2022—2023学年北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元自测题（含解析）

北师大版九年级数学下册第二章 二次函数 单元自测题
一、单选题
1．抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为(　　)
A．直线x=3 B．直线x=-3 C．直线x=2 D．直线x=7
2．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（3，﹣8）和（5，﹣8），抛物线的对称轴是（　　）
A．x＝4 B．x＝3 C．x＝﹣5 D．x＝﹣1
3．关于抛物线，下列说法正确的是(　　)
A．对称轴是直线，有最小值是3
B．对称轴是直线，有最大值是3
C．对称轴是直线，有最大值是3
D．对称轴是直线，有最小值是3
4．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．将直线向下平移一个单位，则平移后的直线表达式为（　　）
A． B． C． D．
6．已知二次函数表达式为，则下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线 B．最大值是-1
C．顶点坐标为 D．图象开口向上
7．抛物线可由抛物线平移得到，平移方法可以是（　　）
A．先向左平移3个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移6个单位，再向上平移5个单位
C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
D．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
8．已知二次函数，设自变量的值分别为，，，且，则对应的函数值，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示：
x … -1 0 1 3 …
y … -2 3 6 6 …
当时，y的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．下列对于二次函数图象描述中，正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．图象有最低点
D．在对称轴右侧的图象从左往右呈上升趋势
二、填空题
11．函数是二次函数，则　 　.
12．抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴是　 　．
13．已知抛物线，若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，则实数的最小值为　 　.
14．已知二次函数y＝x2﹣（2m﹣3）x﹣m，当﹣1＜m＜2时，该函数图象顶点纵坐标y的取值范围是　 　.
三、计算题
15．已知抛物线的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求此抛物线对应的函数解析式。
16．已知函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，试确定k的值。
17．已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
18．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．
四、解答题
19．如图，一拱形桥呈抛物线状，桥的最大高度为，跨度为，则离中心M点处的地方，桥的高度是多少？
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，是等腰直角三角形，，，，抛物线过点C．求抛物线的表达式．
五、综合题
21．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为y（元）.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量为　 　和月销售利润为　 　．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式：
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
23．某公司电商平台.在2021年国庆期间举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数.已知，当x＝50时，y＝200；当x＝80时，y＝140.
（1）求y与x的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价为30（元/件）.
①当售价x为多少元时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
②因原料涨价，该商品进价提高了a（元/件）（a＞0），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过75（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量y与售价x仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是6000元，求a的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解： 抛物线y=2(x-3)2+7的对称轴为直线x=3.
故答案为：A.
【分析】由抛物线的顶点式y=a(x-h)2+k中其对称轴直线是x=h可直接得出答案.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵（3，﹣8）和（5，﹣8）关于对称轴对称，
∴对称轴x＝ ＝4.
故答案为：A.
【分析】由题意可得（3，-8）和（5，-8）关于对称轴对称，求出中点坐标即可得到对称轴.
3．【答案】D
【解析】【解答】解：∵抛物线 的对称轴直线是x=-2，二次项系数a=＞0，
∴图象开口向上，
∴当x=-2时，有最小值3.
故答案为：D.
【分析】此题给出的是抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，故对称轴直线是x=h，由于二次项系数大于0可得抛物线的开口向上，故函数有最小值k.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵函数是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为
故答案为：D.
【分析】抛物线的顶点式为y=a(x-h)2+k（a≠0），顶点坐标为（h，k）.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：向下平移一个单位后的表达式： .
故答案为：B.
【分析】根据”上加下减”可得答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由可知，图象开口向下，对称轴为直线，最大值是，顶点坐标为，
ABCD中只有B正确.
故答案为：B.
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k），最大值为y=k，据此判断.
7．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
，
根据上加下减常数项，左加右减自变量可知，
故抛物线 可由抛物线 ，先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的，
故答案为：C.
【分析】首先将抛物线解析式化为顶点式，然后由“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为 ，且抛物线的开口向下，
∵ ，
则 ， ， 在对称轴的右侧，此时函数图象递减，
故
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为直线x=-3，则当x>-3时，y随x的增大而减小，据此进行比较.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：将点 ， ， 代入 得
，解得 ，
，
该函数图象开口向下，对称轴为直线 ，函数有最大值7，
和 时的函数值相等，
则 时， 的取值范围是： ，
故答案为：B.
【分析】将（-1，-2）、（0，3）、（1，6）代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，得到二次函数的解析式，由解析式可得函数图象开口向下，对称轴为直线x=2，有最大值7，根据对称性可得x=0和x=4时的函数值相等，据此不难求出y的范围.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：A.∵，
∴抛物线开口向下，故答案为：错误，不符合题意；
B. 抛物线的对称轴是y轴，故答案为：正确，符合题意；
C. ∵，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线图象有最高点；
故答案为：错误，不符合题意；
D. ∵开口向下，抛物线的对称轴是y轴，
∴当时，y随着x的增大而减小，
即在对称轴右侧的图象从左往右呈下降趋势，
故答案为：错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的解析式可得a=-1<0，图象开口向下，有最大值，据此判断A、C；根据顶点式可得对称轴，据此判断B；根据开口方向以及对称轴可得增减性，据此判断D.
11．【答案】1
【解析】【解答】解：函数是二次函数，
，
解得：，
故答案为：1.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），则2m=2，求解可得m的值.
12．【答案】x＝-1
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x-1，
∴对称轴为x＝＝＝-1.
故答案为：x＝-1．
【分析】由对称轴公式x＝，代入系数值计算，即可求得对称轴．
13．【答案】-9
【解析】【解答】解：抛物线在 轴下方，
且 ，即 ，解得 ，
符合条件的整数 有三个，
，解得 ，
的最小值为-9，
故答案为：-9.
【分析】由题意可得a<0且△<0，联立求出a的范围，结合符合条件的整数a有三个可得关于c的不等式组，求出c的范围，进而可得c的最小值.
14．【答案】 ＜y≤﹣
【解析】【解答】解：抛物线的顶点纵坐标为y＝ ＝﹣（m﹣1）2﹣ ，
∵﹣1＜m＜2，
∴m＝1时，顶点y的最大值为﹣ ，
m＝﹣1时，得到y的最小值为﹣ ，
∴﹣ ＜y≤﹣ ，
故答案为﹣ ＜y≤﹣ .
【分析】根据顶点坐标公式可得顶点的纵坐标为y=-(m-1)2-，然后根据二次函数的性质可得y的范围.
15．【答案】解：设抛物线对应的函数解析式是y=a(x-2)2+3，
把(3，1)代入得ax(3-2)2+3=1，解得a=-2，
所以抛物线解析式为y=-2(x-2)2+3
【解析】【分析】 根据抛物线的顶点为(2，3)，可设抛物线的解析式是y=a(x-2)2+3，利用待定系数法求二次函数的解析式，把点 (3，1)代入抛物线的解析式，求出a的值，即可求解.
16．【答案】解：∵函数y=2x2-(3-k)x+k2-3k-10的图象经过原点，
∴k2-3k-10=0，解得k1=-2，k2=5．
【解析】【分析】由抛物线过原点可得常数项为0据此列出方程，解之即可。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11, 即m的值是11．
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．【答案】解：（1.）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．
y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，
则D的坐标是（2，﹣9）．
在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，
则C的坐标是（0，﹣5），
令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
则B的坐标是（5，0）；
（2.）过D作DA⊥y轴于点A．
则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC= （2+5）×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15．
【解析】【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．
19．【答案】解：以AB所在的直线为x轴，CM所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如下图：
则点，．
设抛物线表达式为，
由题意可知，将代入
∴
∴
∴，
∴当时，．
答：离中心M点处的地方，高度为15米．
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，设抛物线表达式为，将点B的坐标代入解析式求出，再将x=5代入计算即可。
20．【答案】解：过点C作轴于点D，则，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴， 又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴点C的坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得，
∴抛物线的表达式为．
【解析】【分析】过点C作轴于点D，则，先证明求出，，再求出点C的坐标，最后将点C的坐标代入求出b的值即可。
21．【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴当时，y有最大值200.
故当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元.
【解析】【分析】（1）由题意可得每千克的利润为(x-20)元，根据每千克的利润×销售量=总利润可得y与x的关系式；
（2）根据（1）的关系式结合二次函数的性质进行解答.
22．【答案】（1）450kg；6750元
（2）解：设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，由于单位利润为（x 40）元，销售量为[500 10（x 50）]千克，
则
整理得 ；
（3）解：∵月销售成本不超过10000元，
∴ ，
解得 ，
由月销售利润达到8000元得 ，
化简得
解得x1=60（舍），x2=80，
答：销售单价为80元．
【解析】【解答】解：（1） 当销售单价定为每千克55元时，销售量为：500 5×10＝450（kg）；
销售利润：450×（55 40）＝450×15＝6750（元）；
故答案为：450kg，6750元；
【分析】（1）用定价为50元时，一个月的销售数量减去因为定价上涨而减少的销售数量可计算出 当销售单价定为每千克55元时的月销售数量；用月销售数量×每千克水产品的利润可算出月销售总利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，由于单位利润为每千克（x 40）元，销售量为[500 10（x 50）]千克，根据利润＝销售量×单位利润，表示出y关于x的函数关系式；
（3）销售成本不超过10000元，列出不等式，求解可得x的取值范围，进而根据（2）所得函数关系式，由利润是8000代入计算，并结合x的取值范围检验，可得销售单价.
23．【答案】（1）解：设y＝kx+b，由题意有：
，
解得 ，
所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+300；
（2）解：①由（1）W＝（﹣2x+300）（x﹣30）＝﹣2x2+360x﹣9000＝﹣2（x﹣90）2+7200，
所以售价x＝90时，周销售利润W最大，最大利润为7200；
②由题意W＝﹣2（x﹣150）（x﹣30﹣a）（x≤75），
其对称轴x＝90+ ＞90，
∴0＜x≤75时，W的值随x增大而增大，
∴只有x＝75时周销售利润最大，
∴6000＝﹣2（75﹣150）（75﹣30﹣a），
∴a＝5.
【解析】【分析】（1）设y＝kx+b，将x＝50，y＝200；x＝80，y＝140代入求出k、b的值，据此可得y与x的函数表达式；
（2）①由题意可得每件的利润为(x-30)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答；
②由题意可得每件的利润为(x-30-a)元，根据每件的利润×销售量=总利润可得W与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.