上，且.
（1）求二面角的余弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得平面.
20．（本小题满分13分）已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，
△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.
21．（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，为其
焦点，一直线过点与椭圆相交于两点，且的最大面积为，求椭圆的方程.
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17、解：（1）平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.
又∵，BF平面BCE，CB平面BCE，
------------4分
设平面AEC的一个法向量为，
则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
∵AD//z轴，AD=2，∴，
∴点D到平面ACE的距离
---------12分
18、解:F1(－1,0)
∴直线CD方程为y＝－2x－2，由得9x2＋16x＋6＝0，而Δ>0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 ----------4分
|CD|＝，
∴|CD|＝＝. ---------8分
F2到直线DC的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝. --------12分
19、解：（1）以为坐标原点，直线，，分别
为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，
则，， --------2分
∴ ，.
∵平面
∴ 为平面的法向量，
， -----4分
设平面的一个法向量为，
由，且，
得
令，则，，
所以 ------ 6分
所以，
即所求二面角的余弦值为. ------ 8分
（2）设，则，
∵， ∴
，
若平面，则，即，
，解得，
所以存在满足题意的点，当是棱的中点时，平面. -----12分
21、解：由＝得
所以椭圆方程设为 ------2分
设直线，由 得：
设，则是方程的两个根
由韦达定理得 -------5分
所以 -------7分
＝ -------12分
当且仅当时，即轴时取等号
所以，所求椭圆方程为 -------14分