二次函数（2）[上学期]
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文档简介
第二章 二次函数
§2.1 对函数的再认识
第一课时
课 题
§2．1 对函数的再认识（1）
教学目标
(一)教学知识点
1．复习并进一步归纳认识函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的函数关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生再次学习了函数的定义后，能够表示简单变量之间的函数关系．
3.初步确立自变量取值范围对函数表达式的影响意识，会求函数值。
4. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
教学重点
1．经历巩固和再次认识函数关系的过程，获得用函数表示变量之间关系的体验。
2．能够表示简单变量之间的函数关系，会求相应的函数值。
教学难点
经历巩固和再次认识函数关系的过程，获得用函数表示变量之间关系的体验。
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
（1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？
（2）函数的定义是什么，大家还记得吗
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定
了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．）
（3）能把学过的函数回忆一下吗
[一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)
正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．反比例函数y=(A是不为0的常数)．]
从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．这节课我们首先对以前学过的函数知识作进一步的巩固学习，然后通过一些实际问题对函数知识作进一步的认识和研究。
Ⅱ．新课讲解
一、由实际问题进一步巩固复习函数关系
做一做：1.A、B两地的路程为900km，一辆汽车从A地到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v(km/h)之间的关系式是：t= .
2.矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD的面积S(cm2)与a(cm)的关系式是：S= .
3.某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本的部分打八折.
①购买该种书6本需付款 ；
②购买该种书14本需付款 ；
③付款金额y（元）与购买该种书的本数x（本）之间的关系式是
；
y=
.
议一议：在上面的三个例子中
(1)问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量
(2)自变量可以取值的范围分别是什么？
(3)对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？
（4）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。
函数的定义：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x、y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。
二、例题1：一年期定期储蓄的年利率是2.25%，所得利息要缴纳20%的利息税.存款到期时，银行应向储户支付的金额y（元）与储户的存款额x（元）之间的关系式是什么？
分析：此题目用到关系：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×（1-利息税百分率）
例题2：当x=3时，求下列各函数y的对应值.
（1）y=3x+7； （2）y=-2x2-1； （3）； （4）.
三、函数值：
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y都有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值（value of function）.
对于函数y=3x+7，16就是当x=3时的函数值.
Ⅲ．课堂练习：随堂练习(P34)
Ⅳ．课时小结： 本节课我们学习了如下内容：
1. 函数的概念：主要抓住三方面——有两个变量；一个变量随着另一个变量的变化而变化；自变量每一确定的值，函数有一个并且只有一个值与之对应 ．
2．函数值：注意——求函数值时，必须取自变量x的范围内的值带入表达式中求值；求函数值的步骤和前面求代数式的值的方法一样．
Ⅴ．课后作业：习题2．1；试一试.
达标练习：
1．判断下列变量之间是不是函数关系.
（1）长方形的宽一定时，其长与面积.
（2）某人的年龄与身高.
（3）关系式︱y︱=x中的y与x.
2．当x=1时，求下列函数的值.
(1)y=3(x-1)2+1； (2)y＝x+； (3)y＝(x+3)2-x2； (4)y=-x
第二课时
课 题
§2．1 对函数的再认识（2）
教学目标
(一)教学知识点
1．函数的三中表示方法及其优缺点．
2．自变量取值范围的确定．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析函数自变量取值范围的过程，进一步体验变量之间的数量关系．
2．掌握解析式为只含有一个自变量的简单整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的方法，在解决实际问题时，还要注意考虑自变量的取值范围使实际问题有意义．
3. 通过函数的学习，体会事物是相互联系的，有规律的变化的.
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
教学重点
1．求自变量的取值范围.
2．能够表示简单变量之间的函数关系．
教学难点
求自变量的取值范围以及对函数表示法的理解．
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
（1）上节课我们举了许多关于函数的例子，你还记得吗？
（2）通过上节课的函数例子可以发现，这些函数都是用数学式子表示的．你知道函数还可以用什么方法表示吗？
Ⅱ．新课讲解
一、做一做
（1）第十四届全国图书展销会于2004年5月2日——5月23日在桂林市国际会展中心举行.本届书市总收入约1800万元（包括批发和零售），其中零售收入约500万元，展销会期间的零售收入统计如下：
日期/日 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
零售收入/万元 40 42 48 50 46 42 40 38 35 37 42 44
①展销会期间，那一日的零售收入最高？
②零售收入是日期的函数吗？为什么？它是用什么方法表示的？
（2）如图，课本36页图2-2，这是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天气温变化的曲线，它直观地反映了T（℃）与t（h）之间的对应关系.根据图像提供的信息，回答下列问题： ①这一天中，何时气温最高？何时气温最低？
②气温T（℃）是时刻t（h）的函数吗？为什么？它是用什么方法表示的？
二、议一议
表示函数的方法有哪几种 你能举例说明吗？与同伴进行交流.请大家发表自己的看法．
用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或是解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.函数还可以用表格和图象表示，分别称为列表法和图象法.
思考：你认为解析法、列表法和图象法表示函数关系各有哪些优缺点？
（①解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但是求对应值时往往要经过复杂的计算，而且在实际问题中，有些函数关系不一定能用解析式表达出来. ②列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律.③图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象的把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，但是函数图象观察只能得到近似的数量关系.）
在解决问题时，我们常常综合的运用三种表示法，来深入地研究函数的性质.
三、想一想
（1）上面的例子中，自变量的取值范围分别是什么？
（2）求下列函数自变量x的取值范围：
①y=2x-4； ②； ③； ④.
（3）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与它的一边长x(m)之间的关系式，并求出x的取值范围.
思考：如何确定函数自变量的取值范围？
（函数自变量的取值范围应使函数表达式有意义；在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义．）
Ⅲ．课堂练习：随堂练习(P38)
Ⅳ．课时小结： 本节课我们学习了如下内容：
1. 函数的三种表示方法及其优缺点．
2．自变量取值范围的确定方法：
首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义，解析式是整式时，自变量可取全体实数；解析式是分式时，自变量的取值应使得分母不为零；解析式是二次根式（或偶次根式）时，自变量的取值应使被开方数非负.注意：当函数式同时出现上述几种形式的若干个时，则必须逐一求得x的取值范围，再取其公共部分才是所求.
其次，当函数表示实际问题时，自变量的取值必须还要在使实际问题有意义.
Ⅴ．课后作业：习题2．2
达标练习
1．求下列函数总自变量的取值范围．
（1）y=2x+1； （2）； （3）.
2．已知池中有600m3的水，每小时抽50m3.
（1）写出剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的函数关系式.
（2）求出自变量t的取值范围.
（3）8小时后，池中还有多少水？
（4）几小时后，池中还有100600m3的水？
课 题
§2.2 二次函数
内容分析
本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用
关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系
的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值
的方法解决实际问题．
让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．
在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想．
教学目标
(一)教学知识点
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用
数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
教学重点
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
我们已经学过正比例函数，一次函数，反比例函数．前面我们有对函数进行了再认识，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢 本节课我们将揭开它神秘的面纱．
Ⅱ．新课讲解
一、由实际问题探索二次函数关系
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中
树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．
(3)如果果园橙子的总产量为y个，则y=(x+100)(600-5x)＝-5x2+100x+60000．
根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数 若是函数，与原来学过的函数相同吗 （因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．
但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2）.
二、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多 请大家发表自己的看法．
我们不妨取一些特殊的数字验证一下．
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗 试一试．
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y/个
请大家先填表，再猜测．
从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．
可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．
三、做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)，
首先我们要回顾一下有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息，本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间)．
y＝100(1+x)+100(1+x)x×l
=100(1+x)+100(1+x)x
＝100(1+x)(1+x)
=100(1+x)2=100x2+200x+100．
在这个关系式中，y是x的函数吗 因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数．再从函数的形式来看,可以猜测y是x的二次函数．
四、二次函数的定义
从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢
一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
注意：上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P40)
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1. 经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．
2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．
Ⅴ．课后作业
习题2．3
Ⅵ．活动与探究
若y＝(m2+m)xm2-m是二次函数，求m的值．
分析：根据：二次函数的定义，只要满足m2+m≠0，且m2-m=2，y=(m2+m)xm2-m就是二次函数．
解：由题意得
m2+m≠0，
m2-m=2．
m≠0或m≠-1,
解，得．
m=2或m≠-1,
故若y＝(m2+m)xm2-m是二次函数，则m的值等于2．
达标练习：
1．用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)与矩形一边长l(m)之间的关系是什么 是函数关系吗 是哪一种函数
2．下列函数中，哪些是一次函数 哪些是二次函数
(1)y=3(x-1)2+1；(2)y＝x+；(3)y＝(x+3)2-x2；(4)y=-x
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质
课时安排
2课时
第一课时
从容说课
二次函数的图象——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一．喷泉的水流，标枪的投掷等都形成抛物线路径．同时，抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等．
本节课将研究最简单的二次函数y＝x2与y=-x2的图象及性质．
在教学中，让学生利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象经过大家的合作交流归纳总结出二次函数y=x2的性质．在此基础上猜想y＝-x2的图象及性质，再进行有关验证．通过讨论最简单的二次函数y＝±x2的图象的作法，引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质．
本节的内容主要由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论，教师只给以引导，充分体现教师引导，学生学的教学理念．
课 题
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质（1）
教学目标
(一)教学知识点
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．
教学难点
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．
教学方法
探索——总结——运用法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢 本节课我们将一起来研究有关问题．
Ⅱ．新课讲解
一、作函数y＝x2的图象．
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢 让我们先看最简单的二次函数y＝x2．
大家还记得画函数图象的一般步骤吗 （列表，描点，连线．）
下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象．
(1)列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点．
(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．
二、议一议
对于二次函数y＝x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗 如果有，交点坐标是什么
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化 当x>0时呢
(4)当x取什么值时，y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的
(5)图象是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
(1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．
(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．
(3)当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。
(4)观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0．
(5)由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(-1，1)和(1，1)；(-2，4)和(2，4)；(-3，9)和(3，9)．
下面我们系统地总结一下．
三、y=x2的图象的性质．
从图象来看抛物线的开口方向向上．
下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．
(1)抛物线的开口方向是向上．
(2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小=0．
四、做一做.
二次函数y=-x2的图象是什么形状 先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系 与同伴进行交流．
请大家按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象．
y=-x2的图象如右图：
形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它
与y=x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可
以看成是关于x轴对称．
下面我们试着讨论y=-x2的图象的性质．
(1)它的开口方向向下．
(2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧x随x的增大而减小．
(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x-0时，y最大＝0．
五、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．
我们分别作出函数y=x2与y=-x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同点．
不同点：
1．开口方向不同，y=x2开口向上，y=-x2开口向下．
2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y=-x2的图象中正好相反．
3．在y=x2中y有最小值，即x=0时．y最小＝0，在y=-x2中y有最大值．即当x＝0时，y最大＝0．
4．y=x2有最低点，y=-x2有最高点．
相同点：
1．图象都是抛物线．
2．图象都与x轴交于点(0，0)．
3．图象都关于y轴对称．
联系：
它们的图象关于x轴对称．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P42)
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1．画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结．
2．画函数y＝-x2的图象，并研究其性质．
3．比较y＝x2与y=-x2的图象的异同点及联系．
Ⅴ．课后作业
习题2．4；读一读“生活中的二次函数”.
Ⅵ．活动与探究
已知函数y=m·xm2+m．
（1）m取何值时，它的图象开口向上．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大．
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
（4）x取何值时，函数有最小值．
达标练习：
1．在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象．
2．下列函数中是二次函数的是 ( )
A. y=2+5x2
B．y=
C．y＝3x(x+5)2
D. y=
3．分别说出抛物线y=4x2与y＝- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质（2）
课 题
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质（2）
第二课时
从容说课
本节课要研究的问题是关于函数y=ax2的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．
“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．
由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与y=x2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．
教学目标
(一)教学知识点
1．能作出y=ax2的图象．并研究它们的性质．
2．比较y=ax2的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．通过比较y＝ax2与y=x2的图象和性质的比较．培养学生的比较、鉴别能力．
(三)情感与价值观要求
1．由“刹车距离”与二次函数的关系．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
教学重点
1．能作出y＝ax2的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
2．能说出y＝ax2图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．
教学难点
能作出函数y＝ax2的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，
教学方法
类比学习法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y＝x2与y=-x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质．如图象x轴是否有交点，交点坐标是什么 y随x的增大而如何变化．抛物线是否为轴对称图形等．
那么二次函数是否只有y＝x2与y＝-x2这两种呢 本节课我们继续学习其他形式的二次函数．
Ⅱ．新课讲解
一、刹车距离与二次函数的关系．
大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗 汽车刹车时向前滑行的离与什么因素有关呢 关系有多大呢
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s＝v2
确定，雨天行驶时，这一公式为s＝v2．
思考？引刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗 与一上节课中学习的二次函数y＝x2和y＝-x2有什么不同吗
既然s＝v2和s=v2与y=x2,y=-x2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y＝x2中自变量x可以取正数或负数，在s＝ v2中，因为v是速度，能否取负值呢 由实际情况可知”不可以取负值．
下图是s＝v2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐
标系内作出函数s=v2的图象．
二、比较x= v2和s＝v2的图象．
从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同
相同点：(1)它们都是抛物线的一部分
(2)二者都位于s轴的左侧．
(3)函数值都随v值的增大而增大．
不同点：(1)s=v2的图象在s=v2的图象的内侧．
(2)s=v2的s比s＝v2中的S增长速度快．
思考：如果行车速度是60 km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米
已知v＝60 km／h．分别代入s＝v2与s＝v2中．相应地求出各自的刹车距离，再求它们的差，即s1＝× 602=72，s2 =×602＝36．则
s1-s2＝72-36＝36(m)．
所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36 m．
三、做一做
作二次函数y＝2x2的图象．
(1)完成下表：
x
2x2
(2)在下图中作 出y＝2x2的图象．
(3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
二次函数y=2x2的图象是抛物线．
它与二次函数y＝x2的图象的相同点：开口方向相同，都向上．对称轴都是y轴．顶点都是原点，坐标为(0，0)．在y轴左侧，都是y值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．
不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．y＝2x2中函数值的增长速度较快．
四、议一议
(1)二次函数y＝-2x2的图象是什么形状？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 作出它的图像验证一下.
(2)结合前面学习的内容，你能发现二次函数y＝ax2（a≠0）的图象，具有什么共同特点吗？
一般地，二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是抛物线.我们把二次函数y＝ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2.
抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P46)
Ⅳ．课时小结
本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关
系；并比较了函数y＝2x2与y=x2，y＝-2x2与y＝2x2的图象的性质．
Ⅴ．课后作业
习题2．5
达标练习：
1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象：
(1)y＝3x2 (2)y＝-3x2 (3)y＝x2
2．分别说出抛物线y=4x2与y=-x2的开口方向、对称轴与顶点坐标．
3．函数y＝5x2的图象在对称轴哪侧 y随着x的增大怎样变化
4．函数y＝-5x2有最大值或最小值吗 如果有，是最大值还是最小值 这个值是多少：
课 题
§2．4．2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
第一课时
教学目标
(一)教学知识点
1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象．
2．使学生了解并会求抛物线y=ax2+k与y=a(x-h)2的对称轴与顶点．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
教学重点
1．用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象．
2．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．
教学难点
1．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．
2．对于抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2的对称轴方程的理解．
教学方法
讲解法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们主要讨论了相关函数y＝x2，y=ax2的图象的有关性质，特别研究了函数图像的相关性质及比较.那么二次函数y=x2+1的表达式与y＝x2由什么关系？由此猜想它的图象与二次函数y＝x2的图象由什么关系呢？本节课将学习一般二次函数的图象和性质．
Ⅱ．新课讲解
一、做一做
作出二次函数y=x2+1的图象.
（1）完成下表，并指出x2与x2+1的值之间的关系.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2
y=x2+1
（2）作出函数y=x2+1的图象.你是怎样做的？
（3）函数y=x2+1的图象与y＝x2的图象有什么关系？它是轴对称图象吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
（4）x取哪些值时，函数y=x2+1的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y=x2+1的值随x值的增大而减小？
二、想一想
二次函数y=x2-2的图象是什么形状？它与二次函数y＝x2的图象有什么关系？作出它的图象.它的图象有什么特点？与同伴进行交流.
二次函数y=x2+1与y=x2-2的图象都是抛物线，它们与抛物线y=x2的形状相同，只是位置不同.将函数y=x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=x2+1的图象；将函数y=x2的图象向下平移2个单位，就得到函数y=x2-2的图象.
三、议一议
二次函数y=ax2+k的图象是什么形状？它与二次函数y＝ax2的图象有什么关系？
一般地，二次函数y=ax2+k的图象是抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，k）.
四、做一做
在同一直角坐标系中，分别作出二次函数y＝﹣x2，y＝﹣（x-2）2与y＝
﹣（x+1）2的图象.
（1）完成下表，并比较当x取同一数值时，y＝﹣x2，y＝﹣（x-2）2与y＝
﹣（x+1）2分别对应的函数值，它们之间有什么关系？
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y＝﹣x2 -8 -2 ﹣ 0 ﹣ -2 -8
y＝﹣（x-2）2
y＝﹣（x+1）2
（2）在如图的同一坐标系中，分别作出二次函数y＝﹣x2，y＝﹣（x-2）2与
y＝﹣（x+1）2的图象.你是怎样做的？
（3）函数y＝﹣（x-2）2，y＝﹣（x+1）2的图象分别与函数y＝﹣x2的图象有什么关系？它们是轴对称图形吗？对称轴和顶点坐标分别是什么？
（4）x取哪些值时，函数y＝﹣（x+1）2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝﹣（x+1）2的值随x值的增大而减小？函数y＝﹣（x-2）2呢？
二次函数y＝﹣（x+1）2，y＝﹣（x-2）2的图象都是抛物线，它们与抛物线y＝﹣x2的形状相同，只是位置不同.将函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，就得到函数
y＝﹣（x+1）2的图象；将函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，就得到函数
y＝﹣（x-2）2的图象.
五、议一议
二次函数y=a(x-h)2得图象是什么形状？它与y=ax2的图象有什么关系？你能说出二次函数y=a(x-h)2的图象具有哪些性质吗？
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P49)
Ⅳ．课时小结
1．用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象．
2．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．
Ⅴ．课后作业
习题2．6
达标练习：
在同一坐标系中作出下列二次函数的图像，并据图形比较它们之间的性质.
y＝x2，y＝（x+2）2，y＝（x-2）2
第二课时
教学目标
(一)教学知识点
1．使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象．
2．使学生了解并会求抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
教学重点
1．用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k型的图象．
2．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．
教学难点
1．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．
2．对于抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴方程的理解．
教学方法
讲解法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们主要讨论了二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象的有关性质，特别研究了函数图像的相关性质及比较.本节课将学习一般二次函数的图象和性质．
Ⅱ．新课讲解
一、议一议
二次函数y＝﹣（x+1）2-1的图象是什么形状？它与我们已经学过的二次函数的图象有什么关系？你能说出二次函数y＝﹣（x+1）2的图象具有哪些性质吗？二次函数y＝﹣（x+1）2+2呢？
二、做一做
（1）在同一坐标系中，分别作出二次函数y＝x2，y＝x2-1，y＝﹣（x+1）2-1的图象，验证你的结论，并与同伴进行交流.
（2）填写下表.
性质二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝x2-1
y＝﹣（x+1）2-1
二次函数y＝﹣（x+1）2-1的图象是抛物线，它与抛物线y＝﹣x2的形状相同，只是位置不同.将函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y＝x2-1的图象；再向左平移1个单位就得到函数y＝﹣（x+1）2-1的图象.
一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同.平移二次函数y＝ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象；它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a、h、k的值有关.
填写下表，并与同伴交流.
y=a(x-h)2+k的性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 X取哪些值时，y随x值的增大而增大 X取哪些值时，y随x值的增大而减小
a＞0
a＜0
三、例1
求二次函数y＝﹣x2+x-的顶点坐标和对称轴，并作出函数图象.
注意：画二次函数的图像时，首先要找出顶点坐标和对称轴，这样便于正确迅速的画图.
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P52)
Ⅳ．课时小结
1．用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k型的图象．
2．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．
Ⅴ．课后作业
习题2．7
达标练习：
自我总结二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的性质以及它们图象之间的相互关系.
第三课时
教学目标
(一)教学知识点
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．
2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
教学重点
运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．
教学难点
把数学问题与实际问题相联系的过程．
教学方法
讲解法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们主要讨论了相关函数y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h) +k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标．我们知道学习的目的就是为了应用，那么究竟有什么用处呢 本节课将学习有关二次函数的应用．
Ⅱ．新课讲解
一、1. 例题
前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y=ax2，y＝ax2+c，y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)，它是属于上面形式中的哪一种呢 还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢 下面我们一起来讨论这个问题．
例：求二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标．
解：把y＝ax2+bx+c的右边配方，得
y＝ax2+bx+c
=a(x2+)
=a[x2+2·x+()2+]
=a(x+)2+.
配方以后的形式属于前面我们讨论过y＝a(x-h)2+k的形式．
在y=a(x-h)2+k的形式中，我们知道对称轴为x＝h顶点坐标为(h，k)．对比一下，y＝ax2+bx+c中的对称轴和顶点坐标是什么呢
对称轴为x=-,顶点燃坐标为（-，）
下面我们来研究一些实际问题．
二、有关桥梁问题
下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2+0．9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
(3)你是怎样计算的 与同伴进行交流．
分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x-h)2+k的形式，即顶点式．
解：y=0．0225x2+0．9x+10
=0．0225(x2+40x+)
二0．0225(x2+40x+400-400+)
＝0．0225(x+20)2+1．
∴对称轴为x=-20．顶点坐标为(-20，1)．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．
(3)是用配方法求得顶点坐标得到的，也可以直接代入顶点坐标公式中求得．
从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题．
在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢 请互相交流．
因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是，所有的对应点的坐标满足横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把y不变，x换为-x代入y＝0．0225x2+0．9x+10中，得
y＝0．0225(-x)2+0．9(-x)+10
＝0．0225x2-0．9x+10．
三、补充例题
如右图，一边靠校园院墙，另外三边用50 m长的篱笆，围起一
个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm．
(1)写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小节
本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题．
Ⅴ．课后作业
习题2．8
达标练习
确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．
(1)y=-x2+；（2）y=x2-
§2.1 对函数的再认识
第一课时
课 题
§2．1 对函数的再认识（1）
教学目标
(一)教学知识点
1．复习并进一步归纳认识函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的函数关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生再次学习了函数的定义后，能够表示简单变量之间的函数关系．
3.初步确立自变量取值范围对函数表达式的影响意识，会求函数值。
4. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
教学重点
1．经历巩固和再次认识函数关系的过程，获得用函数表示变量之间关系的体验。
2．能够表示简单变量之间的函数关系，会求相应的函数值。
教学难点
经历巩固和再次认识函数关系的过程，获得用函数表示变量之间关系的体验。
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
（1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？
（2）函数的定义是什么，大家还记得吗
（在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定
了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．）
（3）能把学过的函数回忆一下吗
[一次函数y=kx+b．(其中k、b是常数，且k≠0)
正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．反比例函数y=(A是不为0的常数)．]
从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．这节课我们首先对以前学过的函数知识作进一步的巩固学习，然后通过一些实际问题对函数知识作进一步的认识和研究。
Ⅱ．新课讲解
一、由实际问题进一步巩固复习函数关系
做一做：1.A、B两地的路程为900km，一辆汽车从A地到B地所需时间t（h）与汽车的平均速度v(km/h)之间的关系式是：t= .
2.矩形ABCD的一边AB长为4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD的面积S(cm2)与a(cm)的关系式是：S= .
3.某种书的定价为8元，如果购买10本以上，超过10本的部分打八折.
①购买该种书6本需付款 ；
②购买该种书14本需付款 ；
③付款金额y（元）与购买该种书的本数x（本）之间的关系式是
；
y=
.
议一议：在上面的三个例子中
(1)问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量
(2)自变量可以取值的范围分别是什么？
(3)对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值，另一个变量是否都有唯一确定的值与它对应？
（4）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。
函数的定义：一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量x、y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数。
二、例题1：一年期定期储蓄的年利率是2.25%，所得利息要缴纳20%的利息税.存款到期时，银行应向储户支付的金额y（元）与储户的存款额x（元）之间的关系式是什么？
分析：此题目用到关系：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×（1-利息税百分率）
例题2：当x=3时，求下列各函数y的对应值.
（1）y=3x+7； （2）y=-2x2-1； （3）； （4）.
三、函数值：
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y都有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值（value of function）.
对于函数y=3x+7，16就是当x=3时的函数值.
Ⅲ．课堂练习：随堂练习(P34)
Ⅳ．课时小结： 本节课我们学习了如下内容：
1. 函数的概念：主要抓住三方面——有两个变量；一个变量随着另一个变量的变化而变化；自变量每一确定的值，函数有一个并且只有一个值与之对应 ．
2．函数值：注意——求函数值时，必须取自变量x的范围内的值带入表达式中求值；求函数值的步骤和前面求代数式的值的方法一样．
Ⅴ．课后作业：习题2．1；试一试.
达标练习：
1．判断下列变量之间是不是函数关系.
（1）长方形的宽一定时，其长与面积.
（2）某人的年龄与身高.
（3）关系式︱y︱=x中的y与x.
2．当x=1时，求下列函数的值.
(1)y=3(x-1)2+1； (2)y＝x+； (3)y＝(x+3)2-x2； (4)y=-x
第二课时
课 题
§2．1 对函数的再认识（2）
教学目标
(一)教学知识点
1．函数的三中表示方法及其优缺点．
2．自变量取值范围的确定．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析函数自变量取值范围的过程，进一步体验变量之间的数量关系．
2．掌握解析式为只含有一个自变量的简单整式、分式、二次根式的函数的自变量的取值范围的方法，在解决实际问题时，还要注意考虑自变量的取值范围使实际问题有意义．
3. 通过函数的学习，体会事物是相互联系的，有规律的变化的.
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
教学重点
1．求自变量的取值范围.
2．能够表示简单变量之间的函数关系．
教学难点
求自变量的取值范围以及对函数表示法的理解．
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
（1）上节课我们举了许多关于函数的例子，你还记得吗？
（2）通过上节课的函数例子可以发现，这些函数都是用数学式子表示的．你知道函数还可以用什么方法表示吗？
Ⅱ．新课讲解
一、做一做
（1）第十四届全国图书展销会于2004年5月2日——5月23日在桂林市国际会展中心举行.本届书市总收入约1800万元（包括批发和零售），其中零售收入约500万元，展销会期间的零售收入统计如下：
日期/日 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
零售收入/万元 40 42 48 50 46 42 40 38 35 37 42 44
①展销会期间，那一日的零售收入最高？
②零售收入是日期的函数吗？为什么？它是用什么方法表示的？
（2）如图，课本36页图2-2，这是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天气温变化的曲线，它直观地反映了T（℃）与t（h）之间的对应关系.根据图像提供的信息，回答下列问题： ①这一天中，何时气温最高？何时气温最低？
②气温T（℃）是时刻t（h）的函数吗？为什么？它是用什么方法表示的？
二、议一议
表示函数的方法有哪几种 你能举例说明吗？与同伴进行交流.请大家发表自己的看法．
用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式（或是解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.函数还可以用表格和图象表示，分别称为列表法和图象法.
思考：你认为解析法、列表法和图象法表示函数关系各有哪些优缺点？
（①解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但是求对应值时往往要经过复杂的计算，而且在实际问题中，有些函数关系不一定能用解析式表达出来. ②列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需计算就可以直接查出与它对应的函数值，使用起来很方便，但列表有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律.③图象法形象直观，通过函数的图象，可以直接、形象的把函数关系表示出来，能够直观地研究函数的一些性质，但是函数图象观察只能得到近似的数量关系.）
在解决问题时，我们常常综合的运用三种表示法，来深入地研究函数的性质.
三、想一想
（1）上面的例子中，自变量的取值范围分别是什么？
（2）求下列函数自变量x的取值范围：
①y=2x-4； ②； ③； ④.
（3）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与它的一边长x(m)之间的关系式，并求出x的取值范围.
思考：如何确定函数自变量的取值范围？
（函数自变量的取值范围应使函数表达式有意义；在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义．）
Ⅲ．课堂练习：随堂练习(P38)
Ⅳ．课时小结： 本节课我们学习了如下内容：
1. 函数的三种表示方法及其优缺点．
2．自变量取值范围的确定方法：
首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义，解析式是整式时，自变量可取全体实数；解析式是分式时，自变量的取值应使得分母不为零；解析式是二次根式（或偶次根式）时，自变量的取值应使被开方数非负.注意：当函数式同时出现上述几种形式的若干个时，则必须逐一求得x的取值范围，再取其公共部分才是所求.
其次，当函数表示实际问题时，自变量的取值必须还要在使实际问题有意义.
Ⅴ．课后作业：习题2．2
达标练习
1．求下列函数总自变量的取值范围．
（1）y=2x+1； （2）； （3）.
2．已知池中有600m3的水，每小时抽50m3.
（1）写出剩余水的体积Q(m3)与时间t(h)之间的函数关系式.
（2）求出自变量t的取值范围.
（3）8小时后，池中还有多少水？
（4）几小时后，池中还有100600m3的水？
课 题
§2.2 二次函数
内容分析
本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用
关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系
的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系．并能利用尝试求值
的方法解决实际问题．
让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．
在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想．
教学目标
(一)教学知识点
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
(二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用
数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．
3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
(三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，
培养大家的合作意识．
教学重点
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．
教学方法
讨论探索法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
我们已经学过正比例函数，一次函数，反比例函数．前面我们有对函数进行了再认识，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢 本节课我们将揭开它神秘的面纱．
Ⅱ．新课讲解
一、由实际问题探索二次函数关系
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量 其中哪些是自变量 哪些是因变量
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树 这时平均每棵树结多少个橙子
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中
树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．
(3)如果果园橙子的总产量为y个，则y=(x+100)(600-5x)＝-5x2+100x+60000．
根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数 若是函数，与原来学过的函数相同吗 （因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．
但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2）.
二、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多 请大家发表自己的看法．
我们不妨取一些特殊的数字验证一下．
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗 试一试．
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
y/个
请大家先填表，再猜测．
从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．
可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．
三、做一做
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)，
首先我们要回顾一下有关名词，本金．利息，本息时，如何计算利息，本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息＝本金×利率×期数(时间)．
y＝100(1+x)+100(1+x)x×l
=100(1+x)+100(1+x)x
＝100(1+x)(1+x)
=100(1+x)2=100x2+200x+100．
在这个关系式中，y是x的函数吗 因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数．再从函数的形式来看,可以猜测y是x的二次函数．
四、二次函数的定义
从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢
一般地，形如y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．
注意：上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P40)
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1. 经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．
2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．
Ⅴ．课后作业
习题2．3
Ⅵ．活动与探究
若y＝(m2+m)xm2-m是二次函数，求m的值．
分析：根据：二次函数的定义，只要满足m2+m≠0，且m2-m=2，y=(m2+m)xm2-m就是二次函数．
解：由题意得
m2+m≠0，
m2-m=2．
m≠0或m≠-1,
解，得．
m=2或m≠-1,
故若y＝(m2+m)xm2-m是二次函数，则m的值等于2．
达标练习：
1．用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)与矩形一边长l(m)之间的关系是什么 是函数关系吗 是哪一种函数
2．下列函数中，哪些是一次函数 哪些是二次函数
(1)y=3(x-1)2+1；(2)y＝x+；(3)y＝(x+3)2-x2；(4)y=-x
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质
课时安排
2课时
第一课时
从容说课
二次函数的图象——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一．喷泉的水流，标枪的投掷等都形成抛物线路径．同时，抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥，抛物线型隧道等．
本节课将研究最简单的二次函数y＝x2与y=-x2的图象及性质．
在教学中，让学生利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象经过大家的合作交流归纳总结出二次函数y=x2的性质．在此基础上猜想y＝-x2的图象及性质，再进行有关验证．通过讨论最简单的二次函数y＝±x2的图象的作法，引出抛物线的概念，在此基础上初步归纳这类抛物线的性质．
本节的内容主要由学生自己思考，动手操作，合作交流得出结论，教师只给以引导，充分体现教师引导，学生学的教学理念．
课 题
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质（1）
教学目标
(一)教学知识点
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质．
2．猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数y=x2的图象及性质，对比地学习y＝-x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
(三)情感与价值观要求
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点
1．能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x2的性质．
2．能够作出二次函数y=-x2的图象，并能比较它与y=x2的图象的异同．
教学难点
经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y=-x2的图象与性质方面，实现“探索——经验——运用”的思维过程．
教学方法
探索——总结——运用法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征．知道正比例函数的图象是过原点的一条直线，一般的一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．上节课我们学习了二次函数的一般形式为y＝ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，那么它的图象是否也为直线或双曲线呢 本节课我们将一起来研究有关问题．
Ⅱ．新课讲解
一、作函数y＝x2的图象．
一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢 让我们先看最简单的二次函数y＝x2．
大家还记得画函数图象的一般步骤吗 （列表，描点，连线．）
下面就请大家按上面的步骤作出y=x2的图象．
(1)列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点．
(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．
二、议一议
对于二次函数y＝x2的图象，
(1)你能描述图象的形状吗 与同伴进行交流．
(2)图象与x轴有交点吗 如果有，交点坐标是什么
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化 当x>0时呢
(4)当x取什么值时，y的值最小 最小值是什么 你是如何知道的
(5)图象是轴对称图形吗 如果是，它的对称轴是什么 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流．
(1)图象的形状是一条曲线．就像抛出的物体所行进的路线的倒影．
(2)图象与x轴有交点，交于原点，交点坐标是(0，0)．
(3)当x<0时，图象在y轴的左侧，随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x>0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。
(4)观察图象可知，当x＝0时，y的值最小，最小值是0．
(5)由图可知，图象是轴对称图形，它的对称轴是y轴，从刚才的列表中可找到对应点(-1，1)和(1，1)；(-2，4)和(2，4)；(-3，9)和(3，9)．
下面我们系统地总结一下．
三、y=x2的图象的性质．
从图象来看抛物线的开口方向向上．
下面请大家讨论之后系统地总结出y＝x2的图象的所有性质．
(1)抛物线的开口方向是向上．
(2)它的图象有最低点，最低点坐标是(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴．在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝0时，y最小=0．
四、做一做.
二次函数y=-x2的图象是什么形状 先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系 与同伴进行交流．
请大家按照画图象的步骤作出函数y=-x2的图象．
y=-x2的图象如右图：
形状还是抛物线，只是它的开口方向向下，它
与y=x2的图象形状相同，方向相反，这两个图形可
以看成是关于x轴对称．
下面我们试着讨论y=-x2的图象的性质．
(1)它的开口方向向下．
(2)它的图象有最高点，最高点坐标为(0，0)．
(3)它是轴对称图形，对称轴是y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧x随x的增大而减小．
(4)图象与x轴有交点，也叫抛物线的顶点，还是图象的最高点，这点的坐标为(0，0)．
(5)因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x-0时，y最大＝0．
五、函数y=x2与y＝-x2的图象的比较．
我们分别作出函数y=x2与y=-x2的图象，并对图象的性质作系统的研究．现在我们再来比较一下它们图象的异同点．
不同点：
1．开口方向不同，y=x2开口向上，y=-x2开口向下．
2．函数值随自变量增大的变化趋势不同，在y＝x2图象中，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大．在y=-x2的图象中正好相反．
3．在y=x2中y有最小值，即x=0时．y最小＝0，在y=-x2中y有最大值．即当x＝0时，y最大＝0．
4．y=x2有最低点，y=-x2有最高点．
相同点：
1．图象都是抛物线．
2．图象都与x轴交于点(0，0)．
3．图象都关于y轴对称．
联系：
它们的图象关于x轴对称．
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P42)
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1．画函数y=x2的图象，并对图象的性质作了总结．
2．画函数y＝-x2的图象，并研究其性质．
3．比较y＝x2与y=-x2的图象的异同点及联系．
Ⅴ．课后作业
习题2．4；读一读“生活中的二次函数”.
Ⅵ．活动与探究
已知函数y=m·xm2+m．
（1）m取何值时，它的图象开口向上．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大．
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．
（4）x取何值时，函数有最小值．
达标练习：
1．在同一直角坐标系中画出函数y=x2与y=-x2的图象．
2．下列函数中是二次函数的是 ( )
A. y=2+5x2
B．y=
C．y＝3x(x+5)2
D. y=
3．分别说出抛物线y=4x2与y＝- x2的开口方向，对称轴与顶点坐标．
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质（2）
课 题
§2．3二次函数y=ax2的图象和性质（2）
第二课时
从容说课
本节课要研究的问题是关于函数y=ax2的图象的作法和性质，逐步积累研究函数图象和性质的经验．
“刹车距离”是二次函数关系的应用之一，本节借助晴天和雨天刹车距离的不同，引出二次函数y＝ax2的系数a对图象的影响．由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型．
由现实生活中的“刹车距离”联系到二次函数，说明数学应用的广泛性及实用性。
在教学中，由实际问题入手，能激起学生的学习兴趣和信心，运用类比的学习方法，通过与y=x2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质．
教学目标
(一)教学知识点
1．能作出y=ax2的图象．并研究它们的性质．
2．比较y=ax2的图象与y=x2的异同．理解a与c对二次函数图象的影响．
(二)能力训练要求
1．经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．
2．通过比较y＝ax2与y=x2的图象和性质的比较．培养学生的比较、鉴别能力．
(三)情感与价值观要求
1．由“刹车距离”与二次函数的关系．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．
2．由有趣的实际问题，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
教学重点
1．能作出y＝ax2的图象，并能够比较它们与y＝x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．
2．能说出y＝ax2图象的开口方向；对称轴和顶点坐标．
教学难点
能作出函数y＝ax2的图象，并总结其性质，还能和y=x2作比较，
教学方法
类比学习法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
在前两节课我们学习了二次函数的定义，会画函数y＝x2与y=-x2的图象，知道它们的图象是抛物线，并且还研究了抛物线的有关性质．如图象x轴是否有交点，交点坐标是什么 y随x的增大而如何变化．抛物线是否为轴对称图形等．
那么二次函数是否只有y＝x2与y＝-x2这两种呢 本节课我们继续学习其他形式的二次函数．
Ⅱ．新课讲解
一、刹车距离与二次函数的关系．
大家知道两辆车在行驶时为什么要保持一定距离吗 汽车刹车时向前滑行的离与什么因素有关呢 关系有多大呢
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v(km／h)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式s＝v2
确定，雨天行驶时，这一公式为s＝v2．
思考？引刹车距离s与速度v之间的关系是二次函数吗 与一上节课中学习的二次函数y＝x2和y＝-x2有什么不同吗
既然s＝v2和s=v2与y=x2,y=-x2它都是二次函数，且都是只含二次项的二次函数，所以它们有相同之处；又因为它们中的a值的不同．所以它们肯定还有不同之处．比如在y＝x2中自变量x可以取正数或负数，在s＝ v2中，因为v是速度，能否取负值呢 由实际情况可知”不可以取负值．
下图是s＝v2的图象，根据画图象的三个步骤即列表、描点、连线，在同一直角坐
标系内作出函数s=v2的图象．
二、比较x= v2和s＝v2的图象．
从上图中，大家可以互相讨论图象有什么相同与不同
相同点：(1)它们都是抛物线的一部分
(2)二者都位于s轴的左侧．
(3)函数值都随v值的增大而增大．
不同点：(1)s=v2的图象在s=v2的图象的内侧．
(2)s=v2的s比s＝v2中的S增长速度快．
思考：如果行车速度是60 km／h，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米
已知v＝60 km／h．分别代入s＝v2与s＝v2中．相应地求出各自的刹车距离，再求它们的差，即s1＝× 602=72，s2 =×602＝36．则
s1-s2＝72-36＝36(m)．
所以在雨天行驶和在晴天行驶相比，雨天的刹车距离较长，相差36 m．
三、做一做
作二次函数y＝2x2的图象．
(1)完成下表：
x
2x2
(2)在下图中作 出y＝2x2的图象．
(3)二次函数y＝2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
二次函数y=2x2的图象是抛物线．
它与二次函数y＝x2的图象的相同点：开口方向相同，都向上．对称轴都是y轴．顶点都是原点，坐标为(0，0)．在y轴左侧，都是y值随x值的增大而减小；在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．都有最低点，即原点．函数都有最小值．
不同点：y＝2x2的图象在y＝x2的图象的内侧．y＝2x2中函数值的增长速度较快．
四、议一议
(1)二次函数y＝-2x2的图象是什么形状？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 作出它的图像验证一下.
(2)结合前面学习的内容，你能发现二次函数y＝ax2（a≠0）的图象，具有什么共同特点吗？
一般地，二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是抛物线.我们把二次函数y＝ax2（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2.
抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P46)
Ⅳ．课时小结
本节课巩固了画函数图象的步骤：列表、描点、连线；学习了刹车距离与二次函数的关
系；并比较了函数y＝2x2与y=x2，y＝-2x2与y＝2x2的图象的性质．
Ⅴ．课后作业
习题2．5
达标练习：
1．在同一直角坐标系内画出下列函数的图象：
(1)y＝3x2 (2)y＝-3x2 (3)y＝x2
2．分别说出抛物线y=4x2与y=-x2的开口方向、对称轴与顶点坐标．
3．函数y＝5x2的图象在对称轴哪侧 y随着x的增大怎样变化
4．函数y＝-5x2有最大值或最小值吗 如果有，是最大值还是最小值 这个值是多少：
课 题
§2．4．2 二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质
第一课时
教学目标
(一)教学知识点
1．使学生会用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象．
2．使学生了解并会求抛物线y=ax2+k与y=a(x-h)2的对称轴与顶点．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
教学重点
1．用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象．
2．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．
教学难点
1．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．
2．对于抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2的对称轴方程的理解．
教学方法
讲解法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们主要讨论了相关函数y＝x2，y=ax2的图象的有关性质，特别研究了函数图像的相关性质及比较.那么二次函数y=x2+1的表达式与y＝x2由什么关系？由此猜想它的图象与二次函数y＝x2的图象由什么关系呢？本节课将学习一般二次函数的图象和性质．
Ⅱ．新课讲解
一、做一做
作出二次函数y=x2+1的图象.
（1）完成下表，并指出x2与x2+1的值之间的关系.
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x2
y=x2+1
（2）作出函数y=x2+1的图象.你是怎样做的？
（3）函数y=x2+1的图象与y＝x2的图象有什么关系？它是轴对称图象吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
（4）x取哪些值时，函数y=x2+1的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y=x2+1的值随x值的增大而减小？
二、想一想
二次函数y=x2-2的图象是什么形状？它与二次函数y＝x2的图象有什么关系？作出它的图象.它的图象有什么特点？与同伴进行交流.
二次函数y=x2+1与y=x2-2的图象都是抛物线，它们与抛物线y=x2的形状相同，只是位置不同.将函数y=x2的图象向上平移1个单位，就得到函数y=x2+1的图象；将函数y=x2的图象向下平移2个单位，就得到函数y=x2-2的图象.
三、议一议
二次函数y=ax2+k的图象是什么形状？它与二次函数y＝ax2的图象有什么关系？
一般地，二次函数y=ax2+k的图象是抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同；它的对称轴为y轴，它的顶点坐标为（0，k）.
四、做一做
在同一直角坐标系中，分别作出二次函数y＝﹣x2，y＝﹣（x-2）2与y＝
﹣（x+1）2的图象.
（1）完成下表，并比较当x取同一数值时，y＝﹣x2，y＝﹣（x-2）2与y＝
﹣（x+1）2分别对应的函数值，它们之间有什么关系？
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y＝﹣x2 -8 -2 ﹣ 0 ﹣ -2 -8
y＝﹣（x-2）2
y＝﹣（x+1）2
（2）在如图的同一坐标系中，分别作出二次函数y＝﹣x2，y＝﹣（x-2）2与
y＝﹣（x+1）2的图象.你是怎样做的？
（3）函数y＝﹣（x-2）2，y＝﹣（x+1）2的图象分别与函数y＝﹣x2的图象有什么关系？它们是轴对称图形吗？对称轴和顶点坐标分别是什么？
（4）x取哪些值时，函数y＝﹣（x+1）2的值随x值的增大而增大？x取哪些值时，函数y＝﹣（x+1）2的值随x值的增大而减小？函数y＝﹣（x-2）2呢？
二次函数y＝﹣（x+1）2，y＝﹣（x-2）2的图象都是抛物线，它们与抛物线y＝﹣x2的形状相同，只是位置不同.将函数y＝﹣x2的图象向左平移1个单位，就得到函数
y＝﹣（x+1）2的图象；将函数y＝﹣x2的图象向右平移2个单位，就得到函数
y＝﹣（x-2）2的图象.
五、议一议
二次函数y=a(x-h)2得图象是什么形状？它与y=ax2的图象有什么关系？你能说出二次函数y=a(x-h)2的图象具有哪些性质吗？
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P49)
Ⅳ．课时小结
1．用描点法画出二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象．
2．二次函数y=ax2+k，y=a(x-h)2与y=ax2的联系及如何平移．
Ⅴ．课后作业
习题2．6
达标练习：
在同一坐标系中作出下列二次函数的图像，并据图形比较它们之间的性质.
y＝x2，y＝（x+2）2，y＝（x-2）2
第二课时
教学目标
(一)教学知识点
1．使学生会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k的图象．
2．使学生了解并会求抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴与顶点．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
教学重点
1．用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k型的图象．
2．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．
教学难点
1．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．
2．对于抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴方程的理解．
教学方法
讲解法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
上节课我们主要讨论了二次函数y=ax2+k与y=a(x-h)2的图象的有关性质，特别研究了函数图像的相关性质及比较.本节课将学习一般二次函数的图象和性质．
Ⅱ．新课讲解
一、议一议
二次函数y＝﹣（x+1）2-1的图象是什么形状？它与我们已经学过的二次函数的图象有什么关系？你能说出二次函数y＝﹣（x+1）2的图象具有哪些性质吗？二次函数y＝﹣（x+1）2+2呢？
二、做一做
（1）在同一坐标系中，分别作出二次函数y＝x2，y＝x2-1，y＝﹣（x+1）2-1的图象，验证你的结论，并与同伴进行交流.
（2）填写下表.
性质二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝x2
y＝x2-1
y＝﹣（x+1）2-1
二次函数y＝﹣（x+1）2-1的图象是抛物线，它与抛物线y＝﹣x2的形状相同，只是位置不同.将函数y＝﹣x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y＝x2-1的图象；再向左平移1个单位就得到函数y＝﹣（x+1）2-1的图象.
一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象是抛物线，它与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同.平移二次函数y＝ax2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象；它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a、h、k的值有关.
填写下表，并与同伴交流.
y=a(x-h)2+k的性质 开口方向 对称轴 顶点坐标 X取哪些值时，y随x值的增大而增大 X取哪些值时，y随x值的增大而减小
a＞0
a＜0
三、例1
求二次函数y＝﹣x2+x-的顶点坐标和对称轴，并作出函数图象.
注意：画二次函数的图像时，首先要找出顶点坐标和对称轴，这样便于正确迅速的画图.
Ⅲ．课堂练习
随堂练习(P52)
Ⅳ．课时小结
1．用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k型的图象．
2．二次函数y=a(x-h)2+k与y=a(x-h)2的联系及如何平移．
Ⅴ．课后作业
习题2．7
达标练习：
自我总结二次函数y=ax2，y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的性质以及它们图象之间的相互关系.
第三课时
教学目标
(一)教学知识点
1．体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性．
2．能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题．
(二)能力训练要求
1．通过解决实际问题，让学生训练把教学知识运用于实践的能力．
2．通过学生合作交流来解决问题，培养学生的合作交流能力．
(三)情感与价值观要求
1．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，掌握数学的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
2．初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
教学重点
运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题．
教学难点
把数学问题与实际问题相联系的过程．
教学方法
讲解法．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]上节课我们主要讨论了相关函数y＝ax2，y=a(x-h)2，y＝a(x-h) +k的图象的有关性质，特别练习了求函数的对称轴和顶点坐标．我们知道学习的目的就是为了应用，那么究竟有什么用处呢 本节课将学习有关二次函数的应用．
Ⅱ．新课讲解
一、1. 例题
前几节课我们研究了不同形式的二次函数的图象，形如y=ax2，y＝ax2+c，y＝a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k．并对它们的性质进行了比较．但对于二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)，它是属于上面形式中的哪一种呢 还是另外一种，它的对称轴和顶点坐标是什么呢 下面我们一起来讨论这个问题．
例：求二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标．
解：把y＝ax2+bx+c的右边配方，得
y＝ax2+bx+c
=a(x2+)
=a[x2+2·x+()2+]
=a(x+)2+.
配方以后的形式属于前面我们讨论过y＝a(x-h)2+k的形式．
在y=a(x-h)2+k的形式中，我们知道对称轴为x＝h顶点坐标为(h，k)．对比一下，y＝ax2+bx+c中的对称轴和顶点坐标是什么呢
对称轴为x=-,顶点燃坐标为（-，）
下面我们来研究一些实际问题．
二、有关桥梁问题
下图所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x2+0．9x+10表示，而且左右两条抛物线关于y轴对称．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少
(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少
(3)你是怎样计算的 与同伴进行交流．
分析：因为两条钢缆都是抛物线形状，且开口向上．要求钢缆的最低点到桥面的距离就是要求抛物线的最小值．又因为左右两条抛物线关于y轴对称，所以它们的顶点也关于y轴对称，两条钢缆最低点之间的距离就是两条抛物线顶点的横坐标绝对值之和或其中一条抛物线顶点横坐标绝对值的2倍．已知二次函数的形式是一般形式，所以应先进行配方化为y＝a(x-h)2+k的形式，即顶点式．
解：y=0．0225x2+0．9x+10
=0．0225(x2+40x+)
二0．0225(x2+40x+400-400+)
＝0．0225(x+20)2+1．
∴对称轴为x=-20．顶点坐标为(-20，1)．
(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1米．
(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20＝40米．
(3)是用配方法求得顶点坐标得到的，也可以直接代入顶点坐标公式中求得．
从上面的例题我们可知，抛物线在现实生活中的应用很广，因此大家要学好并运用好它，对于给出的问题要认真思考，把实际问题转化为数学问题，从而用数学知识解决实际问题．
在上面的问题中，大家能否求出右面的抛物线的表达式呢 请互相交流．
因为左右两条抛物线是关于y轴对称的，而关于y轴对称的图形的特点是，所有的对应点的坐标满足横坐标是互为相反数，纵坐标相等，我们可以利用这个特点，在原有的左面的抛物线的表达式的基础上，得到右面抛物线的表达式，即把y不变，x换为-x代入y＝0．0225x2+0．9x+10中，得
y＝0．0225(-x)2+0．9(-x)+10
＝0．0225x2-0．9x+10．
三、补充例题
如右图，一边靠校园院墙，另外三边用50 m长的篱笆，围起一
个长方形场地，设垂直院墙的边长为xm．
(1)写出长方形场地面积y(m2)与x的函数关系式；
(2)画出函数的图象；
(3)求边长为多少时，长方形面积最大，最大是多少
Ⅲ．课堂练习
随堂练习
Ⅳ．课时小节
本节课学习了如何用配方法把二次函数的一般形式化成顶点式，并能根据顶点式解决一些问题．
Ⅴ．课后作业
习题2．8
达标练习
确定下列抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标．
(1)y=-x2+；（2）y=x2-
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