不等式选讲-2018-2022年全国卷高考真题汇编（含解析）

不等式选讲高考真题汇编
【2022 全国甲卷文理23，10】已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）； （2）若，则．
【2022 全国乙卷文理23，10】已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）；（2）；
【2021 全国甲卷文理23，10】已知函数，.
（1）画出和的图象；（2）若，求的取值范围．
【2021 全国乙卷文理23，10】已知函数。
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围。
【2020 新课标Ⅰ文理23，10】已知函数．
（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．
【2020 新课标Ⅱ文理23，10】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；（2）若f，求的取值范围．
【2020 新课标Ⅲ文理23，10】设∈R，，．
（1）证明：；
（2）用表示中的最大值，证明：．
【2019 全国卷Ⅲ理23，10】设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
【2019 全国卷Ⅱ文理23，10】已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
【2019 全国卷Ⅰ文理23，10】已知为正数，且满足．证明：
（1）； （2）．
【2018 全国Ⅰ卷文理23，10】已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
【2018全国Ⅱ卷文理23，10】设函数．
（1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围．
【2018 全国Ⅲ卷文理23，10】设函数．
（1）画出的图像； （2）当，，求的最小值．
不等式选讲高考真题答案解析
【2022 全国甲卷文理23，10】已知a，b，c均为正数，且，证明：
（1）； （2）若，则．
【分析】（1）根据，利用柯西不等式即可得证；
（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.
证明：由柯西不等式有，
所以，当且仅当时，取等号，所以；
证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，所以.
【2022 全国乙卷文理23，10】已知a，b，c都是正数，且，证明：
（1）；（2）；
证明：因为，，，则，，，
所以，
即，所以，当且仅当，即时取等号．
证明：因为，，，
所以，，，
所以，，
【2020 新课标Ⅰ文理23，10】已知函数．
（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．
【解答】解：函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|＝，图象如图所示
（2）由于f（x+1）的图象是函数f（x）的图象向左平移了一个1单位所得，（如图所示）
直线y＝5x﹣1向左平移一个单位后表示为y＝5（x+1）﹣1＝5x+4，
联立，解得横坐标为x＝，∴不等式f（x）＞f（x+1）的解集为{x|x}．
【2020 新课标Ⅱ文理23，10】已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；（2）若f，求的取值范围．
（1）把a＝2代入函数解析式，写出分段函数，然后对x分类求解不等式，取并集得答案；
（2）利用绝对值不等式的性质可得f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣（x﹣2a+1）|＝|（a﹣1）2|＝（a﹣1）2．由f（x）≥4，得（a﹣1）2≥4，求解二次不等式得答案．
【解答】（1）当a＝2时，f（x）＝|x﹣4|+|x﹣3|＝，
∴当x≤3时，不等式f（x）≥4化为﹣2x+7≥4，即x≤，∴x；
当3＜x＜4时，不等式f（x）≥4化为1≥4，此时x∈ ；
当x≥4时，不等式f（x）≥4化为2x﹣7≥4，即x，∴x．
综上，当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤或x≥}；
（2）f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣（x﹣2a+1）|＝|（a﹣1）2|＝（a﹣1）2．
又f（x）≥4，∴（a﹣1）2≥4，得a﹣1≤﹣2或a﹣1≥2，解得：a≤﹣1或a≥3．
综上，若f（x）≥4，则a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．
【2020 新课标Ⅲ文理23，10】设∈R，，．
（1）证明：；
（2）用表示中的最大值，证明：．
（1）将a+b+c＝0平方之后，化简得到2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，即可得证；
（2）利用反证法，假设a≤b＜0＜c＜，结合条件推出矛盾．
证明：（1）∵a+b+c＝0，∴（a+b+c）2＝0，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2），
∵abc＝1，∴a，b，c均不为0，∴2ab+2ac+2bc＝﹣（a2+b2+c2）＜0，∴ab+ac+bc＜0；
（2）不妨设a≤b＜0＜c＜，则ab＝＞，∵a+b+c＝0，∴﹣a﹣b＝c＜，
而﹣a﹣b≥2＞＝＝＝，与假设矛盾，故max{a，b，c}≥．
【2019 全国卷Ⅰ文理23，10】已知为正数，且满足．证明：
（1）； （2）．
解：（1）因为，又，故有
.所以.
（2）因为为正数且，故有
=24. 所以.
【2019 全国卷Ⅱ文理23，10】已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围.
解：（1）当a=1时，.
当时，；当时，.
所以，不等式的解集为.
（2）因为，所以.
当，时，.
所以，的取值范围是.
【2019 全国卷Ⅲ理23，10】设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
解：（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，，时等号成立．
所以的最小值为.
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
【2018 全国Ⅰ卷文理23，10】已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
解答：（1）当时，，
∴的解集为.
（2）当时，，当时，不成立.
当时，，∴，不符合题意.
当时，，成立.
当时，，∴，即.
综上所述，的取值范围为.
【2018全国Ⅱ卷文理23，10】设函数．
（1）当时，求不等式的解集； （2）若，求的取值范围．
答案：（1）当时，可得的解集为．
（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是
【2018 全国Ⅲ卷文理23，10】设函数．
（1）画出的图像； （2）当，，求的最小值．
答案：（1），如下图：（2）由（1）中可得：，，当，时，取最小值，∴的最小值为.