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27.1 圆的认识 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·舟山月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
2．（2022九上·桐乡市期中）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）.
A．2 B．3 C． D．
3．（2022九上·嘉兴期中）下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
4．（2022九上·南湖期中）如图，点D是直径为10的中一点，若长为3，则过点D的所有弦中，最长弦与最短弦的长度差为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．18
5．（2022九上·和平期中）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径
A．6米 B．米 C．7米 D．米
6．（2022九上·南开期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·舟山期中）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
8．（2022九上·萧山期中）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结，点与圆心不重合，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九下·惠山期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题
10．（2022九上·镇海区期中）如图，是的直径，是的弦，，，垂足为M，，则半径的长为
11．（2022九上·南湖期中）如图，已知是的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，求的度数 .
12．（2022九上·莲都期中）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB与CD的距离为 .
13．（2022九上·瑞安期中）在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 ．
14．（2022九上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC三、解答题
15．（2022九上·慈溪期中）如图AB，CD为⊙O内两条相交的弦，AD＝BC，求证：AB=CD
16．（2022九上·桐庐期中）如图，为的直径，半径，判断 与是否相等，并说明理由.
17．（2022九上·海珠期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设的半径为r，则，，
，
在中，，
即，
解得，
，
.
故答案为：A.
【分析】在Rt△OEB中，根据勾股定理建立方程求出该圆的半径，进而CE=CD-DE即可算出答案.
3．【答案】C
【知识点】垂径定理；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解：、长度相等的弧是等弧.错误，等弧是完全重合的两条弧是等弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误可以是任意三角形，本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】完全重合的两条弧是等弧，据此判断A；根据垂径定理可判断B；根据确定圆的条件可判断C；圆内接三角形可以是任意三角形，据此判断D.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据题意可知，要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是AB，如图，OD⊥AB于点D，
∴，，
∴，
∴，
∵过点D的所有弦中，最长弦是直径，
∴最长弦与最短弦的长度差为，
故答案为：A.
【分析】要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是AB，如图，OD⊥AB于点D，根据垂径定理可得AB=2BD，在Rt△OBD中，利用勾股定理算出BD，从而可得AB，再根据过点D的所有弦中，最长弦是直径，最后求差即可.
5．【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9 r，
∵AB=12米，CD⊥AB，
∴AD=AB=×12=6米，、
在Rt△AOD中，
∵OA=r，OD=9 r，AD=6米，、
∴OA2=OD2+AD2，即r2=(9 r)2+62，
解得r=米.
故答案为：B.
【分析】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9 r，根据AB=12米，CD⊥AB，得出AD的值，在Rt△AOD中，由OA=r，OD=9 r，AD=6米，即可得解。
6．【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据弧与圆心角的关系可得，再利用邻补角求出即可。
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠D=90°，AD=DC，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2，
在等腰直角△ADC中
2AD2=4
解之：.
故答案为：A
【分析】连接AC，利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得AC是圆的直径，可求出AC的长；再利用勾股定理求出AD的长.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
是直径，
，
，
，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
中，，
故答案为：A.
【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠B=90°-∠BAC=64°，根据翻折的性质可得：所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，则∠ADC+∠B=180°，求出∠ADC的度数，然后根据内角和定理进行计算.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，
则，满足奇异三角形的定义，
等边三角形一定是奇异三角形，
故①正确；
在中，，
∵，
∴，，
若是奇异三角形，一定有，
∴，
∴，得．
∵，
∴，
∴，
故②错误；
在中，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在中，；
在中，．
∵D是半圆的中点，
∴，
∴AD=BD，
∴，
又∵，，
∴．
∴ΔACE是奇异三角形，
故③正确；
由③可得ΔACE是奇异三角形，
∴．
当ΔACE是直角三角形时，
由②可得或，
（Ⅰ）当时，
，即，
∵，
∴，
∴．
（Ⅱ）当时，
，即，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°，
故④错误；
故答案为：B．
【分析】利用奇异三角形的定义，可对①作出判断；利用勾股定理可证得a2+b2=c2，结合已知可得到2a2＜b2+c2，利用奇异三角形的定义可证得2b2=a2+c2，即可用含a的代数式表示出b，c，可得到a，b，c的比值，可对②作出判断；利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=∠ADB=90°，利用勾股定理可证得AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，利用等弧所对的弦相等，最酷的AD=BD，由CB=CE，AE=AD，可推出AC2+CE2=2AE2，可证得ΔACE是奇异三角形，可对③作出判断；利用（2）分情况讨论：根据AC：AE：CE的比值，当时，可推出∠ABC=30°，利用圆周角定理可得到∠AOC=60°；当时，可求出∠ABC=60°，利用圆周角定理求出∠AOC的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，设半径为r，如下图：
则：，
由垂径定理可得，
由勾股定理可得：，即
解得
故答案为：.
【分析】连接OA，设半径为r，根据垂径定理可得AM=5，在Rt△AOM中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
11．【答案】26°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为： 26° .
【分析】根据二直线平行，内错角相等得∠AOD=∠D=52°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得答案.
12．【答案】14cm或2cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）如图①；Rt△OAE中，OA＝10cm，AE＝6cm；
根据勾股定理，得OE＝8cm；
同理可得：OF＝6cm；
故EF＝OE﹣OF＝2cm；
（2）如图②；同（1）可得：OE＝8cm，OF＝6cm；
故EF＝OE+OF＝14cm；
【分析】分两种情况：①当弦AB、CD位于原点的同侧，②当弦AB、CD位于原点的两侧，据此分别解答即可.
13．【答案】160°
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵点A为 中点，AB为直径，
∴AB⊥CD，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOD＝2∠B，
设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，
∵∠DEC＝120°，∠COD＝∠DEC+∠ODB，
∴4x＝x+120°，
解得x＝40°，
∴4x＝160°，
即∠COD＝160°，
∴ 的度数为160°.
故答案为：160°.
【分析】连接OD，由垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠AOC＝∠AOD，∠AOD＝2∠B，设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，由外角的性质可得∠COD＝∠DEC+∠ODB，代入求解可得x的度数，然后求出∠COD的度数，进而可得的度数.
14．【答案】45；
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，
∵BD是直径，
∴∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACD，
∴∠DCF=∠ACB=45°，
∴∠EBF=90°-∠DCF=90°-45°=45°；
∵BD是直径，
∴∠DFG=90°，
∴DF⊥BC，
∴DF∥FG，
∵DE=DC，
∴CF=FG，
∵∠FCG=∠EBC=45°，
∴EC=BE，
在Rt△CEB中，∠EBC=45°，BC=8，
∴BE=CBsin∠EBC=8sin45°=；
在Rt△EBG中
EG=CG=BEsin∠EBC=sin45°=，
∴FG=CG-4，
∴FG=2
在Rt△EFG中
.
故答案为：45，
【分析】连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，利用圆周角定理可证得∠CEB=90°，利用角平分线的定义求出∠DCF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠EBF的度数；利用圆周角定理求出∠DFG=90°，由DF∥FG去证明CF=FG，EC=BE，利用直角三角形的性质可得到EG=CG=BG，利用解直角三角形分别求出BE，EG，CG的长，即可得到FG的长；然后在Rt△EFG中，利用勾股定理求出EF的长.
15．【答案】证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，由弦AD＝弦BC，可得弧AD＝弧BC，从而得弧AB＝弧CD，进而得到AB＝CD．
16．【答案】解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，
∴，
，
∴，，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OD，由等边对等角得∠OBD=∠ODB，由平行线性质得∠COD=∠ODB，∠COA=∠DBA，故∠AOC=∠DOC，根据圆心角、弧、弦的关系可得 =.
17．【答案】解∶过O作于点E，过O作于点F，连接，，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
又，
∴，即，
解得，
在中，．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过O作于点E，过O作于点F，连接，，设，则，，根据勾股定理可得，将数据代入可得，再求出x的值，最后求出即可。
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27.1 圆的认识 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022九上·舟山月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．直径如果平分弦就一定垂直弦
D．直径所对的弧是半圆
【答案】D
【知识点】圆的认识；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故A不符合题意；
B、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，故B不符合题意；
C、直径平分弦（弦不是直径）就一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、直径所对的弧是半圆，故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据等弧的定义、圆的对称轴、垂径定理、半圆的定义，逐项进行判断，即可得出答案.
2．（2022九上·桐乡市期中）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（ ）.
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：设的半径为r，则，，
，
在中，，
即，
解得，
，
.
故答案为：A.
【分析】在Rt△OEB中，根据勾股定理建立方程求出该圆的半径，进而CE=CD-DE即可算出答案.
3．（2022九上·嘉兴期中）下列命题正确的是（ ）
A．长度相等的弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C．不在同一直线上的三点确定一个圆
D．圆内接三角形一定是等边三角形
【答案】C
【知识点】垂径定理；确定圆的条件；真命题与假命题
【解析】【解答】解：、长度相等的弧是等弧.错误，等弧是完全重合的两条弧是等弧，本选项不符合题意；
B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意；
C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意；
D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误可以是任意三角形，本选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】完全重合的两条弧是等弧，据此判断A；根据垂径定理可判断B；根据确定圆的条件可判断C；圆内接三角形可以是任意三角形，据此判断D.
4．（2022九上·南湖期中）如图，点D是直径为10的中一点，若长为3，则过点D的所有弦中，最长弦与最短弦的长度差为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．18
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：根据题意可知，要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是AB，如图，OD⊥AB于点D，
∴，，
∴，
∴，
∵过点D的所有弦中，最长弦是直径，
∴最长弦与最短弦的长度差为，
故答案为：A.
【分析】要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是AB，如图，OD⊥AB于点D，根据垂径定理可得AB=2BD，在Rt△OBD中，利用勾股定理算出BD，从而可得AB，再根据过点D的所有弦中，最长弦是直径，最后求差即可.
5．（2022九上·和平期中）高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以为圆心的圆的一部分，路面米，净高米，则此圆的半径
A．6米 B．米 C．7米 D．米
【答案】B
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9 r，
∵AB=12米，CD⊥AB，
∴AD=AB=×12=6米，、
在Rt△AOD中，
∵OA=r，OD=9 r，AD=6米，、
∴OA2=OD2+AD2，即r2=(9 r)2+62，
解得r=米.
故答案为：B.
【分析】设此圆的半径为r，则OA=r，OD=9 r，根据AB=12米，CD⊥AB，得出AD的值，在Rt△AOD中，由OA=r，OD=9 r，AD=6米，即可得解。
6．（2022九上·南开期中）如图，是的直径，点E在上，点D，C是的三等分点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵点D，C是的三等分点，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据弧与圆心角的关系可得，再利用邻补角求出即可。
7．（2022九上·舟山期中）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵正方形ABCD，
∴∠D=90°，AD=DC，
∴AC是圆的直径，
∴AC=2，
在等腰直角△ADC中
2AD2=4
解之：.
故答案为：A
【分析】连接AC，利用90°的圆周角所对的弦是直径，可证得AC是圆的直径，可求出AC的长；再利用勾股定理求出AD的长.
8．（2022九上·萧山期中）如图，为的直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连结，点与圆心不重合，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
是直径，
，
，
，
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
中，，
故答案为：A.
【分析】连接BC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠B=90°-∠BAC=64°，根据翻折的性质可得：所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，则∠ADC+∠B=180°，求出∠ADC的度数，然后根据内角和定理进行计算.
9．（2022九下·惠山期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：设等边三角形的边长为a，
则，满足奇异三角形的定义，
等边三角形一定是奇异三角形，
故①正确；
在中，，
∵，
∴，，
若是奇异三角形，一定有，
∴，
∴，得．
∵，
∴，
∴，
故②错误；
在中，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在中，；
在中，．
∵D是半圆的中点，
∴，
∴AD=BD，
∴，
又∵，，
∴．
∴ΔACE是奇异三角形，
故③正确；
由③可得ΔACE是奇异三角形，
∴．
当ΔACE是直角三角形时，
由②可得或，
（Ⅰ）当时，
，即，
∵，
∴，
∴．
（Ⅱ）当时，
，即，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°，
∴∠AOC的度数为60°或120°，
故④错误；
故答案为：B．
【分析】利用奇异三角形的定义，可对①作出判断；利用勾股定理可证得a2+b2=c2，结合已知可得到2a2＜b2+c2，利用奇异三角形的定义可证得2b2=a2+c2，即可用含a的代数式表示出b，c，可得到a，b，c的比值，可对②作出判断；利用直径所对圆周角是直角，可证得∠ACB=∠ADB=90°，利用勾股定理可证得AC2+BC2=AB2，AD2+BD2=AB2，利用等弧所对的弦相等，最酷的AD=BD，由CB=CE，AE=AD，可推出AC2+CE2=2AE2，可证得ΔACE是奇异三角形，可对③作出判断；利用（2）分情况讨论：根据AC：AE：CE的比值，当时，可推出∠ABC=30°，利用圆周角定理可得到∠AOC=60°；当时，可求出∠ABC=60°，利用圆周角定理求出∠AOC的度数，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
10．（2022九上·镇海区期中）如图，是的直径，是的弦，，，垂足为M，，则半径的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，设半径为r，如下图：
则：，
由垂径定理可得，
由勾股定理可得：，即
解得
故答案为：.
【分析】连接OA，设半径为r，根据垂径定理可得AM=5，在Rt△AOM中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
11．（2022九上·南湖期中）如图，已知是的直径，过点D的弦平行于半径，若的度数是，求的度数 .
【答案】26°
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
故答案为： 26° .
【分析】根据二直线平行，内错角相等得∠AOD=∠D=52°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得答案.
12．（2022九上·莲都期中）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB与CD的距离为 .
【答案】14cm或2cm
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：（1）如图①；Rt△OAE中，OA＝10cm，AE＝6cm；
根据勾股定理，得OE＝8cm；
同理可得：OF＝6cm；
故EF＝OE﹣OF＝2cm；
（2）如图②；同（1）可得：OE＝8cm，OF＝6cm；
故EF＝OE+OF＝14cm；
【分析】分两种情况：①当弦AB、CD位于原点的同侧，②当弦AB、CD位于原点的两侧，据此分别解答即可.
13．（2022九上·瑞安期中）在⊙O中，点C，D在⊙O上，且分布在直径AB异侧，延长CO交弦BD于点E，若∠DEC＝120°，且点A为中点，则的度数为 ．
【答案】160°
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵点A为 中点，AB为直径，
∴AB⊥CD，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOD＝2∠B，
设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，
∵∠DEC＝120°，∠COD＝∠DEC+∠ODB，
∴4x＝x+120°，
解得x＝40°，
∴4x＝160°，
即∠COD＝160°，
∴ 的度数为160°.
故答案为：160°.
【分析】连接OD，由垂径定理可得AB⊥CD，由圆周角定理可得∠AOC＝∠AOD，∠AOD＝2∠B，设∠B＝x，则∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，由外角的性质可得∠COD＝∠DEC+∠ODB，代入求解可得x的度数，然后求出∠COD的度数，进而可得的度数.
14．（2022九上·温州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC【答案】45；
【知识点】勾股定理；圆周角定理；解直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，
∵BD是直径，
∴∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，CD平分∠ACD，
∴∠DCF=∠ACB=45°，
∴∠EBF=90°-∠DCF=90°-45°=45°；
∵BD是直径，
∴∠DFG=90°，
∴DF⊥BC，
∴DF∥FG，
∵DE=DC，
∴CF=FG，
∵∠FCG=∠EBC=45°，
∴EC=BE，
在Rt△CEB中，∠EBC=45°，BC=8，
∴BE=CBsin∠EBC=8sin45°=；
在Rt△EBG中
EG=CG=BEsin∠EBC=sin45°=，
∴FG=CG-4，
∴FG=2
在Rt△EFG中
.
故答案为：45，
【分析】连接DF，过点E作EG⊥BC于点G，利用圆周角定理可证得∠CEB=90°，利用角平分线的定义求出∠DCF的度数，利用三角形的内角和定理求出∠EBF的度数；利用圆周角定理求出∠DFG=90°，由DF∥FG去证明CF=FG，EC=BE，利用直角三角形的性质可得到EG=CG=BG，利用解直角三角形分别求出BE，EG，CG的长，即可得到FG的长；然后在Rt△EFG中，利用勾股定理求出EF的长.
三、解答题
15．（2022九上·慈溪期中）如图AB，CD为⊙O内两条相交的弦，AD＝BC，求证：AB=CD
【答案】证明：∵AD=BC，
∴，
∴，
∴AB=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆中圆心角、弧、弦的关系定理，由弦AD＝弦BC，可得弧AD＝弧BC，从而得弧AB＝弧CD，进而得到AB＝CD．
16．（2022九上·桐庐期中）如图，为的直径，半径，判断 与是否相等，并说明理由.
【答案】解：，理由如下：
连接，如图所示：
∵，
∴，
，
∴，，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】连接OD，由等边对等角得∠OBD=∠ODB，由平行线性质得∠COD=∠ODB，∠COA=∠DBA，故∠AOC=∠DOC，根据圆心角、弧、弦的关系可得 =.
17．（2022九上·海珠期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
【答案】解∶过O作于点E，过O作于点F，连接，，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
又，
∴，即，
解得，
在中，．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】过O作于点E，过O作于点F，连接，，设，则，，根据勾股定理可得，将数据代入可得，再求出x的值，最后求出即可。
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