7.1.1数系的扩充和复数的概念 教案

7.1.1数系的扩充和复数的概念
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第七章)
一、教学目标
1. 了解引入复数的必要性；
2. 理解复数的有关概念；
3. 掌握复数集与其他数集（实数集等）之间的集合关系；
4. 了解从实数系扩充到复数系的过程，培养类比、转化、特殊到一般等思想方法，提升数学抽象、逻辑推理素养.
二、教学重难点
1. 教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.
2. 教学难点：复数概念引入的必要性,复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示.
三、教学过程
1.情境导入
【数学活动】回顾数的发展过程
结论：数的发展与生产生活、方程求解密切相关.
【设计意图】通过回顾数的发展过程，使学生体会到现实生产生活对数学发展的推动作用，体会方程与数的发展的联系，激发学生对数系扩充的兴趣.
探究交流
问题1：能否求出方程x2+2x+2=0的解？
【预设答案】方程判别式小于0，没有实数解.
追问1：我们知道，像x2 +1=0 这些方程在实数集中是无解的，那能否类比从自然数集到实数集的扩充过程，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程有解？
【预设答案】为了让x2=-1有解，引入一个“”，使得i2=-1,如此一来，x=i就是方程x2+1=0的解.
【设计意图】让学生类比从自然数集到实数集的扩充过程，自然地引导学生从解方程的角度出发探究数系的扩充，使“新数i”的添加变得水到渠成,积累研究数学问题的经验.
【数学史介绍】
（1）在1777年，欧拉在《微分公式》一文中首创了用“imaginary”（想象的、假想的）的首字母i作为虚数的单位，本意是这个数是虚幻的，规定了i2=-1.
（2）莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，有一个以他名字命名的公式被誉为“上帝创造的公式”，那就是欧拉恒等式：.
《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为“史上最伟大的公式”. 物理大师费曼也盛赞这个公式为“数学最非凡的公式”.
【设计意图】介绍与虚数单位i有关的历史，强化学生对i的认识.
问题2：添加“新数”后，原来数集中规定的加减乘除运算法则和运算律在新数集中仍然成立，那么，把“新数i”添加到实数集中，组成的新数集包含哪些元素？
追问2：能否写出一个形式，把刚刚的数都包含在内？
【预设答案】a+bi(a,b∈R)
【设计意图】引导学生根据运算法则和运算律，抽象出复数的代数形式，培养学生数学抽象和逻辑推理等核心素养.
构建数学
教师讲授：
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，规定i2=-1.
(2)复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
(3)复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
问题3：复数z=a+bi（a，b∈R）是实数的充要条件是什么？z=a+bi=0的充要条件是什么？
【预设答案】b=0；a=0,b=0.
教师讲授：
(4)复数相等的充要条件
规定：在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
a＋bi与c＋di相等当且仅当a=c且b=d．
复数只能说相等或不相等，而只有当两个复数都是实数时才能比较大小，否则，不能比较大小.
【设计意图】由特殊到一般，帮助学生理解复数相等的含义.
问题4：进一步地，你能对复数z=a+bi（a,b∈R）进行分类吗？
【预设答案】
【设计意图】通过对复数进行分类，深化学生对于复数的认识.
问题5：我们已经将实数集扩充到了复数集，能否用韦恩图表示出数集N，Z，Q，R，C之间的关系？
【设计意图】通过问题让学生理解复数集与以前学过的数集之间的关系，深化学生对复数集的理解，将新知与旧知联系起来，完善已有的知识结构.
应用拓展
问题6：当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.
【预设答案】（1）m=1;（2）m≠1；（3）m=-1.
问题7：已知(x-y)+(y-2)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x，y的值.
【预设答案】x=12，y=-3
【设计意图】根据桑代克的练习律与斯金纳的强化原理，设置问题，帮助学生巩固复数的分类标准，加深对复数概念的理解，强化对复数相等含义的理解，起到及时反馈的作用.
课堂总结
问题8：本节课学了哪些知识和思想方法？
【设计意图】通过对本节课涉及的知识和思想方法的总结，使学生进一步熟悉复数的概念以及相关知识，深化对新知的理解，体会其中蕴含的数学思想方法和核心素养.
课外作业
教科书7.1.1的练习第1，2，3题.
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