中考试题中的面积问题（无答案）
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文档简介
中考中的面积和面积问题
一、面积的有关知识
1．面积公理：全等形的面积相等；
一个图形的面积等它各部分面积之和；
面积公式：矩形面积S=长宽 三角形面积
平行四边形面积S=底高 梯形面积=
二、证明面积问题常用的理论依据
1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6、三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的
7、三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
三、证明面积问题常用的证题思路和方法
1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
四、怎样证明面积问题
（一）、 分解法
例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。
2、求证：平行四边形边上任意一点和对边组成的三角形面积等于原平行四边形面积的一半。
（二）、 作平行线法
1、 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点
五、用面积法解几何问题
有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：
性质1：等底等高的三角形面积相等
性质2：同底等高的三角形面积相等
性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半
性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比
性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比
1. 证线段之积相等
设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝
BE·AC＝CF·AB
2. 证等积问题
过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F，求证：
S△ABF＝S△ADE
3. 证线段之和
已知△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥AC，BH⊥AC，求证：PE+PF＝BH
4. 证角平分线
在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E，使AE＝CF，连AE、CF交于P，求证：BP平分∠APC。
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陕西历年中考题中出现的面积问题：
1、 如图，把ABC的各边按顺时针方向延长一倍，
得DEF，求证：SDEF=7SABC
2、如图，在是两条中线，则
3、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD
平分AC.若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面
积为 （结果保留根号）
4、如图，在梯形中，，
延长到点，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
5、如图，的半径均为．
（1）请在图①中画出弦，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在中，，且与交于点，夹角为锐角．求四边形面积（用含的式子表示）；
（3）若线段是的两条弦，且，你认为在以点为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
]
6、问题探究
（1）请在图①的正方形内，画出使的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．
问题解决
（3）如图③，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）．
7、 问题探究
(1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.
问题解决
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由
8、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 等腰 三角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
9、如图，正三角形的边长为．
（1）如图①，正方形的顶点在边上，顶点在边上．在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形的边长；
（3）如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
10、问题探究
请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB= ( http: / / www. / )，CD= ( http: / / www. / )，且 ( http: / / www. / )＞ ( http: / / www. / )，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.
平时习题中遇到的：
（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是
（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过 画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．
（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．
（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．
E
D
C
B
A
（第19题图）
O
O
O
A
E
C
B
O
（第25题图①）
（第25题图②）
（第25题图③）
（第25题图④）
D
D
C
B
A
①
D
C
B
A
③
D
C
B
A
②
（第25题图）
①
③
②
一、面积的有关知识
1．面积公理：全等形的面积相等；
一个图形的面积等它各部分面积之和；
面积公式：矩形面积S=长宽 三角形面积
平行四边形面积S=底高 梯形面积=
二、证明面积问题常用的理论依据
1. 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。
2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。
3. 平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。
4. 同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。
同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。
5. 三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。
6、三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的
7、三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的
8. 有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。
三、证明面积问题常用的证题思路和方法
1. 分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。
2. 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。
3. 利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。
4. 还可以利用面积解决其它问题。
四、怎样证明面积问题
（一）、 分解法
例1. 从△ABC的各顶点作三条平行线AD、BE、CF，各与对边或延长线交于D、E、F，求证：△DEF的面积＝2△ABC的面积。
2、求证：平行四边形边上任意一点和对边组成的三角形面积等于原平行四边形面积的一半。
（二）、 作平行线法
1、 已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M为腰BC上的中点
五、用面积法解几何问题
有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质：
性质1：等底等高的三角形面积相等
性质2：同底等高的三角形面积相等
性质3：三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半
性质4：等高的两个三角形的面积比等于底之比
性质5：等底的两个三角形的面积比等于高之比
1. 证线段之积相等
设AD、BE和CF是△ABC的三条高，求证：AD·BC＝
BE·AC＝CF·AB
2. 证等积问题
过平行四边形ABCD的顶点A引直线，和BC、DC或其延长线分别交于E、F，求证：
S△ABF＝S△ADE
3. 证线段之和
已知△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥AC，BH⊥AC，求证：PE+PF＝BH
4. 证角平分线
在平行四边形ABCD的两边AD、CD上各取一点F、E，使AE＝CF，连AE、CF交于P，求证：BP平分∠APC。
INCLUDEPICTURE "http:///tongbu/chuer/6748/C2sxx748.files/image029.gif" \* MERGEFORMATINET
陕西历年中考题中出现的面积问题：
1、 如图，把ABC的各边按顺时针方向延长一倍，
得DEF，求证：SDEF=7SABC
2、如图，在是两条中线，则
3、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且BD
平分AC.若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面
积为 （结果保留根号）
4、如图，在梯形中，，
延长到点，使，连接．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积．
5、如图，的半径均为．
（1）请在图①中画出弦，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在中，，且与交于点，夹角为锐角．求四边形面积（用含的式子表示）；
（3）若线段是的两条弦，且，你认为在以点为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
]
6、问题探究
（1）请在图①的正方形内，画出使的一个点，并说明理由．
（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由．
问题解决
（3）如图③，现在一块矩形钢板．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且．请你在图③中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）．
7、 问题探究
(1)请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；
（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.
问题解决
(3)如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由
8、如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”
（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个 等腰 三角形
（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？
9、如图，正三角形的边长为．
（1）如图①，正方形的顶点在边上，顶点在边上．在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形的边长；
（3）如图②，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．
10、问题探究
请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.
问题解决
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB= ( http: / / www. / )，CD= ( http: / / www. / )，且 ( http: / / www. / )＞ ( http: / / www. / )，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.
平时习题中遇到的：
（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是
（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A′ABC的方法很多，一般地过 画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．
（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．
（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．①请你画出相应的图形．②说明方案设计的理由．
E
D
C
B
A
（第19题图）
O
O
O
A
E
C
B
O
（第25题图①）
（第25题图②）
（第25题图③）
（第25题图④）
D
D
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A
①
D
C
B
A
③
D
C
B
A
②
（第25题图）
①
③
②
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