二次函数与一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
2．进一步发展估算能力．
(二)能力训练要求
1．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．
2．利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．
(三)情感与价值观要求
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．
教学重点
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
教学难点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
教学方法
学生合作交流学习法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．
Ⅱ．讲授新课
一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2＋2x－10＝0的根．
下图是函数y＝x2＋2x－10的图象．
从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－10的图象与x轴交点的横坐标一个在与 之间，另一个在 与 之间，所以方程x2＋2x－10＝0的两个根一个在 之间，另一个在 之间．这只是大概范围，究竟更接近于哪一个数呢？请大家讨论解决．
有关估算问题我们在前面已学习过了，即是用试一试的方法进行的．可以用计算器进行计算．
从图象上看，x的取值应大于－4.5，所以可以只代入－4.1，－4.2，－4.3，－4.4这四个数进行计算，利用计算器进行探索．
x －4.1 －4.2 －4.3 －4.4
y
本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时，结果只取到十分位．
因此，x＝ 是方程的一个近似根．
．
另一个根在2与3之间，应是2点几，再用计算器进行探索．
x
y
由于当x＝ 时，y的值最接近0，所以另一个根的近似值为x＝ ．
还有其他的方法吗？
二、做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的近似根．
．课堂练习1．利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根。
随堂检测
1、利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：
Ⅳ．课时小结
本节课学习的内容：
1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；
2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标，发展估算能力．
Ⅴ．课后作业
习题2．10
Ⅵ．活动与探究
一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根与二次函数y＝x2－4x＋2的图象有何关系？请你把方程的根在图象上表示出来．
解：一元二次方程x2－4x＋2＝－1的根可以看成函数y＝x2－4x＋2的图象与直线y＝－1的交点的横坐标．回顾与思考
教学目标
(一)教学知识点
1．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
2．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测．
(二)能力训练要求
1．利用二次函数解决实际问题，从而提高学生的数学应用能力．
2．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，提高学生的估算能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过用二次函数的知识解决实际问题，让学生体验数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，激发学生积极参与数学学习活动、对数学有好奇心与求知欲．
2．通过学生互相交流解决实际问题，培养学生的合作交流意识和同学间的友情．
教学重点
1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
2．用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
如何把实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决实际问题．
教学方法
教师引导学生交流学习法．
教具准备
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们回顾了二次函数的定义．二次函数的三种表示方式，重点研究了不同形式的二次函数的图象的性质．本节课我们继续来回顾利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根和用二次函数的知识解决实际问题．
Ⅱ．新课讲解
一、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)之间的关系．
在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当y＝0时，就转化成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，因此，可以说一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是函数y＝ax2＋bx＋c的一种特殊情况，即函数值为0时的情况，这时函数中自变量x的值就是方程中的解．所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标．
二次函数的图象有时不与x轴相交，那么上面的结论是否还成立呢？
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点．当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
在不画图象的情况下，你能否判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴是否有交点呢？
当b2－4ac 0时，抛物线与x轴有两个交点；
当b2－4ac 0时，抛物线与x轴只有一个交点；
当b2－4ac 0时，抛物线与x轴没有交点．
在不画图象的情况下，判断下列二次函数与x轴的交点情况．
(1)y＝x2－2x－3
(2)y＝x2－2x＋3
(3)y＝x2＋4x＋4
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2＋x－15＝0的近似根．
．
二、利用二次函数知识解决问题
我们的学习就是为了将来走向社会，用所学的知识解决一些实际问题，那么二次函数究竟能解决哪些问题呢？在前面的学习中我们知道能解决最大利润问题、最大面积问题，也就是某些单变量最优化问题的数学模型．下面我们进一步学习相关的内容．
例1：
如下图(单位：m)，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合．设x s时，三角形与正方形重叠部分的面积为y m2．
(1)写出y与x的关系表达式；
(2)0≤x≤5时，y的取值范围是多少？
(3)当x＝2，3.5时，y分别是多少？
(4)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
例2
某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y(台)之间的关系是y＝－x＋200，为获得最大销售利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少？
分析：根据利润等于(售价－成本价)×销售量，可得出利润与销售价之间的函数关系式．要求获得最大利润，就是求函数的最大值，转化为求二次函数的最值问题，顶点的横坐标即为销售价，纵坐标即为每日的销售利润．
三、总结本章内容
本章共学习了四个方面的内容：一是二次函数的定义及表示方式；二是二次函数的图象的性质；三是用二次函数解决实际问题；四是一元二次方程与二次函数．
那么它们之间的关系如何呢？请看本章结构图．
Ⅲ．课堂练习
某旅社有100张床位，每床每晚收费10元，床位可全部住满；若每床每晚收费每提高2元，则会出现10张空床位．为了获得最大利润，每床每晚收费应提高多少元？
本节课巩固了三大内容：
Ⅵ．活动与探究
如下图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为S cm2．解答下列问题：
(1)当t＝3秒时，求S的值．
(2)当t＝5秒时，求S的值．
(3)当5≤t≤8时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．二次函数的应用（2）
最大面积是多少
教学目标
(一)教学知识点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
(二)能力训练要求
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题．
教学方法
教师指导学生自学法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题，知道了求最大利润就是求函数的最大值，实际上就是用二次函数来解决实际问题．解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解．
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题．
Ⅱ．新课讲解
一、例题讲解
如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．
(1)设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得即．所以AD＝BC＝(40－x)．
(2)要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
讨论写出步骤．
刚才我们先进行了分析，要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，
下面我们换一个条件，看看大家能否解决．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流．
二、做一做
某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy＋x2最大，而由于4y＋4x＋3x＋πx＝7x＋4y＋πx＝15，所以y＝．面积S＝πx2＋2xy＝πx2＋2x·＝πx2＋＝－3.5x2＋7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可．
解：
即当x≈1.07m时，S最大≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．
三、议一议
解决此类问题的基本思路是什么呢？
首先是理解题目，然后是分析已知量与未知量，转化为数学问题．
解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用数学的方式表示它们之间的关系；
(4)做函数求解；
(5)检验结果的合理性，拓展等．
Ⅲ．课堂练习
1．一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？
随堂检测：
已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于．设梯形的面积为S，梯形中较短的底边长为x，试写出梯形面积关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
分析：因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于，但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值，故本题应考虑两种情况，如下图：用三种方式表示二次函数
教学目标
(一)教学知识点
1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究．
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点．
(二)能力训练要求
1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力．
2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣．
2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题．并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．
教学重点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究．
教学难点
能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题．
教学方法
讨论式学习法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
函数的三种表示方式，即表格、表达式、图象法，我们都不陌生，比如在商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售价与购买数量之间的关系如下：
x(千克) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y(元) 0 1 2 3 4 5 6
这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？
Ⅱ．新课讲解
一、试一试
长方形的周长是20cm，设它一边长为，面积为cm2．
变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？
互相交流：
(1)一边长为x cm，则另一边长为 cm，所以面积为：
用函数表达式表示：=________________________________．
(2) 表格表示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10-
(3)图象如下图．
讨论：函数的图象在第一象限，可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢？
二、议一议
(1)在上述问题中，自变量x的取值范围是什么？
(2)当x取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你描述一下y随x的变化而变化的情况．
点拨：自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流．
(1)因为x是边长，所以x应取 数，即x 0，又另一边长(10－x)也应大于 ，即10－x 0，所以x 10，这两个条件应该同时满足，所以x的取值范围是 ．
(2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝－x2＋10x化成顶点式．当x＝－时，函数y有最大值y最大＝．
∴当x＝ 时，长方形的面积最大，最大面积是25cm2．
可以通过观察图象得知．
也可以代入顶点坐标公式中求得．
当x由1至5逐渐增大时，y的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小．
．
三、做一做
两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的？你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗？1．用函数表达式表示：y＝________．2．用表格表示：xy3．用图象表示：4．根据以上三种表示方式回答下列问题：(1)自变量x的取值范围是什么？(2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？(3)如何描述y随x的变化而变化的情况？(4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？
四、议一议
二次函数的三种表示方式有什么特点？它们之间有什么联系？与同伴进行交流．
课堂练习
1．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第6个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？
(2)完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示等边三角形边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
本
2．(1)你知道下面每一个图形中各有多少个圆圈吗？为什么？
(2)完成下表：
边上的小圆圈数 1 2 3 4 5
小圆圈的总数
(3)如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？
随堂检测：
1两个数年和为６，这两个数的积最大可能达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的 关系．
2把一根长120cm的铁丝分为两部分，每一部分均弯曲成一个正方形，它们的面积和是多少？它们的面积和的最小值是多少？回顾与思考
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系．
3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验．
4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(二)能力训练要求
1．通过用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力，使学生体会函数的各种表示方法之间的联系和特点．
2．对二次函数图象的研究，是从简单到复杂，从特殊到一般的过程，发展学生的推理能力．
3．会用二次函数的对称轴和顶点坐标解决一些简单的问题．
(三)情感与价值观要求
由实际问题情境抽象出二次函数的定义，进而学习了函数的三种表示方式，讨论了不同形式的二次函数的图象的性质，并能利用二次函数的顶点坐标公式解决一些简单的问题．在这个过程中，既训练了学生的抽象能力、语言表达能力，又培养了学生的合作交流意识，运用数学知识解决实际问题的能力．
教学重点
1．掌握二次函数的定义．
2．会用三种方式表示二次函数，并能互相转化．
3．掌握二次函数的不同表示形式，会求它们的对称轴和顶点坐标，并能利用顶点坐标解决一些简单的问题．
教学难点
能把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能利用顶点坐标解决问题．
教学方法
学生自主归纳总结法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
二次函数是我们在义务教育阶段所学的最后一种函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，同时也是某些单变量最优化问题的数学模型．二次函数的图象——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，如喷泉的水流、标枪的投掷等都能形成抛物线路径．同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线形拱桥、隧道等．
二次函数的知识贯穿于人们的生活之中，这正说明了它的重要性，因此我们一定要学好它、用好它，从本节课开始我们将再来对二次函数的有关知识加深巩固，以便让大家能真正地学好、运用好有关知识．
Ⅱ．新课讲解
本节课将学习如下内容：
由实际情境引入二次函数的定义；
了解二次函数的三种表示方式；
掌握不同形式的二次函数的图象和性质；
会求二次函数的对称轴和顶点坐标，并加以运用．
一、由实际情境引入二次函数定义
某商场销售一批名牌西裤，平均每天可售出20条，每条赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，如果每条西裤每降价1元，那么商场每天可多售出2条．设每条西裤降价x元，则降价后每条西裤赢利多少元？商场平均每天可售出西裤多少条？如果设商场每天赢利y元，则y与x的函数关系是什么？y是x的什么函数？
请大家互相讨论后作答．
因为每条西裤每降价1元，商场每天可多售出2条，现在每条西裤降价x元，则商场可多售出2x条．实际每天可售出西裤(20＋2x)条，原来每条赢利40元，现在降价x元后每条赢利(40－x)元．根据赢利＝每条西裤的利润×卖出数量，所以y＝
则y与x的函数关系是二次函数．
由此可知：一般地，形如y＝ax2十bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数．
二、表示二次函数的三种方式
表示二次函数的三种方式为表格、表达式、图象．
]大家能说出它们各自的优点吗？在什么情况下用哪一种方法比较合理？
函数的表格表示可以清楚、直接地表示出变量之间的数值的对应关系；函数的图象表示可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势；函数的表达式可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系．
根据三种不同的表达方式的特点，可以选择适合于题目的表达方式．这三种表达方式还可以互相转化，如已知表达式可以作出函数的图象，也可以列出表格．
三、二次函数的图象的性质
我们都学过哪些形式的二次函数呢？
①y＝ax2，②y＝ax2＋k，③y＝a(x－h)2，④y＝a(x－h)2＋k，⑤y＝ax2＋bx＋c
大家能说出它们各自的特点吗？
(1)y＝ax2
图象是抛物线，是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)．当a＞0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；当a＜0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．函数有最大值．
(2)y＝ax2＋k
图象是抛物线，是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，k)，y的值随x值的变化而变化的情况同上，函数的最值是|k|．
(3)y＝a(x－h)2
图象是抛物线，是轴对称图形，对称轴是x＝h，顶点坐标为(h，0)，函数的最值为0．其他情况同上．
(4)y＝a(x－h)2＋k
图象是抛物线，还是轴对称图形，对称轴是x＝h，顶点坐标为(h，k)，函数的最值为|k|．
(5)y＝ax2＋bx＋c可以转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，性质同上．
大家能否找出上述这些二次函数图象的异同点呢？它们之间有联系吗？
相同点：图象都是抛物线，都是轴对称图形．当a＞0时，图象开口向上，函数有最小值，在对称轴左侧，y的值随x值的增大而减小，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而增大；当a＜0时，图象开口向下，函数有最大值，在对称轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小．
不同点：它们的顶点坐标不同，函数的对称轴不同，函数的最大(或小)值不同．
它们的联系：把y＝ax2的图象上下移动，便得到函数y＝ax2＋k的图象，当k＞0时，向上移动，当k＜0时，向下移动；把y＝ax2的图象左右移动，便得到函数y＝a(x－h)2的图象，h＞0时，向右移动，当h＜0时，向左移动；把y＝ax2的图象上下左右移动便得到函数y＝a(x－h)2＋k的图象，可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移．
四、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是如何转化为y＝a(x－h)2＋k的？
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c
＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c
＝a(x2＋x＋)－＋c
＝a(x＋)2＋．
所以对称轴为x＝－，顶点坐标为(－，)．
五、例题讲解
1．在同一直角坐标系中作出函数y＝－x2，y＝－x2＋2，y＝－(x－3)2＋1的图象、然后回答：
抛物线y＝－x2的顶点坐标、对称轴、开口方向．
抛物线y＝－x2＋2的顶点坐标、对称轴、开口方向．
抛物线y＝－(x－3)2＋1的顶点坐标、对称轴、开口方向．
2．用配方法求出下列二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
(1)y＝x2－2x－3；
(2)y＝3x2＋6x－1．
Ⅲ．课时小结
本节课我们巩固了二次函数的定义、二次函数图象的性质、把二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化为y＝a(x－h)2＋k的方法．
把抛物线y＝2x2沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向下平移2个单位，能得到什么抛物线(写出抛物线的表达式)？二次函数与一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神．
2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
3．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识．
(三)情感与价值观要求
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
2．具有初步的创新精神和实践能力．
教学重点
1．体会方程与函数之间的联系．
2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h(h是实数)交点的横坐标．
教学难点
1．探索方程与函数之间的联系的过程．
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
我们学习了一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解．
现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题．
Ⅱ．讲授新课
一、
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度．一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么
(1)h与t的关系式是什么？
(2)小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流．
互相交流：
(1)h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0．把v0，h0代入上式即可求出h与t的关系式．
(2)小球落地时h为0，所以只要令h＝－5t2＋v0t＋h．中的h为0，求出t即可．
还可以观察图象得到．
请写出步骤：
二、议一议
二次函数①y＝x2＋2x，
②y＝x2－2x＋1，
③y＝x2－2x＋2的图象如下图所示．
(1)每个图象与x轴有几个交点？
(2)一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？解方程验证一下：一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？
讨论解答：．
(1)二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图象与x轴分别有-----个交点， 个交点，——交点．
(2)一元二次方程x2＋2x＝0有两个根 ， ；
方程x2－2x＋1＝0有两个 的根 或一个根 ；
方程x2－2x＋2＝0 实数根．
(3)从观察图象和讨论中可知，二次函数y＝x2＋2x的图象与x轴有两个交点，交点的坐标分别为(0，0)，(－2，0)，方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；
二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有一个交点，交点坐标为(1，0)，方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根(或一个根)1；二次函数y＝x2－2x＋2的图象与x轴没有交点，方程x2－2x＋2＝0没有实数根．
由此可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：
三、想一想
在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？
]请大家讨论解决．
．
Ⅲ．课堂练习
1、一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)可以用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间。
⑴作出函数h=-4.9t2+19.6t的图象；
⑵当t=1，t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
⑶方程-4.9t2+19.6t=0，-4.9t2+19.6t=14.7的根的实际意义分别是什么？你能在图象上表示出来吗？
Ⅳ．随堂检测：
求下列二次函数的图象与x轴的交点的坐标，并作草图验证
一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系？试把方程的根在图象上表示出来。
把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆，哪个的面积最大？为什么？二次函数的应用（1）
何时获得最大利润
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
(二)能力训练要求
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．
2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
教学重点
1．探索销售中最大利润问题．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．
教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
教学方法
在教师的引导下自主学习法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系，那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．
Ⅱ．讲授新课
一、有关利润问题
某商店经营一种小商品，已知成批购进时单价是2.5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
设销售单价为x(x≤13.5)元，那么
(1)销售量可以表示为________；
(2)销售额可以表示为________；
(3)所获利润可以表示为________；
(4)当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是________．
今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．
获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(售价－进价)乘以T恤衫的数量．设销售单价为x元，则降低了(13.5－x)元，每降低1元，可多售出200件，降低了(13.5－x)元，则可多售出 件，因此共售出 件，若所获利润用y(元)表示，则 ．
经过分析之后，大家就可回答以上问题了．
(1)销售量可以表示为
(2)销售额可以表示为 2．
(3)所获利润可以表示为
(4)设总利润为y元，则
∴抛物线有最高点，函数有最大值．
当x＝ 元时，
y最大＝ 元．
即当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元．
二、做一做
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x＋60000．
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．
三、议一议
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？
图象如上图．
(1)当x 时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；
当x 时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．
(2)由图可知，增种 棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．
四、补充例题
已知一个矩形的周长是24cm．
(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．
(2)画出这个函数的图象．
(3)当a长多少时，S最大？
Ⅲ．课堂练习
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价可导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量就相应减少20件．如何提高单价，才能在半个月内获得最大利润？
随堂检测
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润＝售价－进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？拱桥设计
教学目标
(一)教学知识点
1．经历分析和运用所学数学知识设计桥拱的过程，发展应用数学的能力．
2．经历查阅资料或访问专家获得所需知识，制作设计图或制作模型以及撰写研究报告的过程，初步获得科学研究的体验．
(二)能力训练要求
1．通过运用二次函数知识解决拱桥问题，发展学生应用数学解决问题的能力．
2．能够利用二次函数的知识对拱桥的形状进行分析．
(三)情感与价值观要求
1．通过查阅资料，了解桥梁的种类、历史，让学生了解中华民族的文化，对学生进行爱国主义教育．
2．让学生在解决问题的过程中学会与人合作和交流，并在交流的过程中对自己的观点进行有条理地论述．
教学重点
在桥拱抛物线的表达式y＝ax2＋bx＋c中，讨论影响桥拱形状的量有哪些．
教学难点
说明y＝ax2＋bx＋c的系数是如何影响桥拱形状的．
教学方法
学生分组合作交流法．
教具准备
教学过程
Ⅰ．回忆以前所学知识，提出课题学习的题目
我们已学习了本章的知识——二次函数，如何用所学的知识服务于实际，这才是我们学习数学的根本．二次函数的知识应用很广泛，下面我们一起来研究它在桥梁方面的应用．
Ⅱ．进入课题学习
一、有关桥梁的图片、形状．
现在大家以四个人为一小组，展示你们所搜集到的有关图片．
[A组」投影片：(课题学习A)
这是位于四川省隆昌县境内海拔530米的云顶山上的云顶寨的寨内古桥．
[B组]投影片：(课题学习B)
这是位于四川省江油市北部剑门山区边缘的青林口的一座名为“合益桥”的风雨廊桥，此桥为三孔石拱桥，以厚石板作桥高、桥栏和石阶，是典型的川北建筑风格．
[C组]投影片：(课题学习C)
上图是有名的赵州桥，大家都很熟悉、下图是浙江泰顺的三条桥，三条桥是清代道光二十三年由里人苏某独立重建的．
[D组]投影片：(课题学习D)
上图是绍兴古纤道上的石桥，下图是浙江泰顺泗溪镇的溪东桥，它是泰顺仍留存着的中国乃至世界最美丽的虹桥．
[E组]投影片：(课题学习E)
上图是司前镇的回澜桥，它是三墩四孔的石拱桥，长达85米，下图是三魁镇的永庆桥．
说起桥，大家再熟悉不过了．有木桥、石桥，有钢筋混凝土造的桥，还有钢铁造的桥，还有更奇妙的桥，如水城威尼斯有一座长70米的玻璃桥、美国有一座世界上罕见的纸桥、日本有一座音乐桥，而且桥的形状各异．
拱桥是桥梁家族中的重要一员，拱桥跨度大，造型优美灵活，可雄伟壮观，可小巧玲珑．拱桥的形状可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥．本次研究的是抛物线拱桥．
二、例题讲解
卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB．如图(一)在比例图上，以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系：如图(二)．
(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式，写出函数的定义域；
(2)如果DE与AB的距离OM＝0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长．(备用数据：≈1.4，结果精确到1米)
解：由图(二)建立直角坐标系，可知C(0，0.9)，A(－2.5，0)，B(2.5，0)．
设函数表达式为y＝a(x－2.5)(x＋2.5)．
∵C(0，0.9)在图象上；
∴0.9＝－6.25a．
∴a＝．
∴y＝(x－2.5)(x＋2.5)＝－x2＋．
－2.5≤x≤2.5．
(2)∵D、E的纵坐标为，
∴＝－x2＋．得x＝±．
∴点D的坐标为(－，)，点E的坐标为(，)．
∴DE＝－(－)＝．
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
×11000×0.01＝275≈385(米)．
[师]以上我们学习了一个用二次函数知识解决桥梁问题的例子．从中可借鉴到什么？
[生]因为抛物线是轴对称图形，所以在有关抛物线型桥梁问题中，要适当建立直角坐标系，只要求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标即可，按照上面例题中的方法即可求出抛物线的表达式．
三、讨论y＝ax2＋bx＋c的系数是如何影响桥拱形状的
虽然我们知道二次函数的图象是抛物线，但并不是所有的抛物线都相同，如抛物线的开口程度不同、函数值随自变量的增大而增长的速度不同等．因此我们有必要研究一下二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数是如何影响桥拱形状的，从而决定在不同的条件下选用不同形状的抛物线型拱桥．
我们在学习二次函数时，先学习了函数y＝ax2；又学习了y＝ax2＋k的形式；继而学习了y＝a(x－h)2的形式；最后学习了y＝a(x－h)2＋k的形式．我们还知道这些函数的图象形状相同，位置不同．y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象上下移动得到的，y＝a(x－h)2的图象是由y＝ax2的图象左右移动得到的，y＝a(x－h)2＋k的图象是由y＝ax2的图象既左右移动，又上下移动得到的．因此可以判断y＝ax2＋bx＋c的图象是由a决定的．在y＝x2与y＝2x2的图象中，可知y＝x2的图象开口较大，又因为y＝－x2和y＝－2x2的图象分别与y＝x2和y＝2x2的图象关于x轴对称，因此开口大小相同，即|a|较大时，图象的开口较小．
不同形状的抛物线型拱桥，即为高度和跨度不同，如下图中的抛物线，以河高为x轴建立直角坐标系．
设抛物线表达式为y＝ax2＋c(a＜0)，跨度即为AB的长，AB是抛物线y＝ax2＋c与x轴两交点之间的距离，高度为OC，所以C(0，c)，(c＞0)，令ax2＋c＝0，得x1＝－，x2＝．所以AB＝－．
所以，桥的跨度由a和c决定，桥梁的最高点距河高的距离由c决定．
上面是特殊的形状y＝ax2＋c(a≠0)与系数间的关系．下面大家自己讨论一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形状与a、b、c间的关系．
[生]y＝ax2＋bx＋c＝a(x－)2＋．
桥拱的高度由决定，跨度AB由AB＝决定．
[师]桥拱的形状即由桥的高度和跨度来决定，当然对于特殊的情况还得特殊处理，我们研究的只是一般情形，对于具体问题应具体对待．
Ⅲ．课时小结
这节课我们观赏了许多类型的桥梁，以抛物线型桥梁为主，并举例研究了抛物线型桥梁．还讨论了y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的桥拱形状与系数a、b、c之间的关系．
Ⅳ．课后作业
某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽100m的河流，河面距所要架的公路桥桥面的高度是50m．根据各方面条件的分析，专家认为架抛物线型拱桥是最好的选择．
请按照专家的建议，设计一座横跨峡谷的公路桥．
