四川省达州市万源名校2022-2023学年高二下学期入学考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省达州市万源名校高二下学期入学考试
数学（文）试题
一、单选题
1．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也又非必要条件
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在等比数列 中，和是方程的两根，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
5．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．将二进制数化为十进制数，结果为（ ）
A．11 B．18 C．20 D．21
7．已知直线，若，则（ ）
A． B． C． D．1
8．某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
10．已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1
C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1
12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积的最大值为
D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
二、填空题
13．已知，且，则的最大值为___________．
14．若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为______.
15．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.
16．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若，求面积的最大值.
18．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
19．命题 .
(1)若 为真命题， 求实数 的取值范围；
(2)若 为真命题， 为假命题， 求实数 的取值范围.
20．某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 )，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:
(1)求成绩落在）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(3)按分层抽样从成绩在，[80，90)两个分数段的学生中选出11 人，再从这11 人中选2 人参加培训，求选出的2人在同一分数段的概率.
21．如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE，如图②.
(1)求证：OC⊥平面PBE；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．
2022-2023学年四川省达州市万源名校高二下学期入学考试
数学（文）试题
一、单选题
1．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也又非必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】在中，，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数诱导公式即可求得的值.
【详解】
故选：C
3．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算的几何表示结合条件即得.
【详解】∵，
∴，又
∴.
故选：B.
4．在等比数列 中，和是方程的两根，则（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】设等比数列的公比为，由韦达定理可得，再根据等比数列的性质即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，
因为和是方程的两根，
所以，
所以，
由等比数列的性质得，，
所以，则.
故选：C.
5．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“，”的否定是“，”.
故选：C
6．将二进制数化为十进制数，结果为（ ）
A．11 B．18 C．20 D．21
【答案】D
【分析】根据不同进制转化算法计算可得.
【详解】解：.
故选：D
7．已知直线，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由两直线垂直，斜率的关系列方程直接解得.
【详解】因为所以的斜率为.
因为，所以的斜率必存在，且，所以.
所以，解得：.
故选：B
8．某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.
【详解】15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，
他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为.
故选：B
9．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
【答案】C
【分析】根据程序框图分析即可.
【详解】开始：，
，
不成立，循环，
，
不成立，循环，
，
不成立，循环，
，
成立，终止程序，
输出，
故选：C.
10．已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据不等式的解法求集合，根据题意可得A是B的真子集，结合真子集关系分析求解.
【详解】由题意可得：，或，
若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集，
所以.
故选：A.
11．设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1
C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1
【答案】B
【分析】由题设明确点到原点距离为，结合曲线方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.
【详解】由题意知点到原点距离为 ，
由于点是曲线上任意一点，可得，
当且仅当时取等号，即曲线上的点到原点距离最小，最小值为1；
又因为,所以，
当且仅当时取等号，
故，即，当且仅当时取等号，
即点到原点距离的最大值为，
故选：B
12．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵中，，且.下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥为“阳马”
B．四面体为“鳖臑”
C．四棱锥体积的最大值为
D．过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF
【答案】C
【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵中，，侧棱平面，
A选项，∴，又，且，则平面，
∴ 四棱锥为“阳马”，故A正确；
B选项，由，即，又且，
∴平面，∴，则为直角三角形，
又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，∴ 四面体为“鳖膈”，故B正确；
C选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，
，最大值为，故C错误；
D选项，因为，，，所以平面，故D正确；
故选：C
二、填空题
13．已知，且，则的最大值为___________．
【答案】2
【分析】利用基本不等式得到，从而得到.
【详解】因为，且，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：2
14．若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为______.
【答案】
【分析】由题可知点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，进而即得.
【详解】由题可得圆的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，
且由，即点在圆内，
则最短的弦是以为中点的弦，
所以圆中过点的最短的弦长为.
故答案为：.
15．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.
【答案】
【分析】设抛物线方程为，求出双曲线的焦点，即抛物线的焦点，从而可得出答案.
【详解】解：由已知可知双曲线的焦点为，
设抛物线方程为，则，
所以，
所以抛物线方程为.
故答案为：
16．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．
【答案】
【分析】解法一，利用点差法，结合，以及，变形得到，再转化为关于的齐次方程，求解；解法二，设直线，，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系表示中点坐标，再转化为关于的齐次方程，求解.
【详解】解法一 由题意知，，则．设，，则两式相减，得．因为的中点为，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．
解法二 由题意知，，则．设直线的方程为，即，代入双曲线方程，得．设，，结合为的中点，得．又，所以，整理得，所以，得，得．
故答案为：
【点睛】思路点睛： 常见的求双曲线离心率的方法：①根据已知条件列方程组，解出，的值，直接利用离心率公式求解即可；②根据已知条件得到一个关于，（或，）的齐次方程，然后转化为关于离心率的方程来求解．
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，可得，从而得解；
（2）结合（1）中结论，推出，再由得解．
【详解】（1）因为，
由正弦定理角化边得，即
，又
（2）由（1）知，
，得，当且仅当时等号成立，
面积，
面积的最大值为.
18．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
【答案】（Ⅰ）an=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）2n﹣1 2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
【详解】试题分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式
（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a3=a2+4，a1=2
∴2×q2="2×q+4" 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q="2"
∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n
（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．
19．命题 .
(1)若 为真命题， 求实数 的取值范围；
(2)若 为真命题， 为假命题， 求实数 的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）分和两种情况讨论即可；
（2）由题先求出为真时的取值范围，然后分真假或假真两种情况，分别解出即可.
【详解】（1）因为为真命题，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
综上所述，；
（2）若为真，
当时，，，
设，则在上单调递增，
所以，
所以，即，
因为为真命题，且为假命题，
所以真假或假真，
当真假时，有，解得；
当假真时，有，解得；
综上所述，或.
20．某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 )，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:
(1)求成绩落在）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(3)按分层抽样从成绩在，[80，90)两个分数段的学生中选出11 人，再从这11 人中选2 人参加培训，求选出的2人在同一分数段的概率.
【答案】(1)0.3，补图见详解
(2)0.75；71
(3)
【分析】（1）利用频率和为1计算得到答案，在频率分布直方图中高为频率除以组距，补齐即可.
（2）直接根据频率分布直方图数据计算求解，把每一组的组中值乘以面积相加即可得到平均分.
（3）按分层抽样确定两个分数段人数，列出所有情况，统计满足条件的的种数，计算得到答案.
【详解】（1）由题意，，所以成绩落在）上的频率为0.3，在频率分布直方图中高为0.03，补齐如图
（2）由频率分布直方图中数据知及格率为：，
平均分：.
（3）成绩是70~80分组有人，成绩在80~90分组有人，按分层抽样组抽6人记为，组抽5人记为1，2，3，4，5.
从这11人中抽2人有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共55种选法.
两人来自同一组有有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25种选法.
所以两人来自同一组的概率为.
21．如图①，在梯形ABCD中，四边形ABCE是边长为2的正方形，O是AC与BE的交点将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使得平面PBE⊥平面BCDE，如图②.
(1)求证：OC⊥平面PBE；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直得判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角得正弦值.
【详解】（1）证明：
∵在图①中四边形为正方形，
∴.
有折叠的特性知，在图②中，，
又平面平面，平面平面，
又平面，
∴平面.
（2）由（1）易知，OB，OC，OP两两垂直.
如图，以O为原点，以OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，
则，，，.
∴，，.
设平直PCD的法向量为，
则，即，
令，则，.
∴平面PCD的一个法向量为.
∴.
设直线PB与平面PCD所成角为，
∴.
故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；
（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．
（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，两个条件，即可求得双曲线的方程．
【详解】（1）由题意得
解得
故双曲线的焦点坐标为．
（2）双曲线，可得
设，直线的斜率为：
设直线的方程为
联立直线与双曲线的方程，
消去得：
由直线与双曲线有两个交点，则且，即
可得，则
，
，可得：
将代入上式，可得
得，可得
解得，即的斜率为．
（3）右焦点为，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：
则
由，得
整理得，则
即
则
整理得
因为的斜率，所以，整理得
则，，
所以，
由，得，即
又
则，解得
所以，经检验
所以双曲线的方程为．