18.2.3正方形的性质 课件（26张PPT）
文档属性
| 名称 | 18.2.3正方形的性质 课件（26张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-10 16:27:47 | ||
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文档简介
18.2.3 正方形的性质
人教版八年级下册
知识回顾
菱形的定义是什么？
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
教学目标
1.理解并掌握正方形的概念和性质.
2.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.
新知导入
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
新知导入
动一动 用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
正方形
思考 满足什么条件的矩形是正方形？
矩形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
新知探究
想一想 满足什么条件的菱形是正方形？
菱形
正方形
？
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
新知探究
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
新知探究
有一个直角
一组邻边相等
矩形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
菱形
平行四边形
？
新知小结
数学语言：
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，∠A=90?
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
定义1： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
知识点1
正方形的定义
定义2： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
定义3： 有一个角是直角的菱形叫做正方形.
新知探究
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看一看你能发现什么？
A
B
D
C
是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
新知探究
思考 正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质：正方形=平行四边形+矩形+菱形.
新知探究
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
知识点2
正方形的性质
新知典例
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
A
B
D
C
O
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
新知探究
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
新知典例
例2 已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.
证明：
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO.
又DG⊥AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO,
∴△AEO≌△DFO（ASA）,
∴OE=OF.
新知练习
新知典例
例3 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
新知探究
2. 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC(SAS)．
新知探究
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的性质
有一组邻边相等的矩形叫正方形.
一个角是直角的菱形叫正方形.
课堂总结
课堂练习
C
45°
课堂练习
课堂练习
课堂练习
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知识回顾
菱形的定义是什么？
矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形是矩形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
教学目标
1.理解并掌握正方形的概念和性质.
2.能熟练运用正方形的性质进行计算和证明.
新知导入
正方形是日常生活中常见的图形，你有注意到吗？
新知导入
动一动 用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
正方形
思考 满足什么条件的矩形是正方形？
矩形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
新知探究
想一想 满足什么条件的菱形是正方形？
菱形
正方形
？
有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
新知探究
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
新知探究
有一个直角
一组邻边相等
矩形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
菱形
平行四边形
？
新知小结
数学语言：
∵平行四边形ABCD中，AB=BC，∠A=90?
∴四边形ABCD是正方形
A
B
D
C
定义1： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
知识点1
正方形的定义
定义2： 有一组邻边相等的矩形叫做正方形.
定义3： 有一个角是直角的菱形叫做正方形.
新知探究
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？请同学们用正方形纸片折一折，看一看你能发现什么？
A
B
D
C
是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
新知探究
思考 正方形是不是具有矩形和菱形的一切性质呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质：正方形=平行四边形+矩形+菱形.
新知探究
正方形的性质
边
对角线
对边平行
四个角都是直角
角
四边相等
相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
对称性
轴对称图形，有四条对称轴
知识点2
正方形的性质
新知典例
例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O.
A
B
D
C
O
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
新知探究
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，AO=BO=CO=DO.
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
新知典例
例2 已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.
证明：
∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO.
又DG⊥AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°.
∴∠EAO=∠FDO,
∴△AEO≌△DFO（ASA）,
∴OE=OF.
新知练习
新知典例
例3 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
新知探究
2. 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．
（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC(SAS)．
新知探究
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，
∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，
∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
正方形定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
正方形的四个角都是直角；
正方形的四条边都相等；
正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.
正方形的性质
有一组邻边相等的矩形叫正方形.
一个角是直角的菱形叫正方形.
课堂总结
课堂练习
C
45°
课堂练习
课堂练习
课堂练习
谢谢
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兼职招聘：
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