27.1.2 圆的对称性 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
2．（2020九下·南召月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
3．（2022九下·铁岭月考）如图，的半径为，点A为上一点，的垂直平分线分别交于点B，C，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设与相交于点D，连接，
是的垂直平分线，
，，
，
在中，，
．
故答案为：D．
【分析】设与相交于点D，连接，先利用勾股定理求出BD的长，再利用BC=2BD可得答案。
4．（2022九下·重庆市期中）如图，AB是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵弦CD⊥AB，垂足为E
∴CE=DE=，
∵OA是半径
∴OA=，
在Rt△ODE中，OD=OA=10，DE=8，
，
∴BE=OB-OE=10-6=4
故答案为：A.
【分析】连接OD，根据垂径定理可得CE=DE=8，根据AB的值可得OA=10，利用勾股定理求出OE，然后根据BE=OB-OE进行计算.
5．（2022九下·长沙开学考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，
在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，
则有r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的直径为10寸，
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r，可得OE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AEO中，利用勾股定理建立关于r的方程并解之即可.
6．（2021九下·江岸月考）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接CO交EF于M，连接OF，
∵C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，CO⊥EF，EM=MF，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，则△CMD为等腰直角三角形，
设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，
∵DF＝2DE，
∴x+MF=2(MF﹣x)，解得：MF=3x，
设圆的半径为r，则OM=r﹣x
在Rt△OMF中，由勾股定理得：r2=( r﹣x)2+（3x）2，
解得：r=5x，则OM=4x，
∵EF∥AB，
∴CD：AD＝CM：OM=x：4x=1：4，
故答案为：D.
【分析】连接CO交EF于M，连接OF，由垂径定理易判断△AOC和△CMD是等腰直角三角形，设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，根据DF＝2DE可将MF用含x的代数式表示出来，设圆的半径为r，则OM=r﹣x，在Rt△OMF中，由勾股定理可将r用含x的代数式表示出来，则OM也可用含x的代数式表示出来，然后根据平行线分线段成比例定理得比例式可求解.
二、填空题
7．（2022九下·诸暨月考）△ABC内接于圆 ，且 ，圆 的直径为 ， ，则 .
【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1，延长AO交BC于D ，连接OB ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，
；
如图2， ，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当△ABC为锐角三角形时，延长AO交BC于D，连接OB，由垂径定理得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理可得OD，根据AD=AO+OD可得AD，然后利用勾股定理求出AB，再根据三角函数的概念进行计算即可；当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
8．（2022九下·长沙期中）如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为6，则的度数为 .
【答案】60°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=，
∴AC=BC=，
在Rt△OBC中，OC=6，
∵
∴∠BOC=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用垂径定理可求出BC的长，再利用解直角三角形求出∠BOC的度数.
9．（2022九下·锦江开学考）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为： ，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙
的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=
.
故答案为：
.
【分析】由题意可得劣弧的度数为90°，则劣弧所对的圆心角的度数为90°，根据直径可得OB=OC=2，然后利用勾股定理计算即可.
10．（2022九下·长沙开学考）如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且.若，则 度.
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
∴
∵
∴
故答案为：30.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及等腰三角形的性质可得
，即得∠AOD=120°，利用三角形内角和求出∠ADO的度数即可.
三、作图题
11．（2020九下·黄石月考）尺规作图.试将已知圆的面积四等分.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图所示：直线m和n是互相垂直的直径，把圆O分成的四部分面积相等.
【知识点】垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】若将已知圆的面积四等分，则可转化为作两条互相垂直的直径即可满足题意.
四、解答题
12．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 和 是否相等，并说明理由．
【答案】解：连接AE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
在⊙A中，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AE，利用圆的半径处处相等，可得∠GAF=∠FAE，再由圆心角、弧、弦的关系定理得出结论。
13．（2021九下·广州开学考）如图，AB是 的直径，弦 于点E，若 ， ，求 的长．
【答案】解：如图,连接OC.
∵弦 于点E， ，
∴ ．
∵在 中， ， ， ，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
14．（2019九下·三原月考）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）
【答案】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可。
15．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
1 / 127.1.2 圆的对称性 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九下·南召开学考）下列语句中：①平分弦的直径垂直于弦；②相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的两条弧是等弧；④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2020九下·南召月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
3．（2022九下·铁岭月考）如图，的半径为，点A为上一点，的垂直平分线分别交于点B，C，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九下·重庆市期中）如图，AB是的直径，弦，垂足为E，如果，，那么线段BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
5．（2022九下·长沙开学考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（ ）
A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
6．（2021九下·江岸月考）如图，在⊙O中AB为直径，C为弧AB的中点，EF∥AB，连接AC交EF于点D，若已知DF＝2DE，则CD：AD的值为（ ）
A．1：3 B．1：2 C．1：2 D．1：4
二、填空题
7．（2022九下·诸暨月考）△ABC内接于圆 ，且 ，圆 的直径为 ， ，则 .
8．（2022九下·长沙期中）如图，在中，弦的长为，圆心到弦的距离为6，则的度数为 .
9．（2022九下·锦江开学考）已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：3，则弦的长为 .
10．（2022九下·长沙开学考）如图，A、B、C、D为⊙O上的点，且.若，则 度.
三、作图题
11．（2020九下·黄石月考）尺规作图.试将已知圆的面积四等分.（保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题
12．如图，以□ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断 和 是否相等，并说明理由．
13．（2021九下·广州开学考）如图，AB是 的直径，弦 于点E，若 ， ，求 的长．
14．（2019九下·三原月考）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）
15．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轴对称图形
【解析】【解答】解：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故①错误；
②同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等，故②错误；
③能够完全重合的两条弧是等弧，故③错误；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等或互补，故⑤错误.
所以不正确的有①②③④⑤，共5个.
故答案为：D.
【分析】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，据此判断①；根据同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等可判断②；根据等弧的概念可判断③；根据圆的对称性可判断④；根据弦与圆周角的关系可判断⑤.
2．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设与相交于点D，连接，
是的垂直平分线，
，，
，
在中，，
．
故答案为：D．
【分析】设与相交于点D，连接，先利用勾股定理求出BD的长，再利用BC=2BD可得答案。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵弦CD⊥AB，垂足为E
∴CE=DE=，
∵OA是半径
∴OA=，
在Rt△ODE中，OD=OA=10，DE=8，
，
∴BE=OB-OE=10-6=4
故答案为：A.
【分析】连接OD，根据垂径定理可得CE=DE=8，根据AB的值可得OA=10，利用勾股定理求出OE，然后根据BE=OB-OE进行计算.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设⊙O的半径为r，
在Rt△AEO中，AE＝4，OE＝r﹣2，OA＝r，
则有r2＝42+（r﹣2）2，
解得r＝5，
∴⊙O的直径为10寸，
故答案为：C.
【分析】设⊙O的半径为r，可得OE＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AEO中，利用勾股定理建立关于r的方程并解之即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接CO交EF于M，连接OF，
∵C为弧AB的中点，
∴CO⊥AB，CO⊥EF，EM=MF，
∵AO=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠C=45°，则△CMD为等腰直角三角形，
设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，
∵DF＝2DE，
∴x+MF=2(MF﹣x)，解得：MF=3x，
设圆的半径为r，则OM=r﹣x
在Rt△OMF中，由勾股定理得：r2=( r﹣x)2+（3x）2，
解得：r=5x，则OM=4x，
∵EF∥AB，
∴CD：AD＝CM：OM=x：4x=1：4，
故答案为：D.
【分析】连接CO交EF于M，连接OF，由垂径定理易判断△AOC和△CMD是等腰直角三角形，设DM=CM=x，则DF=x+MF，DE=EM﹣x=MF﹣x，根据DF＝2DE可将MF用含x的代数式表示出来，设圆的半径为r，则OM=r﹣x，在Rt△OMF中，由勾股定理可将r用含x的代数式表示出来，则OM也可用含x的代数式表示出来，然后根据平行线分线段成比例定理得比例式可求解.
7．【答案】 或
【知识点】勾股定理；垂径定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图1，延长AO交BC于D ，连接OB ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，
；
如图2， ，
，
，
综上所述： 的值为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】当△ABC为锐角三角形时，延长AO交BC于D，连接OB，由垂径定理得AD⊥BC，BD=CD，利用勾股定理可得OD，根据AD=AO+OD可得AD，然后利用勾股定理求出AB，再根据三角函数的概念进行计算即可；当△ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出AB，然后根据三角函数的概念进行计算.
8．【答案】60°
【知识点】垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=，
∴AC=BC=，
在Rt△OBC中，OC=6，
∵
∴∠BOC=60°.
故答案为：60°.
【分析】利用垂径定理可求出BC的长，再利用解直角三角形求出∠BOC的度数.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，
∴劣弧的度数为： ，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵⊙
的直径是4，
∴OB=OC=2，
∴BC=
.
故答案为：
.
【分析】由题意可得劣弧的度数为90°，则劣弧所对的圆心角的度数为90°，根据直径可得OB=OC=2，然后利用勾股定理计算即可.
10．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴
∴
∵
∴
故答案为：30.
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系及等腰三角形的性质可得
，即得∠AOD=120°，利用三角形内角和求出∠ADO的度数即可.
11．【答案】解：如图所示：直线m和n是互相垂直的直径，把圆O分成的四部分面积相等.
【知识点】垂径定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】若将已知圆的面积四等分，则可转化为作两条互相垂直的直径即可满足题意.
12．【答案】解：连接AE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，
∴∠GAF=∠FAE，
在⊙A中，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接AE，利用圆的半径处处相等，可得∠GAF=∠FAE，再由圆心角、弧、弦的关系定理得出结论。
13．【答案】解：如图,连接OC.
∵弦 于点E， ，
∴ ．
∵在 中， ， ， ，
∴
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】连接OC，根据垂径定理得出CE=ED= CD=3，然后在Rt△OEC中由勾股定理求出OE的长度．
14．【答案】解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，
垂直平分弦的直线一定过圆心，
所以作出两弦的垂直平分线即可．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可。
15．【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
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