27.1.3 圆周角 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·西山期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A、B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
2．（2022九上·下城期中）如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·杭州期中）如图，点A，B，C在⊙O上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·慈溪期中）如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·镇海区期中）如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°.则∠D+∠E=（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
6．（2022九上·南开期中）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
7．（2022九上·和平期中）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
8．（2022九上·温州月考）如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形的边至点，作矩形，以为直径作半圆交于点，以为边做正方形，在上，记正方形，正方形，矩形的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022九上·北仑期中）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ .
10．（2022九上·镇海区期中）如图，内接于，，D是的中点，且，分别是边上的高，则的大小 度.
11．（2022九上·龙港期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝ 度.
12．（2022九上·苍南期中）如图， 在直角坐标系中， 抛物线交轴于点， 点是点 关于对称轴的对称点， 点是抛物线的顶点， 若的外接圆经过原点， 则点的坐标为 .
三、解答题
13．（2022九上·富阳期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
14．（2022九上·金东月考）如图，AB、AC是⊙O的弦，AD⊥BC于点D，交⊙O于点F，AE是⊙O的直径，试判断弦BE与弦CF的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ACB=（86°-30°）÷2=28°，
故答案为：A.
【分析】结合圆周角的定理与量角器的读数方法计算求解即可。
2．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据直角三角形的两锐角互余得∠A=34°，进而根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠BCD=∠A，从而即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据垂直的定义得∠AOB=90°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设，
则，
，
，
，
，即，
解得，
则，
故答案为：B.
【分析】设∠ACB=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2x°，由平行线的性质可得∠OBD=∠ACB=x°，根据外角的性质可得∠AOB+∠OBD=∠ADB，据此求解.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
由题意：∠BOC=2∠BAC=100°，
∴∠AOB+∠AOC=260°，
又∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），
∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数同时表示出∠D与∠E，根据周角的定义可得∠AOB+∠AOC=260°，据此就不难求出∠D+∠E的度数了.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°-∠AOC）＝65°，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角的性质可得∠AOC＝2∠ABC，再结合∠ABC+∠AOC＝75°，求出∠AOC的度数，最后利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝（180°-∠AOC）＝65°。
7．【答案】A
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故答案为：A．
【分析】根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，从而得出∠CAB=25°，即可得解。
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BF、ME、BE，如图，
∵EFBM，
∴，
∴BF＝ME，
∵∠BGF＝∠MCE＝90°，GF＝CE，
∴（HL），
∴BG＝CM，
∵BM是⊙O的直径，
∴∠BEM＝90°，
∴∠CEM+∠CEB＝∠CEM+∠CME＝90°，
∴∠CEB＝∠CME，
∵∠BCE＝∠ECM＝90°，
∴，
∴，即CE2＝CB CM，
设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，BG＝CM＝c，
则，
∴（a﹣c）2＝ac，
整理得，a2+c2＝3ac，
即，
∴，或
∵a＞c，
∴舍去，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接BF、ME、BE，则，由弧、弦之间的关系可得BF＝ME，证明△BGF≌△MCE，得到BG＝CM，由圆周角定理可得∠BEM＝90°，根据同角的余角相等可得∠CEB＝∠CME，证明△BCE∽△ECM，根据相似三角形的性质可得CE2＝CB CM，设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，BG＝CM＝c，则(a-c)2＝ac，化简可得的值，然后根据进行计算.
9．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1.
故答案为1.
【分析】由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠ACD＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求解.
10．【答案】23
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，是的中点，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：23.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等腰三角形的三线合一可得∠BOD=60°，根据角的和差可得∠AOB=106°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得∠ABO=37°，∠OBC=30°，由角的和差得∠ABC的度数，最后再根据直角三角形两锐角互余可得答案.
11．【答案】67.5
【知识点】正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠BAC＝45°，∠B＝90°，
∵E是的中点，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠1＝90°-22.5°＝67.5°.
故答案为：67.5.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC＝45°，∠B＝90°，根据等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，
抛物线的对称轴为直线，
当x=0时y=2，
∴点A（0，2），
∵点A，B关于对称轴对称，
∴点B（4，2），AB∥x轴，
∴∠OAB=90°，
∵∵的外接圆经过原点，
∴OB圆O′的直径，点O′的坐标为（2，1）；
∴，
O′B=O′C=；
∴点C（2，）.
故答案为：（2，）
【分析】连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由x=0求出对应得y的值，可得到点A的坐标，利用二次函数的对称性可求出点B的坐标，利用圆周角定理可证得OB圆O′的直径，同时可求出点O′的坐标；利用勾股定理求出OB的长，即可得到O′C的长，据此可求出点C的坐标.
13．【答案】证明：∵AC=BC
∴∠A=∠B
∴弧BE=弧AF
∴弧BE-=弧AF -
即弧AE＝弧BF
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠A=∠B，利用在同一个圆中相等的圆周角所对的弧相等，可证得弧BE=弧AF，由此可证得结论.
14．【答案】解：BE＝CF，
理由：
∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC
∴∠ABE＝90°＝∠ADC
∵∠AEB＝∠ACB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAE＝∠CAF（等角的余角相等）
∴＝，
∴BE＝CF．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠AEB＝∠ACB，根据直径所对的圆周角是直角得∠ABE＝90°，由垂直的概念可得∠ADC＝90°，则∠ABE＝∠ADC，根据等角的余角相等可得∠BAE＝∠CAF，则＝，然后根据弧、弦的关系进行解答.
1 / 127.1.3 圆周角 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·西山期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A、B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）
A．28° B．30° C．36° D．56°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据题意可得：∠ACB=（86°-30°）÷2=28°，
故答案为：A.
【分析】结合圆周角的定理与量角器的读数方法计算求解即可。
2．（2022九上·下城期中）如图，已知是的外接圆，是的直径，是的弦，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，根据直角三角形的两锐角互余得∠A=34°，进而根据同弧所对的圆周角相等即可得出∠BCD=∠A，从而即可得出答案.
3．（2022九上·杭州期中）如图，点A，B，C在⊙O上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据垂直的定义得∠AOB=90°，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得答案.
4．（2022九上·慈溪期中）如图，点、、是上的点，，连结交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设，
则，
，
，
，
，即，
解得，
则，
故答案为：B.
【分析】设∠ACB=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2x°，由平行线的性质可得∠OBD=∠ACB=x°，根据外角的性质可得∠AOB+∠OBD=∠ADB，据此求解.
5．（2022九上·镇海区期中）如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°.则∠D+∠E=（ ）
A．220° B．230° C．240° D．250°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
由题意：∠BOC=2∠BAC=100°，
∴∠AOB+∠AOC=260°，
又∵∠D=（∠BOC+∠AOC），∠E=（∠BOC+∠AOB），
∴∠D+∠E=（∠BOC+∠AOC+∠BOC+∠AOB）=（260°+100°+100°）=230°.
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠BOC的度数同时表示出∠D与∠E，根据周角的定义可得∠AOB+∠AOC=260°，据此就不难求出∠D+∠E的度数了.
6．（2022九上·南开期中）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（ ）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°-∠AOC）＝65°，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角的性质可得∠AOC＝2∠ABC，再结合∠ABC+∠AOC＝75°，求出∠AOC的度数，最后利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝（180°-∠AOC）＝65°。
7．（2022九上·和平期中）AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度数是（ ）
A．25° B．35° C．15° D．20°
【答案】A
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=65°，
∴∠CAB=25°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=25°，
故答案为：A．
【分析】根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，从而得出∠CAB=25°，即可得解。
8．（2022九上·温州月考）如图1，是清代数学家李之铉在他的著作《几何易简集》中研究过的一个图形，小圆同学在研究该图形后设计了图2，延长正方形的边至点，作矩形，以为直径作半圆交于点，以为边做正方形，在上，记正方形，正方形，矩形的面积分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BF、ME、BE，如图，
∵EFBM，
∴，
∴BF＝ME，
∵∠BGF＝∠MCE＝90°，GF＝CE，
∴（HL），
∴BG＝CM，
∵BM是⊙O的直径，
∴∠BEM＝90°，
∴∠CEM+∠CEB＝∠CEM+∠CME＝90°，
∴∠CEB＝∠CME，
∵∠BCE＝∠ECM＝90°，
∴，
∴，即CE2＝CB CM，
设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，BG＝CM＝c，
则，
∴（a﹣c）2＝ac，
整理得，a2+c2＝3ac，
即，
∴，或
∵a＞c，
∴舍去，
∴，
故答案为：A.
【分析】连接BF、ME、BE，则，由弧、弦之间的关系可得BF＝ME，证明△BGF≌△MCE，得到BG＝CM，由圆周角定理可得∠BEM＝90°，根据同角的余角相等可得∠CEB＝∠CME，证明△BCE∽△ECM，根据相似三角形的性质可得CE2＝CB CM，设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，BG＝CM＝c，则(a-c)2＝ac，化简可得的值，然后根据进行计算.
二、填空题
9．（2022九上·北仑期中）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ .
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1.
故答案为1.
【分析】由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB＝90°，由同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠ACD＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求解.
10．（2022九上·镇海区期中）如图，内接于，，D是的中点，且，分别是边上的高，则的大小 度.
【答案】23
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，是的中点，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：23.
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等腰三角形的三线合一可得∠BOD=60°，根据角的和差可得∠AOB=106°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和得∠ABO=37°，∠OBC=30°，由角的和差得∠ABC的度数，最后再根据直角三角形两锐角互余可得答案.
11．（2022九上·龙港期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，E是的中点，AE交BC于点F，则∠1＝ 度.
【答案】67.5
【知识点】正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠BAC＝45°，∠B＝90°，
∵E是的中点，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，
∴∠1＝90°-22.5°＝67.5°.
故答案为：67.5.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC＝45°，∠B＝90°，根据等弧所对的圆周角相等得∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝22.5°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
12．（2022九上·苍南期中）如图， 在直角坐标系中， 抛物线交轴于点， 点是点 关于对称轴的对称点， 点是抛物线的顶点， 若的外接圆经过原点， 则点的坐标为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，
抛物线的对称轴为直线，
当x=0时y=2，
∴点A（0，2），
∵点A，B关于对称轴对称，
∴点B（4，2），AB∥x轴，
∴∠OAB=90°，
∵∵的外接圆经过原点，
∴OB圆O′的直径，点O′的坐标为（2，1）；
∴，
O′B=O′C=；
∴点C（2，）.
故答案为：（2，）
【分析】连接OB，与抛物线的对称轴交于点O′，利用函数解析式可求出抛物线的对称轴，由x=0求出对应得y的值，可得到点A的坐标，利用二次函数的对称性可求出点B的坐标，利用圆周角定理可证得OB圆O′的直径，同时可求出点O′的坐标；利用勾股定理求出OB的长，即可得到O′C的长，据此可求出点C的坐标.
三、解答题
13．（2022九上·富阳期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F．
求证：＝．
【答案】证明：∵AC=BC
∴∠A=∠B
∴弧BE=弧AF
∴弧BE-=弧AF -
即弧AE＝弧BF
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】利用等边对等角可证得∠A=∠B，利用在同一个圆中相等的圆周角所对的弧相等，可证得弧BE=弧AF，由此可证得结论.
14．（2022九上·金东月考）如图，AB、AC是⊙O的弦，AD⊥BC于点D，交⊙O于点F，AE是⊙O的直径，试判断弦BE与弦CF的大小关系，并说明理由．
【答案】解：BE＝CF，
理由：
∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC
∴∠ABE＝90°＝∠ADC
∵∠AEB＝∠ACB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAE＝∠CAF（等角的余角相等）
∴＝，
∴BE＝CF．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠AEB＝∠ACB，根据直径所对的圆周角是直角得∠ABE＝90°，由垂直的概念可得∠ADC＝90°，则∠ABE＝∠ADC，根据等角的余角相等可得∠BAE＝∠CAF，则＝，然后根据弧、弦的关系进行解答.
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