【江苏版】2014届中考数学专题(13)开放性问题

( http: / / www.21cnjy.com )
选择题
1.【南京市高淳区】如图，二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图象过（1，－1）和（3，0），则下列关于这个二次函数的描述，正确的是（ ）．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．y的最小值大于－1 B．当x＝0时，y的值大于0
C．当x＝2时，y的值等于－1 D．当x＞3时，y的值大于0
( http: / / www.21cnjy.com )2. 【无锡市滨湖中学】如图,已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为x＝﹣3,过其顶点M的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1,1）．要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小,则点P的坐标为 （ ）
A．（0,2） B．（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,0） C．（0,2）或（ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ,0） D．以上都不正确
( http: / / www.21cnjy.com )3. 【兴化市茅山中心】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，则下列结论中正确的是（　　）
A．a＞0　 　B． 当x＞1时，y随x的增大而增大
C．c＜0 D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根
( http: / / www.21cnjy.com )4.【南京市高淳区】如图，AC、BD为圆O的两条互相垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿O→C→D→O的路线作匀速运动，设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，那么表示y与t之间函数关系的图象大致为（ ▲ ）．
( http: / / www.21cnjy.com )5.【南京市高淳区】已知二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （a为常数，且a≠0），图像的顶点为C．以下三个判断： ①无论a为何值，该函数的图像与x轴一定有两个交点；②无论a为何值，该函数的图像在x轴上截得的线段长为1；③若该函数的图像与x轴有两个交点A、B，且S△ABC＝1时，则a＝8．其中，正确的是（ ▲ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
( http: / / www.21cnjy.com )
6.【无锡市塔影中学】二次函数y＝ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＜0；③a＋bm＜m( am＋b )（m≠1）；④( a＋c )2＜b 2；⑤a＞．其中正确的是……（　 　）
A．①⑤ B．①②⑤ C．②⑤ D．①③④
( http: / / www.21cnjy.com )7.【无锡市惠山北片】定义：，，例如，，则等于 （ ）
A．（-6，5） B．（-5，6） C．（6，-5） D．（-5，6）
( http: / / www.21cnjy.com )
8.【无锡市惠山北片】如图,已知抛物线y1 ( http: / / www.21cnjy.com )=－2x2＋2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.例如：当x=1时，y1=0,y2=4,y1＜y2，此时M=0. 下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2；
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是或.其中正确的是 ( )
A. ①② B.①④ C.②③ D.③④
( http: / / www.21cnjy.com )＞y1；
( http: / / www.21cnjy.com )9.【扬州市邗江区】如图，已知抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 和直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M= y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x= 1 .其中正确的有（）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个
( http: / / www.21cnjy.com )
10.【无锡市前洲中学】一只跳蚤在第一象限 ( http: / / www.21cnjy.com )及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1) →(1，1) →（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第2014秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A．（0，672 ） B．（672，0） C．（44，10） D．（10，44）
( http: / / www.21cnjy.com )考点: 规律型：点的坐标．
二。填空题
1.【无锡市滨湖中学】已知 ( http: / / www.21cnjy.com )二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示,给出以下4个结论:①a＋b＋c＜0;②a－b＋c＜0;③b＋2a＜0;④abc＞0．其中正确的结论有__________________．（填写序号）
( http: / / www.21cnjy.com )
2.【南京市高淳区】某公园草坪的防护栏 ( http: / / www.21cnjy.com )形状是抛物线形．为了牢固起见，每段护栏按0.4m的间距加装不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则其中防护栏支柱A2B2的长度为 ▲ m．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
3.【兴化市茅山中心校】如图，利用 ( http: / / www.21cnjy.com )两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
4.【南京市高淳区】如图，点A、B ( http: / / www.21cnjy.com )在直线MN上，AB＝8cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒1cm的速度自左向右运动；与此同时，⊙B的半径也随之增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间满足关系式r＝1＋t(t≥0) ．则当点A出发后 ▲ 秒，两圆相切．
( http: / / www.21cnjy.com )5.【无锡市惠山北片】设[x）表示大于x的最小整数，如[3）=4，[－1.2）=－1，则下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①[0）=0 ②[x）－x的最小值是0 ③[x）－x的最大值是0 ④存在实数x，使[x）－x=0.5成立．
( http: / / www.21cnjy.com )
试题解析：①[0）=1，故本项错误；
( http: / / www.21cnjy.com )
6.【扬州市邗江区】方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　　.
( http: / / www.21cnjy.com )7.【扬州市邗江区】某地区周一至周六每天的平均气温为：2， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，3，X，6，5，（单位：℃）则这组数据的极差是9,则x=.
( http: / / www.21cnjy.com )
8.【泰州市姜堰区】在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P（a，0）. ⊙P的半径为2，将⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，则a的值为.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
三。解答题
1.【无锡市滨湖中学】探究一:如图1,已知正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD,E、F分别是BC、AB上的两点,且AE⊥DF．小明经探究,发现AE＝DF．请你帮他写出证明过程.
( http: / / www.21cnjy.com )
探究二:如图2,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE⊥FH．小明发现,GE与FH并不相等,请你帮他求出 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
探究三:小明思考这样一个问 ( http: / / www.21cnjy.com )题:如图3,在正方形ABCD中,若E、G分别在边BC、AD上,F、H分别在边AB、CD上,且GE＝FH,试问:GE⊥FH是否成立？若一定成立,请给予证明;若不一定成立,请画图并作出说明．
( http: / / www.21cnjy.com )（3）不一定成立．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2.【兴化市茅山中心校】已知直线分别与y轴、x轴相交于A、B两点，与二次函数的图像交于A、C两点．
(1) 当点C坐标为（，）时，求直线AB的解析式；
(2) 在（1）中，如图，将△ABO沿y轴翻折180°，若点B的对应点D恰好落在二次函数的图像上，求点D到直线AB的距离；
(3) 当-1≤x≤1时，二次函数有最小值-3,求实数m的值.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )所以直线AB的解析式为：.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3，【江阴市青阳片】如图 ( http: / / www.21cnjy.com )①，梯形ABCD中，∠C＝90°．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA—AD—DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1 cm/s．设E、F出发t s时，△EBF的面积为y cm2．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）梯形上底的长AD＝_____cm，梯形ABCD的面积_____cm2；
（2）当点E在BA、DC上运动时，分别求出y与t的函数关系式(注明自变量的取值范围)；
（3）当t为何值时，△EBF与梯形ABCD的面积之比为1：2.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )4.【江阴市青阳片】小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为啊a（a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积；
小明发现：分别延长QE，MF，NG，P ( http: / / www.21cnjy.com )H，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）
( http: / / www.21cnjy.com )
请回答：
（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为__________；
（2）求正方形MNPQ的面积；
参考小明思考问题的方法，解决问题：
（3）如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，则AD的长为__________.
( http: / / www.21cnjy.com )（3）如图，延长DP交BC于点H，
( http: / / www.21cnjy.com )5.【南京市高淳区】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t s，四边形APQC的面积为y cm2．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形
（2）①求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？
（3）设PQ的长为x cm，试求y与x的函数关系式．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（3）在Rt△PQH中，PH＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （4－t），HQ＝ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （4－t）－t，
( http: / / www.21cnjy.com )6.【无锡市塔影中学】如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边A ( http: / / www.21cnjy.com )B相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内 ( http: / / www.21cnjy.com )部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为S，你认为能否确定S的最大值？若能，请你求出S的最大值；若不能，请你说明不能确定S的最大值的理由．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )时⊙P的面积就是S的最大值，
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
7.【无锡市塔影中学】一家图文广告公司制 ( http: / / www.21cnjy.com )作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在10～30dm之间．每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：dm2）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与画板的大小无关，是固定不变的．浮动价与画板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
画板的边长（dm） 10 20
出售价（元/张） 160 220
（1）求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出售一张边长为30dm的画板，获得的利润为130元（利润＝出售价－成本价），
①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式；
②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
8.【无锡市塔影中学】在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．
（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；
（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．
（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，
①当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？此时⊙F和直线BO的位置关系如何？请说明理由．
②G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC的最小值，并将此最小值用x表示．
( http: / / www.21cnjy.com )定理表示出BC的长即可．
( http: / / www.21cnjy.com )
∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，
( http: / / www.21cnjy.com )
又F为BC中点，∴A为OC中点，又AO=1，则OC=2，
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
9.【无锡市惠山北片】翻转类的计算问题 ( http: / / www.21cnjy.com )在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。）
（1）如图①，小菲同学把一个边 ( http: / / www.21cnjy.com )长为1的正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O所经过的路程；并求顶点O所经过的路线；
（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边 ( http: / / www.21cnjy.com )长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 。
（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把 ( http: / / www.21cnjy.com )这个正三角形的一边OA与这个正方形的一边OA重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相对位置和初始时一样），求顶点O所经过的总路程。
②若把边长为1的正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形OABC放在边长为1的正五边形OABCD上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O所经过的总路程。
（4）规律总结，边长相等的两个正多边形 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。
( http: / / www.21cnjy.com ) (3)方法同（2）；
( http: / / www.21cnjy.com )10.【扬州市邗江区】如图，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与x轴交于点A（—2，0），交y轴于点B（0， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ）.直 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D.
（1）求抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 与直线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的解析式；
（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一 ( http: / / www.21cnjy.com )动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m与x的函数关系式，并求出m的最大值．
( http: / / www.21cnjy.com )再利用配方法求出二次函数最值即可.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
11.【泰州市姜堰区】如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC=4，∠OAC=60°.
（1）求∠AOC的度数；
（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，求证：PC为⊙O的切线.
（3）如图（2），一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周（点M不与点C重合），当 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 时，求动点M所经过的弧长.
( http: / / www.21cnjy.com )M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )12.【泰州市姜塔区】已知，关于x的二次函数， HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （k为正整数）.
（1）若二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图象与x轴有两个交点，求k的值.
（2）若关于x的一元二次方程 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （k为正整数）有两个不相等的整数解，点A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+2，y3）都在二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 （k为正整数）图象上，求使y1≤y2≤y3成立的m的取值范围.
（3）将（2）中的抛物线平移，当顶点至原 ( http: / / www.21cnjy.com )点时，直线y=2x+b交抛物线于A(-1，n)、B(2，t)两点，问在y轴上是否存在一点C，使得△ABC的内心在y轴上.若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )即为所求C点，坐标为（0，-4）.
( http: / / www.21cnjy.com )13.【无锡市前洲中学】如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A B C D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x ( http: / / www.21cnjy.com )（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；
（2）求正方形边长及顶点C的坐标；
（3）如果点P、Q保持原速度不变，当 ( http: / / www.21cnjy.com )点P沿A B C D匀速运动时，OP与PQ能否相等？若能，求出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )