专题04 追及与相遇问题 学案（有解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 追及与相遇问题
【核心方法】
1．分析技巧：可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动．
4. 解题方法：①分析法　②图象法　③数学法
【经典例题】
【例1】一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以v＝6 m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？
【答案】2 s　6 m
【解析】解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at
所以t＝＝2 s
Δx＝vt－at2＝6 m.
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t＝2 s时，Δx有最大值6 m
所以t＝2 s时两车相距最远，为Δx＝6 m.
解法三(图象法)：自行车和汽车的v－t图象如图所示，
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\03\\1-45.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-45.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-45.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-45.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-45.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-45.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\物理 人教 通用\\word\\1-45.TIF" \* MERGEFORMATINET
由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，
所以有t1＝＝ s＝2 s，
Δx＝＝ m＝6 m.
【方法总结】
追及与相遇问题的两种典型情况
假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：
(1)初速度小的匀加速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，二者相距最远.
(2)初速度大的匀减速运动的物体A追匀速运动的物体B，当vA＝vB时，
①若已超越，则相遇两次.
②若恰好追上，则相遇一次.
③若没追上，则无法相遇.
【例2】如图所示，A、B两物体相距x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，那么物体A追上物体B所用的时间为(　　)
A．7 s B．8 s C．9 s D．10 s
【答案】B
【解析】B物体减速到零所需的时间t＝＝ s＝5 s
在5 s内A物体的位移xA＝vAt＝4×5 m＝20 m
B物体的位移xB＝t＝×5 m＝25 m
则在5 s时两物体相距Δx＝xB＋7 m－xA＝(25＋7－20) m＝12 m
则A追上B所需的时间为t′＝t＋＝5 s＋ s＝8 s．
【例3】(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示.已知两车在t＝3 s时并排行驶，则(　　)
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\03\\16W5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\16W5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\16W5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\16W5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\16W5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\16W5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\物理 人教 通用\\word\\16W5.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.在t＝1 s时，甲车在乙车后
B.在t＝0时，甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t＝2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
【答案】BD
【解析】　根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动.t＝3 s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30 m/s，v乙＝25 m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3 s内甲车位移x甲＝×3×30 m＝45 m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25) m＝52.5 m.故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5 m，即甲车在乙车前方7.5 m，选项B正确；0～1 s内，x甲′＝×1×10 m＝5 m，x乙′＝×1×(10＋15) m＝12.5 m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5 m＝Δx1，说明在t＝1 s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45 m－5 m＝40 m，选项D正确.
【例4】(多选)甲、乙两物体沿同一直线同向运动,0时刻开始计时,甲、乙两物体的-t图像如图所示,已知在t=10 s时甲、乙在同一位置。根据图像信息,下列说法正确的是(　　)
A.乙做匀加速直线运动,加速度大小为1 m/s2
B.t=6 s时,甲在前,乙在后,乙正在追赶甲
C.甲、乙在零时刻相距30 m
D.在0～10 s内甲、乙之间的最大距离为49 m
【答案】BD
【解析】:由匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2可得=v0+at,对比乙物体的图线可知a= m/s2=1 m/s2,由相似三角形可知,图线与纵轴的交点坐标为4 m/s,即初速度v0=4 m/s,加速度a=2 m/s2,乙物体做匀加速直线运动,A错误;对比甲物体的图线可知,甲物体做匀速直线运动,速度为v=10 m/s,在t=10 s时甲、乙的位移分别为x甲=vt=100 m,x乙=v0t+at2=140 m,此时到达同一位置,故在0时刻,甲在乙前40 m处,C错误;t=6 s时,由位移公式可得,甲、乙位移均为60 m,故甲在前,乙在后,乙正在追赶甲,B正确;当甲、乙速度相等时,相距最远,此时v0+at′=v,代入数据可得t′=3 s,此时x甲′=vt′=30 m,x乙′=v0t′+at′2=21 m,故此时的距离为Δx=40 m+30 m-21 m=49 m,D正确。
【例5】甲乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v t图像如图所示．两图像在t＝t1时相交于P点，P在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S.在t＝0时刻，乙车在甲车前面，相距为d.已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t′，则下面四组t′和d的组合可能是(　　)
A．t′＝t1，d＝S B．t′＝t1，d＝S
C．t′＝t1，d＝S D．t′＝t1，d＝S
【答案】D
【解析】在t1时刻如果甲车没有追上乙车，以后就不可能追上了，故t′＜t1，从图像中甲、乙与坐标轴围成的面积即对应的位移看：因为要相遇两次，所以第一次相遇不可能在t1时刻，故A项错误；当t′＝t1时，由几何关系可知甲的面积为S，乙的面积为，所以甲的面积比乙的面积多出S，即相距d＝S时正好相遇，故B、C项组合不可能，D项组合可能，故选D项．
【精讲精练】
1.入冬以来，全国多地多次发生雾霾天气，能见度不足100 m。在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的单行道上，乙在前，甲在后同向行驶。某时刻两车司机同时听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，结果两辆车发生了碰撞。如图所示为两辆车刹车后若恰好不相撞的v t图象，由此可知(　　)
A．两辆车刹车时相距的距离一定等于112.5 m
B．两辆车刹车时相距的距离一定小于90 m
C．两辆车一定是在刹车后的20 s之内的某时刻发生相撞的
D．两辆车一定是在刹车后的20 s以后的某时刻发生相撞的
【答案】　C
2.(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\03\\1-52.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\物理 人教 通用\\word\\1-52.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后，乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】BD
3.可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，t＝0时，甲在乙前方16 m处，它们的v－t图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\03\\1-53.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-53.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-53.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-53.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-53.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\1-53.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\物理 人教 通用\\word\\1-53.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.甲、乙在t＝2 s和t＝10 s时刻并排行驶
B.甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶
C.在t＝6 s时刻，乙车在甲车前8 m处
D.在t＝6 s时刻，乙车在甲车前18 m处
【答案】B
4.无线蓝牙耳机摆脱了线材束缚,可以在一定距离内与手机等设备实现无线连接。为了研究在运动过程中无线连接的最远距离,甲和乙两位同学做了一个有趣的实验。乙佩戴无线蓝牙耳机,甲携带手机检测,乙站在甲正前方14 m处,二人同时沿同一直线向正前方运动,各自运动的vt图像如图所示,结果手机检测到蓝牙耳机能被连接的时间为4 s。则最远连接距离为(　　)
A.10.5 m B.11.5 m C.12.5 m D.13.5 m
【答案】B
5.(多选)甲、乙两辆小汽车(都可视为质点)分别处于同一条平直公路的两条平行车道上,开始时(t=0)乙车在前、甲车在后,两车间距为x0。t=0时甲车先启动,t=3 s时乙车后启动,两车都是先做匀加速直线运动,后做匀速直线运动,v-t图像如图所示。根据图像,下列说法正确的是(　　)
A.两车加速过程中甲的加速度比乙大
B.若x0=80 m,则两车间距最小为30 m
C.若两车在t=5 s时相遇,则在t=9 s时再次相遇
D.若两车在t=4 s时相遇,则在t=10 s时再次相遇
【答案】BC
6. a、b两车在平直公路上沿同方向行驶，其v－t图象如图所示，在t＝0时，b车在a车前方x0处，在0～t1时间内，a车的位移为x，下列说法正确的是(　　)
A．若a、b在t1时刻相遇，则x0＝
B．若a、b在时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1
C．若a、b在时刻相遇，则x0＝
D．若a、b在t1时刻相遇，则下次相遇时刻为2t1
【答案】BC
7.甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动，甲车经过乙车旁边开始以1m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间。
【答案】(1)18m　(2)12.5s
8.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内。问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)警车发动后要多长时间才能追上货车？
【答案】(1)75m　(2)12s
9.甲、乙两车在平直公路上比赛，某一时刻，乙车在甲车前方L1＝11m处，乙车速度v乙＝60m/s，甲车速度v甲＝50m/s，此时乙车离终点线尚有L2＝600m，如图所示，若甲车做匀加速运动，加速度a＝2m/s2，乙车速度不变，不计车长。
(1)经过多长时间甲、乙两车间距离最大，最大距离是多少？
(2)到达终点时甲车能否超过乙车？
【答案】(1)5s　36m　(2)到达终点时甲车不能超过乙车
10.汽车甲以v甲=4 m/s的速度向右做匀速直线运动,发现前方相距x0=7 m处,以v乙=10 m/s的速度同向运动的汽车乙正开始匀减速刹车直到静止后保持不动,其刹车的加速度大小a=2 m/s2。从此刻开始计时,求:
(1)甲追上乙前,甲、乙间的最远距离是多少;
(2)经过多长时间甲恰好追上乙。
【答案】(1)16 m　(2)8 s
11.甲车以v1=10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,在某一时刻,停在甲车前方x0=32 m处的乙车以加速度a=2 m/s2开始沿同一方向做匀加速直线运动,在此后的运动中,甲车没有追上乙车。
(1)求两车在运动过程的最小间距xmin;
(2)若甲车可以追上乙车,求甲车匀速运动的最小速度vmin。
【答案】(1)7 m　(2)8 m/s
12.在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度大小为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足什么条件 (可用多种方法)
【答案】v0≤
答案
1.解析：　v t图象给定了两车的初速度和加速度，不确定值是刹车前两车间距离。由两车的v t图象可知，两车不相撞的最小距离Δxmin＝×20 m＝100 m，即当Δx<100 m时两车必相撞，选项A、B均错误；两车相撞一定发生在甲车速度大于乙车速度时，即刹车后的20 s之内，选项C正确，D错误。
2.解析　t1～t2时间内，甲车位移大于乙车位移，且t2时刻两车并排行驶，则t1时刻甲在乙的后面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，C项错误，D项正确.
3.解析　由题图图象可知，甲做初速度为0，加速度为a1＝ m/s2＝2 m/s2的匀加速运动；乙做初速度为v0＝6 m/s，加速度为a2＝ m/s2＝1 m/s2的匀加速运动；两车相遇时满足：v0t＋a2t2＝s0＋a1t2，即6t＋×1×t2＝16＋×2t2，解得t1＝4 s，t2＝8 s，即甲、乙在t＝4 s和t＝8 s时刻并排行驶，选项A错误，B正确.在t＝6 s时，甲的位移：x1＝×2×62 m＝36 m；乙的位移：x2＝6×6 m＋×1×62 m＝54 m，可知此时乙在甲的前面，Δx＝x2－x1－s0＝54 m－36 m－16 m＝2 m，选项C、D错误.
4.解析:由题图可知,t=3 s时,甲、乙速度相同,距离最近,由于耳机与手机正常连通时间为4 s,所以耳机与手机正常连通的时间是从1 s至5 s。当t=1 s 时,由图像可知,甲的速度为5 m/s,在0～1 s内,位移之差为Δx=×1 m=2.5 m,因t=0时刻,乙站在甲正前方14 m处,则t=1 s时甲、乙之间的距离为s=14 m-2.5 m=11.5 m,因此,最远连接距离为11.5 m,故B正确,A、C、D错误。
5.解析:v-t图像中的斜率大小表示加速度的大小,从题图可以看出乙的加速度大于甲的加速度,故A错误;速度相等时两车间距有最小值,从题图可以看出甲运动的位移大小为x1= m=90 m,乙运动的位移大小为x2=×4×20 m=40 m,则甲、乙之间的距离最小为Δx=x2+x0-x1=30 m,故B正确;若两车在t=5 s 时相遇,从题图可以看出5～9 s内甲、乙运动的位移大小相等,所以甲、乙在t=9 s时会再次相遇,故C正确;若两车在t=4 s时相遇,从题图可以看出4～10 s内甲、乙运动的位移大小不相等,则在t=10 s 时不会再次相遇,故D错误。
6.【解析】由图可知a车初速度等于2v0，在0～t1时间内发生的位移为x，则b车的位移为，若a、b在t1时相遇，则x0＝x－＝x，A错误；若a、b在时刻相遇，则图中阴影部分为对应距离x0，即x0＝×x＝，由图象中的对称关系可知下次相遇时刻为t1＋＝t1，C正确，B错误；若a、b在t1时相遇，之后vb>va，两车不可能再次相遇，D错误．
7.[解析]　(1)在乙车追上甲车之前，当两车速度相等时两车间的距离最大，设此时经过的时间为t1，则由v1＝v2＋at1，a＝－1m/s2，
得t1＝6s
此时甲车的位移为x1＝v2t1＋at＝42m
乙车的位移为x2＝v1t1＝24m
所以两车间的最大距离为Δx＝x1－x2＝18m
(2)设甲车停止的时间为t2，则有t2＝＝10s
甲车在这段时间内发生的位移为x＝t2＝50m
乙车在这段时间内的位移为x′＝v1t2＝40m
x′即甲车停止运动时，乙车未追上甲车，故乙车追上甲车用时为t3＝＝12.5s
8.[解析]　(1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等。则：
t1＝＝s＝4s
货车的位移为：s货＝vt′＝10×(5.5＋4)m＝95m
警车的位移为： s警＝at2＝×2.5×42m＝20m
所以两车间的最大距离为：
Δs＝s货－s警＝(95－20)m＝75m
(2)v0＝90km/h＝25m/s
当警车刚达到最大速度时，运动时间为： t2＝＝s＝10s
此过程中货车的位移为：
s货′＝vt＝10×(5.5＋10)m＝155m
此过程中警车的位移为：
s警′＝at2＝×2.5×102m＝125m
因为s货′＞s警′，故此时警车尚未赶上货车
且此时两车距离为：Δs′＝s货′－s警′＝30m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过△t时间追赶上货车，则：Δt＝＝2s
所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s才能追上货车。
9.[解析]　(1)当甲、乙两车速度相等时，两车间距离最大，
即v甲＋at1＝v乙，得t1＝＝s＝5s；
甲车位移x甲＝v甲t1＋at＝275m，
乙车位移x乙＝v乙t1＝60×5m＝300m，
此时两车间距离Δx＝x乙＋L1－x甲＝36m
(2)甲车追上乙车时，位移关系x甲′＝x乙′＋L1
甲车位移x甲′＝v甲t2＋at，乙车位移x乙′＝v乙t2，
将x甲′、x乙′代入位移关系，得v甲t2＋ at＝v乙t2＋L1，
代入数值并整理得t－10t2－11＝0，
解得t2＝－1s(舍去)或t2＝11s，
此时乙车位移x乙′＝v乙t2＝660m，
因x乙′>L2，故乙车已冲过终点线，即到达终点时甲车不能超过乙车。
10.[过程图示] 汽车甲和乙的运动过程如图所示。
解析:(1)当甲、乙两汽车速度相等时,两车间的距离最远,即v=v乙-at=v甲,
解得t=3 s。
此时汽车甲的位移x甲=v甲t=12 m,
汽车乙的位移x乙=v乙t-at2=21 m,
故最远距离Δxmax=x乙+x0-x甲=16 m。
(2)汽车乙从开始减速直到静止经历的时间
t1==5 s,
运动的位移x乙′==25 m。
汽车甲在t1时间内运动的位移
x甲′=v甲t1=20 m,
此时相距Δx=x乙′+x0-x甲′=12 m,
汽车甲需再运动的时间t2==3 s,
故甲追上乙所用时间t总=t1+t2=8 s。
11.解析:(1)由题意可知,当两车速度相等时,它们的间距最小,此过程所用的时间为t1==5 s
此时甲车的位移为x甲=v1t1=50 m
乙车的位移为x乙=a=25 m
则最小间距xmin=x乙+x0-x甲=7 m。
(2)当两车速度相等,甲车刚好追上乙车时,甲车匀速运动的速度最小,此过程所用时间为t2=
t2时间内甲车的位移为x甲′=vmint2
乙车的位移为x乙′=a
则有x乙′+x0=x甲′
解得vmin=8 m/s。
12.解析:法一　分析法　利用位移公式、速度公式求解,对A车有xA=v0t+×(-2a)t2,
vA=v0+(-2a)t
对B车有xB=at2,vB=at
两车的位移关系有x=xA-xB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立以上各式解得v0=
故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
法二　函数法　利用判别式求解,由法一可知
xA=x+xB,即v0t+×(-2a)t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式 Δ=(-2v0)2-4·3a·2x=0时,两车刚好不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
法三　图像法　利用v-t图像求解,先作A、B两车的v-t图像,如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则
对A车有vA=v′=v0-2at
对B车有vB=v′=at
以上两式联立解得t=
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x,它可用图中的阴影面积表示,由图像可知
x=v0t=v0·=
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
答案:v0≤
12.[审题图示] 两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t;B车的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示。
解析:法一　分析法　利用位移公式、速度公式求解,对A车有xA=v0t+×(-2a)t2,
vA=v0+(-2a)t
对B车有xB=at2,vB=at
两车的位移关系有x=xA-xB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立以上各式解得v0=
故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
法二　函数法　利用判别式求解,由法一可知
xA=x+xB,即v0t+×(-2a)t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式 Δ=(-2v0)2-4·3a·2x=0时,两车刚好不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
法三　图像法　利用v-t图像求解,先作A、B两车的v-t图像,如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则
对A车有vA=v′=v0-2at
对B车有vB=v′=at
以上两式联立解得t=
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x,它可用图中的阴影面积表示,由图像可知
x=v0t=v0·=
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
答案:v0≤
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)