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8.3 简单几何体的表面积与体积
【学习要求】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式及其应用；
2.棱台的表面积和体积公式的推导；
3.圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用；
4.推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算.
【思维导图】
【知识梳理】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积：正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积：
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积：棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
（2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
（3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
4.圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积：
5.球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积:
【高频考点】
高频考点1. 棱柱的表面积与体积计算
【方法点拨】求解棱柱的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022·广东·高一专题练习）正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则高为，
它的表面积为.故选:B.
2.（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，
减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为，宽为，所以面积为，
所以拼成的几何体的表面积为.故选：C.
3、（2022春·重庆·高一校联考期中）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【解析】由于直观图是正方形，所以ABCD是两邻边分别为1与3，高为的平行四边形，
其周长是，面积是，
所以直四棱柱的表面积是.故选：C
4.（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，设靠近点的三等分点为点，
当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，
因为,所以，,
所以，解得.故选：A.
5、（2022春·江苏镇江·高一统考期末）斜三棱柱中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．Sa
【答案】C
【解析】在斜三棱柱的一侧补上一个三棱柱，
使之成为一个平行六面体，如图，
显然，它的体积为，所以斜三棱柱的体积为.故选：C
6．（2022·广东·统考模拟预测）我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过作于，
由题意可知，在直三棱柱中，到平面的距离为，即，又，
所以该柱体体积为.故选：B.
高频考点2 . 棱锥的表面积与体积计算
【方法点拨】求解棱锥的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，正三棱锥中，，取的中点，连接，
则在上，且，又，所以，
所以，则，
所以，
故三棱锥的表面积为.故选：D
2、（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示，在正四棱锥中，底面的边长为，
设点在底面的射影点为点，则四棱锥的高，
则为的中点，且，，
取的中点，连接，则，且，
，故正四棱锥的表面积为.故选：B.
3．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个棱长为2的正方体内，已知棱锥重合的底面与正方体的底面平行，八面体的各顶点均在正方体的表面上，则该八面体表面积的取值范围为______．
【答案】
【详解】在边长为2的正方形中，设，，则
∴，即
根据题意可知：为正方体底面的中心 取正方形的中心，则三点共线，
取的中点，连接，则，
该八面体表面积故答案为：
4、（2023·高一课时练习）已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则底面的中心O到侧面PAB的距离是______.
【答案】
【解析】如图，延长交于，则是中点，且，连接，
平面，平面，∴，同理，
，平面，∴平面，
过作于，即平面，则，
，平面，∴平面，的长即为O到侧面PAB的距离，
由已知，,
在中，，
，．故答案为：．
5、（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，且，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，且，
∴，作于D，则，
设三棱锥的高为，∴..故选：A.
连接，易知．
因为，所以，又，所以，
则四棱锥的体积.故答案为：.
6．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，平面.与平面的距离为1丈，问它的体积是
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈
【答案】B
【详解】平面，是过的平面是平面的交线，则，从而，，过作平面与直线垂直交直线于点，过作平面与直线垂直交直线于，则几何体为直三棱柱，，
三棱锥的体积为 ，
三棱锥的体积为 ，
三棱柱的体积为 ，
所以所求体积为．选：B．
7．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】将绕顺时针旋转，使得与共面，如图所示，
因为，在中，，，
可得．设点到平面的距离为，
由得：，，解得．故选：
高频考点3 . 棱台的表面积和体积计算
【方法点拨】求解棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1、（2022春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为，
四棱台的侧面均为等腰梯形，则其高为，
所以“斗”的所有侧面的面积之和为，
下底面的面积为，所以.故选: A.
2．（2022·全国·高一期中）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图正六棱台中，设上底面的中心为，下底面的中心为，过点作，
则，，，所以，
在侧面中，，，，过点作，则，
所以，所以，所以；故选：C
3．（2022·高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，分别为上、下底面的中心，分别是，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，. 在中，，
则..故选：C
4.（2022春·重庆沙坪坝·高一校考期中）正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.故选：C.
5.（2022·全国·高一专题练习）如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝________.
【答案】
【解析】因为三棱台中，上、下底面对应边的比为，
所以，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，
，.
设剩余的几何体的体积为V，则V＝，所以，.答案：
6．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为平面，且平面平面ABC，，，
所以，，，，
，，所以.故选：B．
高频考点4 . 圆柱的表面积和体积计算
【方法点拨】求解圆柱的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022春·河南濮阳·高一统考期中）设甲 乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为甲 乙两个圆柱的底面面积分别为，且，
所以甲 乙两个圆柱的底面半径满足：，
所以甲 乙两个圆柱的底面周长满足：，
又因为甲 乙两个圆柱的侧面积相等，所以甲 乙两个圆柱的高满足：，
所以甲 乙两个圆柱的体积满足：.故A，B，D错误.故选：C.
2.（2023·全国·高一专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】D
【解析】大圆柱表面积为
小圆柱侧面积为，上下底面积为
所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大.故选：D
3.（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由条件知该几何体的体积由两部分组成：
①底面半径为3 高为3的圆柱体体积，②底面半径为3 高为2的圆柱体体积的一半，
则该几何体的体积为。故选：D.
4．（2022秋·青海海东·高二统考期末）某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）
【答案】4500
【详解】解：根据题意可知大圆柱的底面圆的半径，两圆柱的高，
设小圆柱的底面圆的半径为，则有，即，解得，
所以该模型的体积为，
所以制作该模型所需原料的质量为.故答案为：4500.
5、（2022·高一课时练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积．
【答案】侧面积为，表面积为
【解析】易知：，因为，，所以，即，
因为，所以圆柱的侧面积，
圆柱的表面积．
6．（2022·全国·高一专题练习）一个圆锥的底面半径为，高为，其中有一个高为的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；(2)当为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值.
【答案】(1)
(2)当时，圆柱的侧面积最大，最大为
(1)解：圆锥的母线长为，
因此，圆锥的侧面积为.
(2)解：设圆柱的底面半径为，则，可得，其中，
所以，圆柱的侧面积为，
当且仅当时，等号成立，故当，圆柱的侧面积最大，最大为.
高频考点5. 圆锥的表面积和体积计算
【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r，有，
令圆锥母线长为，有，因此，
显然圆锥侧面展开图扇形弧长，所在圆半径为l，
所以圆锥侧面展开图的圆心角为.故选：A
2.（2022春·山东临沂·高一统考期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B．16π C．18π D．
【答案】D
【解析】底面积为9π，即，所以底面圆的半径,
所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图的弧长，
又因为侧面展开图是圆心角为的扇形，所以扇形半径，
如图所示：则圆锥的高，
则圆锥的体积.故选：D
3.（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，所以.故选：A.
4.（2022春·北京·高一北京市第十二中学校考期末）如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（ ）
A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为
【答案】D
【解析】由题意，圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，
即可知圆锥的侧面展开图的面积即圆锥的侧面积是以母线为半径形成的圆面积的，
设圆锥母线长为l，即有 ，故A错误；
圆锥的表面积为，故B错误；
由题意可知，圆锥的侧面展开图是以母线为半径形成的圆的一半，
故侧面展开图扇形圆心角为，故C错误；
圆锥的体积为 ，故D正确，故选：D
5．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为，故选:C．
高频考点6. 圆台的表面积和体积计算
【方法点拨】求解圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2023·全国·高一专题练习）圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（ ）
A．20 B．2 C． D．10
【答案】D
【解析】由题知，圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，
设圆台的上、下底面半径和高分别为母线长为，
所以，得，
因为，所以所以．故选：D
2.（2022春·江苏宿迁·高一校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
设圆台的母线为，则圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，
圆锥的侧面积记为，
截去的小圆锥的侧面积即为，
故圆台的侧面积为,故选：C
3.（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为，设圆台的高为h，
如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，
大扇形弧长， 由知道 ，
则圆台的侧面积 所以高 ，
圆台的体积 故选：C.
4.（2022春·山东青岛·高一统考期末）《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，可得，可得，
又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为.故选：B.
5、（2022春·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则该圆台全面积为________.
【答案】
【解析】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径为.由，解得.
则该圆台全面积为.故答案为：
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．
【答案】
【详解】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.
∵，∴，，
又∵∴为的边的中位线，
∵，得
则，解得∴
则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即
圆台的侧面积.故答案为：；.
高频考点7. 球的表面积和体积的计算
【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1、（2023·高一课时练习）如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.
【答案】
【解析】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的体积为，
圆锥的体积为，因此，.故答案为：.
2.（2022春·广东潮州·高一校考期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，
所以圆柱的高为，则圆柱的体积为，
设球的半径为，则，故选：C
3.（2023·全国·高一专题练习）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设原球的半径为，扩大后为，则原表面积为，扩大n倍后变为，
所以，得，即半径扩大到原来的倍，比原来增加了倍.故选：A.
4.（2022春·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题，设三个球的半径分别为，
则由题，，故，
故表面积之比故选：B
5、（2023·高一课时练习）已知三个球的半径、、满足，则它们的表面积、、满足的等量关系是______.
【答案】
【解析】由题意得,所以,
因为所以，所以，故答案：.
6．（2022春·福建宁德·高一统考期末）如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________.
【答案】
【详解】由题意，这个组合体的表面积为故答案为：
高频考点8. 组合体的表面积和体积
1.（2022·浙江·高一校联考期中）如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（ ）克.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意圆锥的母线长为，
所以台灯表面积为，
需胶重量为（克）．故选：B．
2.（2022春·福建福州·高一校考期末）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，
圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，
所以组合体的表面积为.故选：A
3.（2022春·全国·高一期末）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得，
所以胶囊的表面积为；故选：C
4.（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示.
根据题意，得垃圾篓的高为.
所以球心到上底面的距离为.设篮球的半径为r，则.
故篮球的表面积为.故选：D.
5、（2022春·西藏拉萨·高一校考期中）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为故选：A.
6．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，分别过点A，B作的垂线，垂足分别为G，H，连接，
易得.
取的中点O，连接，易得，∴.
∴多面体的体积
，故选：A.
7.（2022春·湖北荆州·高一统考期中）在如图所示平面图形中，弧CD为四分之一圆弧，，，，，．求将此平面图形绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．
【答案】表面积，体积．
【解析】所成几何体为一个圆台挖去一个半球，
∵，则∠EDC=45°，则是等腰直角三角形，
∴，，
∴几何体表面积为：，
体积为：
高频考点10. 几何体与球的切、接问题
【方法点拨】
1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
1．（2023·全国·高三专题练习）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______．
【答案】
【详解】长方体外接球的直径为，
所以外接球半径为，所以球的体积为.故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设底面 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为r，由正弦定理得 ，
过 作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，
并且 ，外接球的半径 ，
球O的体积为 ；故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥中，，则经过，，，的外接球的表面积是__________．
【答案】
【详解】解：因为四棱锥的对棱相等，所以将四棱锥补成如图所示的长方体，
则经过A，B，C，D的外接球即为长方体的外接球，
所以球的直径为长方体的对角线的长，
设长方体的长、宽、高分别为，因为，
所以，解得，所以球的半径，
所以球的表面积为，故答案为：
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
【答案】
【详解】因为，取的中点，则为外接圆的圆心，
所以平面，
因为，，，所以，
所以，
又由三棱锥的体积为，所以，解得，
所以球的半径为，故球的表面积.故答案为：.
高频考点11. 几何体的表面积（体积）的最值问题
1．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）四面体的所有顶点都在同一个球面上，且，若该球的表面积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为中，，所以，
又因为，解得外接球半径，
如图所示
为四面体外接球球心，为外接圆圆心，所以平面，
设面上的高为，所以，
又因为在中，，所以，
所以四面体体积的最大值为，故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，是下底面的直径，若点是下底面圆周上的动点，点是上底面内的动点，则四面体的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，所以圆台高为，
所以动点D到圆面的距离为定值．因为动点C到AB的最大距离为3，
所以四面体ABCD的体积最大值为．故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． B． C． D．3
【答案】A
【详解】如图，
，，，则，
设，，则，，则，
∴圆柱侧面积为：，
当时取等号．故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15 B． C． D．8
【答案】D
【详解】若圆锥母线长为，底面半径为，则，故，
又，故，而，则，可得，所以，
若截面顶角，当截面为轴截面时，此时，
又截面面积为，故当时截面面积的最大值为8.故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是___________．
【答案】##
【详解】球的体积要尽可能大时，球需与三棱柱内切．先保证截面圆与内切，如图，
记圆O的半径为r，则由等面积法得，
所以，又，，
所以，所以．由于三棱柱高为10，故球的最大半径为4，
所以．故答案为：
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、（2022·全国·高一专题练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国著名冰城哈尔滨就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，哈尔滨在北纬，
则经过哈尔滨的地球半径与该处的纬线所在平面所成的角为，
于是得哈尔滨所在北纬纬线圆半径，
所以北纬纬线的长为.故选：C
2．（2022·浙江·模拟预测）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，延长与相交于点， 反向延长线交于点，连接交于点，连接，得到截面，由题意得，
在各棱长均为1的正三棱柱中，，
因为，，，，，
所以，
即，
所以，所以.故选：B.
3．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）米斗是我国古代官仓，粮栈 米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（ ）
A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm
【答案】C
【详解】设该米斗的高为hcm，由台体的体积公式可得，
解得.故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设圆锥的内切球的半径为，则，所以.
又圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高为，圆锥的底面半径为，
则圆锥的体积.选：C.
5．（2022·江苏·模拟预测）已知、、是半径为的球的球面上的三个点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，的外接圆半径为，
所以，三棱锥的高为，在中，由余弦定理可得，
所以，，所以，，
因为.故选：B.
6．（2022·天津河西·统考二模）如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，作出轴截面，则根据题意，为正三角形，且面积为，
所以，设正三角形的边长为，则，所以，解得，
因为圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，，
所以，，即圆柱的底面半径为，高为，
所以，圆柱的体积为 故选：D
7．（2022·云南红河·校考模拟预测）圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（ ）
A．20 B．2 C． D．10
【答案】D
【详解】由题知，圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，
设圆台的上、下底面半径和高分别为母线长为，
所以，得，
因为，所以所以．故选：D
8．（2022·安徽·校联考二模）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
在中，由正弦定理得，即，
所以，，
取的中点，连接，则，
即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，
所以三棱锥外接球的体积为.故选：A.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022春·河北衡水·高一统考期中）已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1
【答案】AC
【解析】设球的半径为，则，
所以球的体积为，所以AC选项正确，BD选项错误.故选：AC
10．（2022·广东广州·统考三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
【答案】BCD
【详解】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，
由可得，则，，
又，则，
即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.故选：BCD
11．（2023·全国·高三专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
【答案】AC
【详解】解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；
圆台的体积，则选项错误；
圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；
由前面可知上底面积 下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．
12．（2022·广东珠海·二模）在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，到底面的距离为
B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为
D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
【答案】AD
【详解】解：对于A，当时，，
，设正三棱锥的高为，
根据，得，A正确；
对于B，结合A的分析，当正三棱锥的体积取最大值时，则有，B错；
对于C，当时，过点A作平面分别交线段，于，不重合，
则周长的最小值为展开图的直线距离，C错；
对于，在中根据余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，故函数在上递增，
即当变大时，正三棱锥的表面积一定变大，故D正确．故选：AD．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海长宁·统考一模）已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为_____
【答案】
【详解】根据题意作图如下：
设底面圆半径为，圆柱高设为，则根据圆柱的侧面积为4π，可得，解得.因为以及均为直角三角形，根据三棱锥—ABC外接球的性质可知，的中点即为球心.则，则，所以外接球的半径.三棱锥—ABC外接球体积为，所以要外接球体积最小，只需要最小即可，又不等式可知，当且仅当时，即时成立.故三棱锥—ABC外接球体积的最小值为.故答案为：
14．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为 cm2.
【答案】2400π
【详解】由题意得：，所以cm，所以cm，
所以两个球冠的面积为cm2，
则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：cm2.
15．（2022春·广东广州·高一统考期末）某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．
【答案】##
【详解】由题意，该几何体侧面4个面的面积和为，底面积，
正方形面积.考虑梯形，高为，
故正四棱台的侧面积为，
故该模型表面积为，
故所需金属膜的质量为故答案为：
16．（2022秋·上海闵行·高二校考阶段练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由题知，原三棱柱是直三棱柱，设底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，，
设棱、、的中点分别为、、.
原三棱柱的全面积（）.
由题意，将原三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，记为直三棱柱和直三棱柱，如图所示：
当拼成一个三棱柱时，有两种情况，如图①和②：
图①的全面积（），
图②的全面积（），
当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图③、④、⑤、⑥：
图③的全面积（），
图④的全面积（），
图⑤的全面积（），
图⑥的全面积（），
由上得，两个三棱柱拼成一个新的三棱柱或四棱柱的全面积最大是（），
则（），解得：，故a的取值范围是.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一专题练习）我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．
【答案】，.
【详解】如图所示，该房子的几何图形为，上面是三棱柱和下面是长方体的组合体，
由，，所以，
可得，所以，
所以底下长方体的面积为，
上面三棱柱的面积为，
所以房子的表面积为，
体积.
18.（2022·高一课时练习）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.
（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
【答案】（1）；（2）侧面积；表面积.
【解析】（1）设小棱锥的底面边长为，斜高为，则大棱锥的底面边长为，斜高为，
所以大棱锥的侧面积为，小棱锥的侧面积为，
棱台的侧面积为，
所以大棱锥，小棱锥，棱台的侧面积之比.
（2）因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，
因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以大棱锥的斜高为cm，
所以大棱锥的侧面积为，
所以棱台的侧面积为，
棱台的上，下底面的面积和为，
所以棱台的表面积为.
19．（2022春·北京昌平·高一校考期中）一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积和体积；(2)当为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
【答案】(1)， (2)，
（1）圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积.圆锥的体积.
（2）设圆柱的底面半径为，由题意，知.
圆柱的侧面积，
当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为.
20、（2023·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
【答案】（1）；（2）（克）
【解析】（1）该半球的直径，所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，
所以两个半球的体积之和为，而，
该“浮球”的体积是；
（2）上下两个半球的表面积是，
而“浮球”的圆柱筒侧面积为，
所以1个“浮球”的表面积为，
因此，2500个“浮球”的表面积的和为，
因为每平方米需要涂胶100克，所以总共需要胶的质量为：（克）
21．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.
(1)求三棱锥的的表面积；(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）
【答案】(1)；(2).
（1）解：因为直四棱柱，
所以 ，为三棱锥的的高，
由，所有棱长为2，为等边三角形，所以，
中，
中，过作于，
.
（2）解：设直四棱柱的体积为，所以,
所以当最大时，取到最大值，即求棱柱内放置一个球体积最大，即球半径R最大，
若球与棱柱侧面相切，则半径R即为菱形的内切圆半径，连接与交于点，，
中，，
若球与棱柱上、下底面相切，则半径为，，
所以球半径最大为，此时球体积最大，.
，，此时.
22．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.
(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为、、，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.
【答案】(1)2； (2)证明见解析.
【详解】（1）由于四面体的对棱分别相等，结合长方体的面对角线性质，可以将其置于长方体中，
使其顶点与长方体顶点重合，如下图：
设此四面体所在长方体的棱长分别为，，，
则，解得四面体的体积．
（2）在四面体中，
，，，如下图，将四面体放置长方体中，使其顶点与长方体顶点重合
四面体的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可．
设长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，
，，，
为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形.
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8.3 简单几何体的表面积与体积
【学习要求】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式及其应用；
2.棱台的表面积和体积公式的推导；
3.圆柱、圆锥、圆台及球的表面积和体积公式及其应用；
4.推导体积和面积公式中空间想象能力的形成，以及与球等有关的组合体的表面积和体积的计算.
【思维导图】
【知识梳理】
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）正方体、长方体的表面积：正方体、长方体的表面积就是各个面的面积的和
长、宽、高分别为的长方体的表面积：
棱长为的正方体的表面积：.
（2）棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图
棱柱的侧面展开图为平行四边形，一边为棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.如图:
棱锥的侧面展开图由若干个三角形拼成如图 棱台的侧面展开图由若干个梯形拼成如图
（3）棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱的表面积： 棱锥的表面积： 棱台的表面积：
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
（1）棱柱的体积：棱柱的体积：柱体的体积等于它的底面积和高的乘积，即.
棱柱的高：柱体的两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
（2）棱锥的体积：锥体的体积等于它的底面积和高的乘积的,即理解.
棱锥的高：锥体的顶点到底面之间的距离，即从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长.
（3）棱台的体积：(,分别为上下底面面积，为台体的高)
棱台的高：台体的两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，此点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离，即垂线段的长
3.圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱的表面积
①圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形.圆柱的底面半径为,母线长为,那么这个矩形的一边长为圆柱的底面周长，另一边长为圆柱的母线长，故圆柱的侧面积为.
②圆柱的表面积：.
（2）圆锥的表面积
①圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形.圆锥的底面半径为,母线长为,那么这个扇形的弧长为圆锥的底面周长，半径为圆锥的母线长，故圆锥的侧面积为
②圆锥的表面积：
（3）圆台的表面积
①圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环.圆台的上底面半径为,下底面半径为,母线长为,故圆台的侧面积为
②圆台的表面积：
4.圆柱、圆锥、圆台的体积
（1）圆柱的体积： （2）圆锥的体积： （3）圆台的体积：
5.球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积:
【高频考点】
高频考点1. 棱柱的表面积与体积计算
【方法点拨】求解棱柱的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022·广东·高一专题练习）正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（ ）
A． B． C． D．
3、（2022春·重庆·高一校联考期中）已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（ ）
A．10 B． C． D．
4.（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·江苏镇江·高一统考期末）斜三棱柱中，侧面BB1C1C的面积为S，侧棱AA1到侧面BB1C1C的距离为a，则该斜三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．Sa
6．（2022·广东·统考模拟预测）我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为，到平面的距离为，为，则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ）
A． B． C． D．
高频考点2 . 棱锥的表面积与体积计算
【方法点拨】求解棱锥的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022春·江苏南通·高一统考期末）已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则该三棱锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2、（2022春·广东东莞·高一校联考期中）一个正四棱锥的底面边长为，高为，则该正四棱锥的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·辽宁沈阳·高一校考期中）如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个棱长为2的正方体内，已知棱锥重合的底面与正方体的底面平行，八面体的各顶点均在正方体的表面上，则该八面体表面积的取值范围为______．
4、（2023·高一课时练习）已知正三棱锥的底面边长为，体积为，则底面的中心O到侧面PAB的距离是______.
5、（2022春·山西朔州·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，且，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，平面.与平面的距离为1丈，问它的体积是
A．4立方丈 B．5立方丈 C．6立方丈 D．8立方丈
7．（2022秋·江西萍乡·高二统考期中）在我国古代数学著作《九章算术》中，“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在“鳖臑”中，平面，平面，，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
高频考点3 . 棱台的表面积和体积计算
【方法点拨】求解棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1、（2022春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）“斗”不仅是我国古代容量单位，还是量粮食的器具，如图所示．其可近似看作正四棱台，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，高为．“斗”的面的厚度忽略不计，则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高一期中）已知某正六棱台的上、下底面边长为1和3，高为1，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·高一课时练习）若正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·重庆沙坪坝·高一校考期中）正四棱台的上，下底面的边长分别为2，4，侧棱长2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
5.（2022·全国·高一专题练习）如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝________.
6．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（ ）．
A． B． C． D．
高频考点4 . 圆柱的表面积和体积计算
【方法点拨】求解圆柱的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022春·河南濮阳·高一统考期中）设甲 乙两个圆柱的底面面积分别为，体积为，若它们的侧面积相等且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023·全国·高一专题练习）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ）
A． B． C．4 D．5
3.（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得几何体的最短和最长母线长分别为3和5，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·青海海东·高二统考期末）某学生到某工厂进行劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为一个大圆柱中挖去一个小圆柱后的剩余部分（两个圆柱底面圆的圆心重合），大圆柱的轴截面是边长为的正方形，小圆柱的侧面积是大圆柱侧面积的一半，打印所用原料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.（取）
5、（2022·高一课时练习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积与表面积．
6．（2022·全国·高一专题练习）一个圆锥的底面半径为，高为，其中有一个高为的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积；(2)当为何值时，圆柱侧面积最大？并求出最大值.
高频考点5. 圆锥的表面积和体积计算
【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2022秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022春·山东临沂·高一统考期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9π，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该屋顶的体积约为（ ）
A． B．16π C．18π D．
3.（2023·全国·高一专题练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·北京·高一北京市第十二中学校考期末）如图，将底面半径为2的圆锥放倒在平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆本身恰好滚动了2周，则（ ）
A．圆锥的母线长为8 B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为 D．圆锥的体积为
5．（2023秋·福建宁德·高三校考阶段练习）在世界文化史上，陀螺的起源甚早，除了南极洲外，在其他大陆都有发现．<<世界图书百科全书>>这样写道：“没有人准确知道人们最初玩陀螺的时间．但古希腊儿童玩过陀螺，而在中国和日本，陀螺成为公众娱乐已有几百年的时间．”已知一陀螺圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，底面圆的直径，这个陀螺的表面积（ ）
A． B． C． D．
高频考点6. 圆台的表面积和体积计算
【方法点拨】求解圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1.（2023·全国·高一专题练习）圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（ ）
A．20 B．2 C． D．10
2.（2022春·江苏宿迁·高一校考期末）某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为，则该圆台的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022春·重庆酉阳·高一校考阶段练习）已知圆台的上、下底面的面积分别为、，侧面积是，则这个圆台的体积是（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·山东青岛·高一统考期末）《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则该圆台全面积为________.
5．（2022·全国·高一专题练习）如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则该圆台的体积为_________；侧面积为_________．
高频考点7. 球的表面积和体积的计算
【方法点拨】求解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.
1、（2023·高一课时练习）如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.
2.（2022春·广东潮州·高一校考期中）把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·全国·高一专题练习）若球的表面积扩大为原来的n倍，则它的半径比原来增加的倍数为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·云南曲靖·高一会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知三个球的体积之比为，则它们的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5、（2023·高一课时练习）已知三个球的半径、、满足，则它们的表面积、、满足的等量关系是______.
6．（2022春·福建宁德·高一统考期末）如图，“甜筒”状旋转几何体，由一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个组合体的表面积为________.
高频考点8. 组合体的表面积和体积
1.（2022·浙江·高一校联考期中）如图是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成.其中，圆锥的底面和球的直径都是0.6m，圆锥的高是0.4m.要对这个台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶200克，则共需胶（ ）克.
A． B． C． D．
2.（2022春·福建福州·高一校考期末）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2022春·全国·高一期末）某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4.（2022春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为24a，下底面直径为18a，母线长为13a，则该篮球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5、（2022春·西藏拉萨·高一校考期中）如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.（2022春·湖北荆州·高一统考期中）在如图所示平面图形中，弧CD为四分之一圆弧，，，，，．求将此平面图形绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积．
高频考点10. 几何体与球的切、接问题
【方法点拨】
1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.
2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
1．（2023·全国·高三专题练习）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、、3，则此球的体积为______．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知四面体的所有顶点在球的表面上，平面，，，，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）四棱锥中，，则经过，，，的外接球的表面积是__________．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点都是球的球面上的点，，，，若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.
高频考点11. 几何体的表面积（体积）的最值问题
1．（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）四面体的所有顶点都在同一个球面上，且，若该球的表面积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上、下底面半径分别为1和3，母线长为4，是下底面的直径，若点是下底面圆周上的动点，点是上底面内的动点，则四面体的体积最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为( )
A． B． C． D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）《算数术》竹简于上世纪八十年代出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一."该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.现有一圆锥底面周长为，侧面面积为，其体积的近似公式为，用此π的近似取值（用分数表示）计算过该圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．15 B． C． D．8
5．（2023·全国·高三专题练习）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，则V的最大值是___________．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、（2022·全国·高一专题练习）经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系．能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角．如我国著名冰城哈尔滨就处在北纬，若将地球看成近似球体，其半径约为，则北纬纬线的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·浙江·模拟预测）在各棱长均为1的正三棱柱中，、分别为、的中点，过、、三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为，另一部分的体积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）米斗是我国古代官仓，粮栈 米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（ ）
A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm
4．（2022·全国·模拟预测）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·江苏·模拟预测）已知、、是半径为的球的球面上的三个点，且，，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·天津河西·统考二模）如图，已知某圆锥形容器的轴截面是面积为的正三角形，在该容器内放置一个圆柱，使得圆柱的上底面与圆锥的底面重合，且圆柱的高是圆锥的高的，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·云南红河·校考模拟预测）圆台的上、下底面半径和高的长度之比为，侧面积为，则圆台的母线长是（ ）
A．20 B．2 C． D．10
8．（2022·安徽·校联考二模）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.（2022春·河北衡水·高一统考期中）已知某球的表面积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．球的半径为2 B．球的体积为 C．球的体积为 D．球的半径为1
10．（2022·广东广州·统考三模）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（ ）
A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
11．（2023·全国·高三专题练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄 决胜千里 大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积 下底面积和侧面积之比为
12．（2022·广东珠海·二模）在正三棱锥中，设，，则下列结论中正确的有（ ）
A．当时，到底面的距离为
B．当正三棱锥的体积取最大值时，则有
C．当时，过点A作平面分别交线段，于点，不重合，则周长的最小值为
D．当变大时，正三棱锥的表面积一定变大
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·上海长宁·统考一模）已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为_____
14．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2，球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.如图1，已知该灯笼的高为58cm，圆柱的高为5cm，圆柱的底面圆直径为14cm，则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为 cm2.
15．（2022春·广东广州·高一统考期末）某校高一级学生进行创客活动，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去正四棱台后所得的几何体，其中，为增强其观赏性和耐用性，现对该模型表面镀上一层金属膜，每平方厘米需要金属，不考虑损耗，所需金属膜的质量为____________．
16．（2022秋·上海闵行·高二校考阶段练习）棱柱中，底面三角形的三边长分别为3、4、5，高为（）.过三条侧棱中点的截面把此三棱柱分为两个完全相同的三棱柱，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，小明尝试了除原三棱柱之外的所有情形，发现全面积都比原三棱柱的全面积小，则的取值范围是___________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·全国·高一专题练习）我国已出现了用3D打印技术打印出来的房子，其耗时只有几个小时，其中有一尺寸如图所示的房子．不计屋檐，求其表面积和体积．
18.（2022·高一课时练习）如图所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点且平行于底面的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥.（1）求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；
（2）若大棱锥PO的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积.
19．（2022春·北京昌平·高一校考期中）一个圆锥的底面半径为，高为，在其内部有一个高为的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积和体积；(2)当为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.
20、（2023·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
21．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知：直四棱柱所有棱长均为2，.在该棱柱内放置一个球，设球的体积为，直四棱柱去掉球剩余部分的体积为.(1)求三棱锥的的表面积；(2)求的最大值.（只要求写出必要的计算过程，不要求证明）
22．（2022秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.
(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为、、，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形.
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