27.4 正多边形和圆 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022·崂山模拟）如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·梁山模拟）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·龙湾模拟）如图， ， 是 的两条弦，且 ，点 ， 分别在 ， 上．若 ，则 的度数为（ ）
A．119° B．112° C．109° D．108°
5．（2022·玉环模拟）如图，面积为18的正方形 内接于 ，则弧 的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·石家庄模拟）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
7．（2020九上·上思月考）⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
8．（2021九上·温州期末）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．（2022·绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
10．（2022·和平模拟）已知圆的周长是，则该圆的内接正三角形的边心距是 ．
11．（2022九上·舟山期中）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n= ．
12．（2022·武威会考）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则的长为 .（结果保留π）
13．（2021·孝义模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n． ， ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 ．
14．（2021九上·陵城期末）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上一点（不与A、B重合），点F是上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，B，且∠EOF＝90°．有下列结论：①＝；②四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；③△GBH周长的最小值为2+；④若BG＝1﹣，则BG，GE，围成的面积是，其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
三、解答题
15．（2021九上·巢湖月考）已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
16．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
17．（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
四、综合题
18．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
（1）求出的值为 ；
（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
19．（2020·无锡模拟）已知某种月饼形状的俯视图如图1所示，该形状由1个正六边形和6个半圆组成，半圆直径与正六边形的边长相等.
现商家设计了2种棱柱体包装盒，其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率= ×100%)
（1）请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%)；
（2）考虑到节约成本，商家希望底面利用率能够不低于80%，且底面图形仍然采用最基本的几何形状，请问商家的要求是否能够满足，若可以满足，请设计一种方案，并直接写出此时的利用率；若不能满足，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角的运算；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是⊙O的内接正五边形，
∴∠A=∠ABC=，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据正多边形内角和公式计算出∠EAB，再得出∠ABE=∠AEB，即可得解。
2．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故答案为：A．
【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为30°，利用等腰三角形的性质可求出∠A6OH=15°，A6A7=2A6H，利用正弦函数的定义求出A6H，进而即可求出正十二边形的周长，然后求出圆周率.
3．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，作于点，
由题意知．
∵，，
∴是等边三角形
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
．
故答案为：A．
【分析】连接，，作于点，利用求解即可，注意正六边形中△AOB是等边三角形。
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BC，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BAC=180°-142°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=71°，
∵四边形APCB是圆内接四边形，
∴∠APC+∠ABC=180°，
∴∠APC=109°.
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据圆内接四边形的性质得出∠BAC+∠BDC=180°，得出∠BAC=38°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=71°，再根据∠APC+∠ABC=180°，即可得出∠APC=109°.
5．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA、OB，
∵正方形的面积为18，
∴AB=，
∵正方形内接于⊙O，
∴∠AOB=90°，AO=BO，
∴AO=AB=×=3，
∴弧AB的长=.
故答案为：C.
【分析】如图所示，分别连接OA、OB，由正方形的面积为18，求得AB的长，由正方形内接于⊙O得∠AOB=90°，AO=BO，从而求得AO的长，再利用弧长计算公式，代入数据计算即可求解.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故答案为：C．
【分析】连接OC，根据正多边形的性质可得∠AOB＝360°÷6＝60°，∠BOC＝360°÷8＝45°，再利用角的运算求出∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°，最后利用n＝360°÷15°＝24计算即可。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，
∵∠COD=90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴CD=，
∵∠AOH=60°，
∴AH=OA×sin60°=R，
∴AB=2AH=R，
内接三角形与内接正方形的边长之比为=R：R=；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，利用等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质分别求出内接正三角形和内接正方形的边长，最后求比值即可.
8．【答案】C
【知识点】垂径定理的应用；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，
分别连接AO，OB，OC，
∴OA=OB=OC=2，
∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 ，
∴∠1=∠2=30°，
又∵OC⊥AD与点D，
∴∠3=30°，
∴OD=DC=1，AD=，
∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=-1，
∴阴影部分的面积为：8××（-1） =4×（3-2+1）=16-8.
故答案为：C.
【分析】“割圆术”将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，所以只需要求出一个等腰直角三角形的直角边即可解决问题.先根据十二等分求出一等分的圆心角，从而求出∠3的度数为30°，在直角三角形ODA中求解AE，最后根据三角形面积公式计算出整个阴影部分的面积即可.
9．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【分析】连接AO，先求出∠AOB=360°÷6=60°，再求出∠AOH=360°÷5=72°，最后利用角的运算可得∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°。
10．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，等边内接，连接，过O作，
则，
圆的周长是，
，
，
故答案为：．
【分析】先作出草图，连接，过O作，利用圆的周长求出半径的长，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案。
11．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OC，OB，
∵AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，
∴∠AOC=360°÷4=90°，∠AOB=360°÷3=120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°-90°=30°，
∴n=360°÷30°=12，
∴BC一定是圆O的内接正12边形的一条边.
故答案为：12
【分析】连接OA，OC，OB，由AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，可求出中心角∠AOC和∠AOB的度数，利用∠BOC=∠AOB-∠AOC，代入计算求出∠BOC的度数；然后用360°÷∠BOC的度数，可得到n的值.
12．【答案】π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∠BOC==90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2，
∴的长为=π，
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，利用正方形的性质可求出∠BOC的度数，利用勾股定理求出OB，OC的长；然后利用弧长公式进行计算，可求出结果.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC，四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC=90°，
∴AC是圆的直径，AC=2，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【分析】先求出AC是圆的直径，AC=2，再求出 ，最后找出规律求解即可。
14．【答案】①③
【知识点】圆内接正多边形；圆的综合题
【解析】【解答】如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴，
∵，
∴；故①符合题意，
在△BOG与△COH中，，
∴△BOG≌△COH（ASA），
∴OG＝OH，BG＝CH，
∵∠HOG＝90°
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴S△OBG＝S△OCH，
∴S四边形OGBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝定值，故②不符合题意；
∵AB＝BC，BG＝CH，
∴AG＝BH，
∴△BGH的周长＝BG+BH+GH＝BG+AG+OG＝AB+OG＝2+OG，
当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG＝1，
∴△GBH周长的最小值为2+，故③符合题意；
作OM⊥AB于M，则OM＝BM＝AB＝1，OB＝OM＝，
∴GM＝，
∴tan∠GOM＝＝，
∴∠GOM＝30°，
∵∠BOM＝45°，
∴∠BOG＝45°﹣30°＝15°，
∴扇形BOE的面积＝＝，
∵BG＝1﹣，
∴AG＝1+，
过G作GP⊥BO于P，
∴PG＝PB＝﹣，
∴△OBG的面积＝××（﹣）＝﹣，
∴BG，GE，围成的面积＝扇形BOE的面积﹣△BOG的面积＝﹣+，故④不符合题意；
故答案为：①③．
【分析】结合图形，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式和扇形面积公式计算求解，对每个结论一一判断即可。
15．【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
16．【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
17．【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
18．【答案】（1）
（2）证明：连接OH，OI，
∵点F，G，B，H，I为五等分点，
∴∠HOI=360°=72°，
∴∠G=36°，
同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，
又∵∠BMN是△MHF的外角，
∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°，
同理∠BNM=72°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∵∠FBI=36°，
∴△BMN是黄金三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴，
∵点D为OC中点，
∴OD=OC=OA，
设OD=x，则OA=2x，
在中，由勾股定理可得
，
∴，
∴AD=x，
∴AE=AD-DE=x-x，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由垂径定理可得∠AOC=90°，由线段的中点可得OD=OC=OA，可设OD=x，则OA=2x，利用勾股定理求出AD=x，从而求出AE=AD-DE=x-x，继而求出比值；
（2）连接OH，OI， 由 点F，G，B，H，I为五等分点， 可求出∠G=∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°， 利用三角形的外角可求出∠BMN=∠BNM=72°，可得BM=BN，根据“ 黄金三角形”的定义即证.
19．【答案】（1）解：设半圆直径与正六边形的边长 a，连接正六边形的中心 和两相邻的顶点 ，则 , ,∴ 是等边三角形，∴ =a,过点 作 ,∴ ， ,∴ = ，延长OC与其中一个半圆交于点D，则 ，∴ , 40.2%;
= = = 66.4%;
答：图2、3的底面利用率分别约为66.4%、40.2%；
（2）解：商家的要求是否能够满足，设计如图所示底面为圆的包装盒，半径为 ，
= ，
答：设计底面为圆形的包装盒，利用率约为84.5%.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）设半圆直径与正六边形的边长为a，根据正多边形和圆的知识，算出月饼面积，再算出图2正方形的边长，即可求出图2的面积，和图2底面的利用率；图3的包装盒六边形和月饼相似，利用面积比等于相似比的平方，求出图3包装盒的底面利用率；（2）设计底面为圆形的包装盒，求出其半径、面积、底面利用率，满足底面利用率不低于80%.
1 / 127.4 正多边形和圆 华师大版九年级下册同步练习
一、单选题
1．（2022·崂山模拟）如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵五边形是⊙O的内接正五边形，
∴∠A=∠ABC=，AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ABE=，
∴．
故答案为：D．
【分析】先根据正多边形内角和公式计算出∠EAB，再得出∠ABE=∠AEB，即可得解。
2．（2022·黄石）我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣"，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，……．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为R，图1中圆内接正六边形的周长，则．再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
∵十二边形是正十二边形，
∴，
∵于H，又，
∴，
∴圆内接正十二边形的周长，
∴
故答案为：A．
【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为30°，利用等腰三角形的性质可求出∠A6OH=15°，A6A7=2A6H，利用正弦函数的定义求出A6H，进而即可求出正十二边形的周长，然后求出圆周率.
3．（2022·梁山模拟）如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接，，作于点，
由题意知．
∵，，
∴是等边三角形
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
．
故答案为：A．
【分析】连接，，作于点，利用求解即可，注意正六边形中△AOB是等边三角形。
4．（2022·龙湾模拟）如图， ， 是 的两条弦，且 ，点 ， 分别在 ， 上．若 ，则 的度数为（ ）
A．119° B．112° C．109° D．108°
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接BC，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BDC=180°，
∴∠BAC=180°-142°=38°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=71°，
∵四边形APCB是圆内接四边形，
∴∠APC+∠ABC=180°，
∴∠APC=109°.
故答案为：C.
【分析】连接BC，根据圆内接四边形的性质得出∠BAC+∠BDC=180°，得出∠BAC=38°，再根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=71°，再根据∠APC+∠ABC=180°，即可得出∠APC=109°.
5．（2022·玉环模拟）如图，面积为18的正方形 内接于 ，则弧 的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图所示，分别连接OA、OB，
∵正方形的面积为18，
∴AB=，
∵正方形内接于⊙O，
∴∠AOB=90°，AO=BO，
∴AO=AB=×=3，
∴弧AB的长=.
故答案为：C.
【分析】如图所示，分别连接OA、OB，由正方形的面积为18，求得AB的长，由正方形内接于⊙O得∠AOB=90°，AO=BO，从而求得AO的长，再利用弧长计算公式，代入数据计算即可求解.
6．（2022·石家庄模拟）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故答案为：C．
【分析】连接OC，根据正多边形的性质可得∠AOB＝360°÷6＝60°，∠BOC＝360°÷8＝45°，再利用角的运算求出∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°，最后利用n＝360°÷15°＝24计算即可。
7．（2020九上·上思月考）⊙O内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶ B． ∶ C．3∶2 D．1∶2
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，
∵∠COD=90°，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴CD=，
∵∠AOH=60°，
∴AH=OA×sin60°=R，
∴AB=2AH=R，
内接三角形与内接正方形的边长之比为=R：R=；
故答案为：B.
【分析】连接OA、OB、OC、OD，作OH⊥AB于H，利用等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的性质分别求出内接正三角形和内接正方形的边长，最后求比值即可.
8．（2021九上·温州期末）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理的应用；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，
分别连接AO，OB，OC，
∴OA=OB=OC=2，
∵将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 ，
∴∠1=∠2=30°，
又∵OC⊥AD与点D，
∴∠3=30°，
∴OD=DC=1，AD=，
∴一个小的等腰直角三角形的直角边为AE=-1，
∴阴影部分的面积为：8××（-1） =4×（3-2+1）=16-8.
故答案为：C.
【分析】“割圆术”将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形，阴影部分为八个全等的等腰直角三角形，所以只需要求出一个等腰直角三角形的直角边即可解决问题.先根据十二等分求出一等分的圆心角，从而求出∠3的度数为30°，在直角三角形ODA中求解AE，最后根据三角形面积公式计算出整个阴影部分的面积即可.
二、填空题
9．（2022·绥化）如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【分析】连接AO，先求出∠AOB=360°÷6=60°，再求出∠AOH=360°÷5=72°，最后利用角的运算可得∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°。
10．（2022·和平模拟）已知圆的周长是，则该圆的内接正三角形的边心距是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，等边内接，连接，过O作，
则，
圆的周长是，
，
，
故答案为：．
【分析】先作出草图，连接，过O作，利用圆的周长求出半径的长，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案。
11．（2022九上·舟山期中）如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，BC一定是圆O的内接正n边形的一条边，那么n= ．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OC，OB，
∵AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，
∴∠AOC=360°÷4=90°，∠AOB=360°÷3=120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°-90°=30°，
∴n=360°÷30°=12，
∴BC一定是圆O的内接正12边形的一条边.
故答案为：12
【分析】连接OA，OC，OB，由AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，可求出中心角∠AOC和∠AOB的度数，利用∠BOC=∠AOB-∠AOC，代入计算求出∠BOC的度数；然后用360°÷∠BOC的度数，可得到n的值.
12．（2022·武威会考）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，则的长为 .（结果保留π）
【答案】π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB、OC，
∠BOC==90°，
∵BC=2，
∴OB=OC=2，
∴的长为=π，
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，利用正方形的性质可求出∠BOC的度数，利用勾股定理求出OB，OC的长；然后利用弧长公式进行计算，可求出结果.
13．（2021·孝义模拟）我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O的半径为R，圆内接正n边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下公式求出a2n和S2n． ， ．如图，若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正八边形AEBFCGDH的面积为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接AC，四边形ABCD是圆内接正四边形，∠ADC=90°，
∴AC是圆的直径，AC=2，
∵ ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【分析】先求出AC是圆的直径，AC=2，再求出 ，最后找出规律求解即可。
14．（2021九上·陵城期末）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上一点（不与A、B重合），点F是上一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，B，且∠EOF＝90°．有下列结论：①＝；②四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；③△GBH周长的最小值为2+；④若BG＝1﹣，则BG，GE，围成的面积是，其中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③
【知识点】圆内接正多边形；圆的综合题
【解析】【解答】如图所示，连接OC、OB、CF、BE．
∵∠BOE+∠BOF＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴，
∵，
∴；故①符合题意，
在△BOG与△COH中，，
∴△BOG≌△COH（ASA），
∴OG＝OH，BG＝CH，
∵∠HOG＝90°
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴S△OBG＝S△OCH，
∴S四边形OGBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝定值，故②不符合题意；
∵AB＝BC，BG＝CH，
∴AG＝BH，
∴△BGH的周长＝BG+BH+GH＝BG+AG+OG＝AB+OG＝2+OG，
当OG⊥AB时，OG的长最小，此时OG＝1，
∴△GBH周长的最小值为2+，故③符合题意；
作OM⊥AB于M，则OM＝BM＝AB＝1，OB＝OM＝，
∴GM＝，
∴tan∠GOM＝＝，
∴∠GOM＝30°，
∵∠BOM＝45°，
∴∠BOG＝45°﹣30°＝15°，
∴扇形BOE的面积＝＝，
∵BG＝1﹣，
∴AG＝1+，
过G作GP⊥BO于P，
∴PG＝PB＝﹣，
∴△OBG的面积＝××（﹣）＝﹣，
∴BG，GE，围成的面积＝扇形BOE的面积﹣△BOG的面积＝﹣+，故④不符合题意；
故答案为：①③．
【分析】结合图形，利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式和扇形面积公式计算求解，对每个结论一一判断即可。
三、解答题
15．（2021九上·巢湖月考）已知圆内接正十二边形的面积为S，求同圆的内接正六边形的面积．
【答案】解：设ED是正六边形的边，EG是正十二边形的边，则ED⊥OG．
∵∠EOG＝ ＝30°，
∴设圆的半径是r，S△EOG＝ OE OG sin30°＝ r2＝ S，
∴r2＝ S．
∴S△OED＝ r2＝ ．
则正六边形的面积是：6× ＝ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】先求出 S△OED＝ r2＝ ，再计算求解即可。
16．（2020九上·金寨期末）如图，正五边形 内接于 ， 为 上的一点（点 不与点 重合），求 的余角的度数．
【答案】解：如图，连接 ．
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴90°-36°=54°，
∴ 的余角的度数为54°．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接 ．根据圆内接正五边形的中心角等于360度÷5，求出角COD的度数，进而根据圆周角定理求出角CPD的度数，即可得出答案。
17．（2020九上·福州月考）如图， 是 的内接正五边形．求证： .
【答案】证明：∵ 是正五边形，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行线的判定；圆内接正多边形
【解析】【分析】根据正五边形的性质求出 ，根据三角形的内角和定理，可得∠CBD的度数，进而可得出∠ABD的度数，然后根据同旁内角互补，两直线平行可证得结论．
四、综合题
18．（2022·交城模拟）阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
黄金三角形与五角星
当等腰三角形的顶角为36°（或108°）时，它的底与腰的比（或腰与底的比）为，我们把这样的三角形叫做黄金三角形．
按下面的步骤画一个五角星（如图）：
①作一个以AB为直径的圆，圆心为O；
②过圆心O作半径OC⊥AB；
③取OC的中点D，连接AD；
④以D为圆心OD为半径画弧交AD于点E；
⑤从点A开始以AE为半径顺时针依次画弧，
正好把⊙O十等分（其中点F，G，B，H，I为五等分点）；
⑥以点F，G，B，H，I为顶点画出五角星．
任务：
（1）求出的值为 ；
（2）如图，GH与BF，BI分别交于点M，N，求证：△BMN是黄金三角形．
【答案】（1）
（2）证明：连接OH，OI，
∵点F，G，B，H，I为五等分点，
∴∠HOI=360°=72°，
∴∠G=36°，
同理∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°，
又∵∠BMN是△MHF的外角，
∴∠BMN=∠F+∠GHF=72°，
同理∠BNM=72°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN，
∵∠FBI=36°，
∴△BMN是黄金三角形.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】(1)解：∵，
∴，
∵点D为OC中点，
∴OD=OC=OA，
设OD=x，则OA=2x，
在中，由勾股定理可得
，
∴，
∴AD=x，
∴AE=AD-DE=x-x，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由垂径定理可得∠AOC=90°，由线段的中点可得OD=OC=OA，可设OD=x，则OA=2x，利用勾股定理求出AD=x，从而求出AE=AD-DE=x-x，继而求出比值；
（2）连接OH，OI， 由 点F，G，B，H，I为五等分点， 可求出∠G=∠F=∠FBI=∠GHF=∠BIG=36°， 利用三角形的外角可求出∠BMN=∠BNM=72°，可得BM=BN，根据“ 黄金三角形”的定义即证.
19．（2020·无锡模拟）已知某种月饼形状的俯视图如图1所示，该形状由1个正六边形和6个半圆组成，半圆直径与正六边形的边长相等.
现商家设计了2种棱柱体包装盒，其底面分别为矩形和正六边形(如图2和图3)我们可从底面的利用率来记算整个包装盒的利用情况.(底面利用率= ×100%)
（1）请分别计算出图2与图3中的底面利用率(结果保留到0.1%)；
（2）考虑到节约成本，商家希望底面利用率能够不低于80%，且底面图形仍然采用最基本的几何形状，请问商家的要求是否能够满足，若可以满足，请设计一种方案，并直接写出此时的利用率；若不能满足，请说明理由.
【答案】（1）解：设半圆直径与正六边形的边长 a，连接正六边形的中心 和两相邻的顶点 ，则 , ,∴ 是等边三角形，∴ =a,过点 作 ,∴ ， ,∴ = ，延长OC与其中一个半圆交于点D，则 ，∴ , 40.2%;
= = = 66.4%;
答：图2、3的底面利用率分别约为66.4%、40.2%；
（2）解：商家的要求是否能够满足，设计如图所示底面为圆的包装盒，半径为 ，
= ，
答：设计底面为圆形的包装盒，利用率约为84.5%.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）设半圆直径与正六边形的边长为a，根据正多边形和圆的知识，算出月饼面积，再算出图2正方形的边长，即可求出图2的面积，和图2底面的利用率；图3的包装盒六边形和月饼相似，利用面积比等于相似比的平方，求出图3包装盒的底面利用率；（2）设计底面为圆形的包装盒，求出其半径、面积、底面利用率，满足底面利用率不低于80%.
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