四川省达州市万源名校2022-2023学年高二下学期入学考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省达州市万源中学高二下学期入学考试数学（理）试题
一、单选题
1．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也又非必要条件
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．12 B．36 C．31 D．33
5．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线，若，则（ ）
A． B． C． D．1
8．某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
10．已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1
C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1
12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（ ）
A．线段长度最大值为，无最小值
B．线段长度最小值为，无最大值
C．线段长度最大值为，最小值为
D．线段长度无最大值，无最小值
二、填空题
13．已知，且，则的最大值为___________．
14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为_______ .
15．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.
16．过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若，求面积的最大值.
18．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
19．命题 .
(1)若 为真命题， 求实数 的取值范围；
(2)若 为真命题， 为假命题， 求实数 的取值范围.
20．某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 )，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:
(1)求成绩落在）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(3)按分层抽样从成绩在，[80，90)两个分数段的学生中选出11 人，再从这11 人中选2 人参加培训，求选出的2人在同一分数段的概率.
21．如图，在长方体中，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．
2022-2023学年四川省达州市万源中学高二下学期入学考试数学（理）试题
一、单选题
1．在中，“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也又非必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】在中，，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数诱导公式即可求得的值.
【详解】
故选：C
3．在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据向量的运算的几何表示结合条件即得.
【详解】∵，
∴，又
∴.
故选：B.
4．已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．12 B．36 C．31 D．33
【答案】C
【分析】由等比数列的分段和性质列方程即可解得.
【详解】因为等比数列的前n项和为，且，所以不妨设则.
由分段后性质可知：构成等比数列.
由，即，解得：.
所以.
故选：C
5．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.
【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“，”的否定是“，”.
故选：C
6．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接交于F，由题意可知与平面所成角与与平面所成角相等，由题意可证平面平面，过作于，由面面垂直的性质定理可得是与平面所成角，即与平面所成角为，在中，计算即可.
【详解】解：连接交于F，
设与平面所成角为，因为∥,
所以与平面所成角为，
如图：
因为在长方体中，，，
所以四边形是正方形，是中点，，
，所以，
又，面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
过作于，
因为面面，面面，，面，
所以平面，
所以，即，
所以.
故选：A.
7．已知直线，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由两直线垂直，斜率的关系列方程直接解得.
【详解】因为所以的斜率为.
因为，所以的斜率必存在，且，所以.
所以，解得：.
故选：B
8．某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.
【详解】15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，
他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为.
故选：B
9．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）
A．14 B．20 C．30 D．55
【答案】C
【分析】根据程序框图分析即可.
【详解】开始：，
，
不成立，循环，
，
不成立，循环，
，
不成立，循环，
，
成立，终止程序，
输出，
故选：C.
10．已知集合，若“”是“”的充分非必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据不等式的解法求集合，根据题意可得A是B的真子集，结合真子集关系分析求解.
【详解】由题意可得：，或，
若“”是“”的充分非必要条件，则A是B的真子集，
所以.
故选：A.
11．设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ）
A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1
C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1
【答案】B
【分析】由题设明确点到原点距离为，结合曲线方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.
【详解】由题意知点到原点距离为 ，
由于点是曲线上任意一点，可得，
当且仅当时取等号，即曲线上的点到原点距离最小，最小值为1；
又因为,所以，
当且仅当时取等号，
故，即，当且仅当时取等号，
即点到原点距离的最大值为，
故选：B
12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若∥平面，下列说法正确的是（ ）
A．线段长度最大值为，无最小值
B．线段长度最小值为，无最大值
C．线段长度最大值为，最小值为
D．线段长度无最大值，无最小值
【答案】C
【分析】分别取的中点,根据面面平行的判定定理可得平面平面，故点的轨迹为线段.当与点或重合时，线段长度最大，当为线段的中点时，线段长度最小，求解即可.
【详解】分别取的中点,
因为，平面，平面，
所以平面,同理可得平面.
因为平面,所以平面平面.
因为P是底面上一点．且∥平面，
所以点的轨迹为线段.
因为正方体的棱长为2，所以,,
当与点或重合时，；
当为线段的中点时，.
所以线段长度最大值为，最小值为.
故选:C.
二、填空题
13．已知，且，则的最大值为___________．
【答案】2
【分析】利用基本不等式得到，从而得到.
【详解】因为，且，所以，
即，当且仅当时等号成立，
所以．
故答案为：2
14．若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为_______ .
【答案】2
【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，算出a与c的关系即可.
【详解】对于双曲线 ，其渐近线方程为 ，
对于圆 ，有 ，圆心为 ，半径 ，
渐近线被圆截得的弦长为2，所以圆心到渐近线的距离为 ，
由点到直线距离公式得： ；
故答案为：2.
15．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.
【答案】
【分析】设抛物线方程为，求出双曲线的焦点，即抛物线的焦点，从而可得出答案.
【详解】解：由已知可知双曲线的焦点为，
设抛物线方程为，则，
所以，
所以抛物线方程为.
故答案为：
16．过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的方程,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得,即可求得的取值范围.
【详解】因为双曲线方程为
则
设,
因为点恰为线段的中点
则
则,两式相减并化简可得
即直线的斜率为2
所以直线的方程为
,化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点
所以
解得且
所以的取值范围为
故答案为:
【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系,中点弦问题,根据交点情况求参数的取值范围,属于中档题.
三、解答题
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理，可得，从而得解；
（2）结合（1）中结论，推出，再由得解．
【详解】（1）因为，
由正弦定理角化边得，即
，又
（2）由（1）知，
，得，当且仅当时等号成立，
面积，
面积的最大值为.
18．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式；
（2）用错位相减法求数列的和．
【详解】（1）解：设的公差为，的公比为，，，
联立，整理可得，解得，
所以，.
（2）解：由（1）知，
则，①
，②
①-②，得
.
所以.
19．命题 .
(1)若 为真命题， 求实数 的取值范围；
(2)若 为真命题， 为假命题， 求实数 的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）分和两种情况讨论即可；
（2）由题先求出为真时的取值范围，然后分真假或假真两种情况，分别解出即可.
【详解】（1）因为为真命题，
当时，恒成立，符合题意；
当时，，解得，
综上所述，；
（2）若为真，
当时，，，
设，则在上单调递增，
所以，
所以，即，
因为为真命题，且为假命题，
所以真假或假真，
当真假时，有，解得；
当假真时，有，解得；
综上所述，或.
20．某校从参加考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六组 )，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题:
(1)求成绩落在）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
(3)按分层抽样从成绩在，[80，90)两个分数段的学生中选出11 人，再从这11 人中选2 人参加培训，求选出的2人在同一分数段的概率.
【答案】(1)0.3，补图见详解
(2)0.75；71
(3)
【分析】（1）利用频率和为1计算得到答案，在频率分布直方图中高为频率除以组距，补齐即可.
（2）直接根据频率分布直方图数据计算求解，把每一组的组中值乘以面积相加即可得到平均分.
（3）按分层抽样确定两个分数段人数，列出所有情况，统计满足条件的的种数，计算得到答案.
【详解】（1）由题意，，所以成绩落在）上的频率为0.3，在频率分布直方图中高为0.03，补齐如图
（2）由频率分布直方图中数据知及格率为：，
平均分：.
（3）成绩是70~80分组有人，成绩在80~90分组有人，按分层抽样组抽6人记为，组抽5人记为1，2，3，4，5.
从这11人中抽2人有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共55种选法.
两人来自同一组有有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共25种选法.
所以两人来自同一组的概率为.
21．如图，在长方体中，，，为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据侧平面得出，再利用勾股定理即可证明，从而证明平面.
（2）以点为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可解决.
【详解】（1）证明：因为是长方体，所以侧平面，
而平面，所以，
在中，，
所以，所以，
又，平面，因此平面．
（2）如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设是平面的法向量，
则，
设是平面的法向量，
则，
所以，因为二面角为钝角，所以二面角的大小为．
22．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．
(1)若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；
(2)设，，若的斜率存在，且，求的斜率；
(3)设的斜率为，，求双曲线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由离心率公式和的关系，即可得到结果；
（2）求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率．
（3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理，结合由题意得出的，两个条件，即可求得双曲线的方程．
【详解】（1）由题意得
解得
故双曲线的焦点坐标为．
（2）双曲线，可得
设，直线的斜率为：
设直线的方程为
联立直线与双曲线的方程，
消去得：
由直线与双曲线有两个交点，则且，即
可得，则
，
，可得：
将代入上式，可得
得，可得
解得，即的斜率为．
（3）右焦点为，设直线的方程为，
联立直线与双曲线的方程，
消去得：
则
由，得
整理得，则
即
则
整理得
因为的斜率，所以，整理得
则，，
所以，
由，得，即
又
则，解得
所以，经检验
所以双曲线的方程为．