韦达定理
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文档简介
韦达定理的巩固和应用（一）
教学目标：
1．使学生更深刻的体会根与系数的关系的意义；
2．灵活运用一元一次方程的判别式和根与系数的关系，探索它的几点应用.
教学重点难点：一元一次方程判别式和根与系数的关系的应用.
教学过程：
一、复习引入
上节课我们研究学习了一元二次方程的根与系数的关系:
1．韦达定理：如果的两个根是、，那么，.
也就是说，在一元二次方程有实数根存在的前提下，两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两个根的积，等于常数项除以二次项系数所得的商.
2．韦达定理的逆命题：如果、满足 ， ，
那么、一定是方程的两个根
3．重要推论：
推论1：如果方程的两个根是、，那么 ，.
推论2： 以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
二、韦达定理在解题中的应用
韦达定理阐明了根与系数的关系的内在联系，对研究根的有关性质有重要作用.灵活运用根与系数的关系，可以更加深入地探索一元二次方程的性质.上节课我们已经学习了几种应用：
（一）不解方程，利用韦达定理检验两个数是不是一元二次方程的两个根
例1．不解方程，检验下列方程的解是否正确
（1）
（2）
解略（2）中两个解不都是方程的根
分析：不符合“韦达定理”的两个数，可以判定它们不都是属于原一元二次方程的根，但有时可能其中一个是原方程的根，欲进一步验证，就需代入原方程检验或解原方程求出根进行比较.
（二）已知方程的一个根，求另一个根及未知系数
例2．已知方程的一个根是3，求另一个根及m的值.
分析：这类问题可以用根的定义，将代入原方程.求出m的值，再求另一个根；也可以用韦达定理求解.
例3．求方程两个根的和与积分别是多少？
答：当p＝2时，和为4，积为4；当p≠2时，原方程无解.
分析：在利用根与系数的关系，必须在方程有实数根的前提下进行，即△≥0，另外还要保证二次项系数a≠0.
（三）不解方程，求已知一元二次方程两根的对称式的值
例4．在例3中，若p＝2，求（1）；（2）；（3）；（4）
分析：以上为常见的根据韦达定理可快速求得的代数式的值，处理的办法是将这些代数式变形成含有和形式的代数式.
例5．如果、是方程的两个根，不解方程，求的值.（±）
（四）已知方程的两根，求作这个一元二次方程
例6．已知一个一元二次方程的两个根为－7和，求这个方程.
解：设所求的方程为，由根与系数的关系可知
，
∴，
∴所求的作的方程为，即
分析：构造一元二次方程，如果知道问题中的两个数之和与积，就可以利用根与系数的关系构造出以这两个数为根的一元二次方程.
例7．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数.
注意：书写时所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别.
（五）已知方程的两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.
例8．已知关于的方程有两个不相等的实数根、
（1）求的取值范围；（2）是否存在实数，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）根据题意，得 解得
∴当时，方程有两个不相等得实数根.
（2）不存在，如果方程得两个实数根、互为相反数，则 解得，∵不满足 ∴不存在实数，使方程得两实数根互为相反数.
分析：在应用一元二次方程得根的判别式和一元二次方程根与系数的关系解题时，要注意这些定理都是关于的一元二次方程的，如果题目中含有字母系数，那么字母系数的取值范围应使二次项系数不为零.在初中阶段，是在有实根的情况下讨论一元二次方程的根和系数的关系的，因此，要考虑到判别式大于或等于零的问题.
例9．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于6，求的值.（）
（六）讨论方程根的性质
例10．当取何值时，方程（1）有一根为零；（2）有两个互为相反数的实数根；（3）两根互为倒数？
解：（1）若使方程有一根为零，只需. 即，解得
∴当时，方程有一个根为零
（2）若使方程有两个互为相反数的实根，需要满足
由②得 解得
∵当时，，符合题意.
∴当时，方程由两个互为相反数的实数根.
（3）若使方程两个根互为倒数，则需且.
∴.解得.
当时，
当时，，不合题意，舍去.
∴当时，方程的两个实数根互为倒数.
分析：对于含字母系数的一元二次方程，使用韦达定理时，切勿漏掉这个前提条件.
（七）证明方程系数之间的特殊关系
例11．已知关于的二次方程的二根之比为2：3，求证：
分析：已知方程的两根之比为2：3，一般不设两根为、，再列出关系式.而是采用本题中的设法即设这两个根为（）.这是最简、最常用的表示方法.
三、巩固小结.
四、补充练习
1.若m、n是方程x2+2x－2002=0的两个实数根，求代数式m2+3m+n的值.
2.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值
3.已知关于x的方程x2－mx+2m=0的两个实数根的平方和比这两根的积大7,求出m的值.
4.已知关于x的方程x2－2（m－2）x+m2=0.
问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
5. 已知关于x的方程x2+2x－2m+1=0的一正一负的两个实数根，求出m的取值范围。
6.三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长的
①
②
教学目标：
1．使学生更深刻的体会根与系数的关系的意义；
2．灵活运用一元一次方程的判别式和根与系数的关系，探索它的几点应用.
教学重点难点：一元一次方程判别式和根与系数的关系的应用.
教学过程：
一、复习引入
上节课我们研究学习了一元二次方程的根与系数的关系:
1．韦达定理：如果的两个根是、，那么，.
也就是说，在一元二次方程有实数根存在的前提下，两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两个根的积，等于常数项除以二次项系数所得的商.
2．韦达定理的逆命题：如果、满足 ， ，
那么、一定是方程的两个根
3．重要推论：
推论1：如果方程的两个根是、，那么 ，.
推论2： 以两个数、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
二、韦达定理在解题中的应用
韦达定理阐明了根与系数的关系的内在联系，对研究根的有关性质有重要作用.灵活运用根与系数的关系，可以更加深入地探索一元二次方程的性质.上节课我们已经学习了几种应用：
（一）不解方程，利用韦达定理检验两个数是不是一元二次方程的两个根
例1．不解方程，检验下列方程的解是否正确
（1）
（2）
解略（2）中两个解不都是方程的根
分析：不符合“韦达定理”的两个数，可以判定它们不都是属于原一元二次方程的根，但有时可能其中一个是原方程的根，欲进一步验证，就需代入原方程检验或解原方程求出根进行比较.
（二）已知方程的一个根，求另一个根及未知系数
例2．已知方程的一个根是3，求另一个根及m的值.
分析：这类问题可以用根的定义，将代入原方程.求出m的值，再求另一个根；也可以用韦达定理求解.
例3．求方程两个根的和与积分别是多少？
答：当p＝2时，和为4，积为4；当p≠2时，原方程无解.
分析：在利用根与系数的关系，必须在方程有实数根的前提下进行，即△≥0，另外还要保证二次项系数a≠0.
（三）不解方程，求已知一元二次方程两根的对称式的值
例4．在例3中，若p＝2，求（1）；（2）；（3）；（4）
分析：以上为常见的根据韦达定理可快速求得的代数式的值，处理的办法是将这些代数式变形成含有和形式的代数式.
例5．如果、是方程的两个根，不解方程，求的值.（±）
（四）已知方程的两根，求作这个一元二次方程
例6．已知一个一元二次方程的两个根为－7和，求这个方程.
解：设所求的方程为，由根与系数的关系可知
，
∴，
∴所求的作的方程为，即
分析：构造一元二次方程，如果知道问题中的两个数之和与积，就可以利用根与系数的关系构造出以这两个数为根的一元二次方程.
例7．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程各根的负倒数.
注意：书写时所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别.
（五）已知方程的两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.
例8．已知关于的方程有两个不相等的实数根、
（1）求的取值范围；（2）是否存在实数，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
解：（1）根据题意，得 解得
∴当时，方程有两个不相等得实数根.
（2）不存在，如果方程得两个实数根、互为相反数，则 解得，∵不满足 ∴不存在实数，使方程得两实数根互为相反数.
分析：在应用一元二次方程得根的判别式和一元二次方程根与系数的关系解题时，要注意这些定理都是关于的一元二次方程的，如果题目中含有字母系数，那么字母系数的取值范围应使二次项系数不为零.在初中阶段，是在有实根的情况下讨论一元二次方程的根和系数的关系的，因此，要考虑到判别式大于或等于零的问题.
例9．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于6，求的值.（）
（六）讨论方程根的性质
例10．当取何值时，方程（1）有一根为零；（2）有两个互为相反数的实数根；（3）两根互为倒数？
解：（1）若使方程有一根为零，只需. 即，解得
∴当时，方程有一个根为零
（2）若使方程有两个互为相反数的实根，需要满足
由②得 解得
∵当时，，符合题意.
∴当时，方程由两个互为相反数的实数根.
（3）若使方程两个根互为倒数，则需且.
∴.解得.
当时，
当时，，不合题意，舍去.
∴当时，方程的两个实数根互为倒数.
分析：对于含字母系数的一元二次方程，使用韦达定理时，切勿漏掉这个前提条件.
（七）证明方程系数之间的特殊关系
例11．已知关于的二次方程的二根之比为2：3，求证：
分析：已知方程的两根之比为2：3，一般不设两根为、，再列出关系式.而是采用本题中的设法即设这两个根为（）.这是最简、最常用的表示方法.
三、巩固小结.
四、补充练习
1.若m、n是方程x2+2x－2002=0的两个实数根，求代数式m2+3m+n的值.
2.设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值
3.已知关于x的方程x2－mx+2m=0的两个实数根的平方和比这两根的积大7,求出m的值.
4.已知关于x的方程x2－2（m－2）x+m2=0.
问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
5. 已知关于x的方程x2+2x－2m+1=0的一正一负的两个实数根，求出m的取值范围。
6.三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两个，等腰三角形的另一条边c=4,求这个等腰三角形的周长的
①
②