专题拓展六：乘法公式的拓展应用（含答案）

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专题拓展六：乘法公式的拓展应用
知识点拨：
乘法公式是初中数学中的重要公式，也是中考常见的考点之一.
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，公式的左边是两个数的和乘这两个数的差，右边正好是这两个数的平方差，两边都有差的运算，关键要准确把握谁减去谁.
完全平方公式:(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)＝a2－2ab＋b2，公式的左边是两个数的和(或差)的平方，右边是这两个数的平方和，再加上(或减去)这两个数积的2倍，两边的符号是一致的，要准确把握符号问题.
在解决问题时，要注意观察式子的特点，选择合适的方法和解题思路，不要拘泥于公式的形式，而要深刻理解，加以灵活运用.
完全平方公式的常见变形有：
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
ab＝
(a＋b)2＋(a－b)2 ＝_______________ .
题型分析
题型一：巧用乘法公式简便计算
1.计算：1002×998－9992 .
题型二：利用乘法公式化简求值
2.先化简，再求值：(2a＋1)(2a－1)－(2a－3)2＋5，其中a＝.
3.先化简，再求值：(2x－y)2－(x－y)(x＋y)，其中｜x＋1｜＋(y－2)2 ＝0 .
4.先化简，再求值：(2m＋n－1)(2m－n＋1)，其中4m2＋2n＝4＋n2 .
题型三：利用乘法公式求代数式的值
5.已知(2a＋b)2 ＝10，(2a－b)2 ＝2，分别求下列代数式的值：
(1)4a2＋b2 ；
(2)4a2－6ab＋b2 ；
(3)16a4＋b4 .
题型四：利用乘法公式解决图形面积问题
6.已知如图①，图②中的白色长方形完全一样，阴影部分的面积分别为35和102，求每个白色长方形的面积.
图① 图②
巩固练习
1.计算(1＋x)2(1－x)2的结果是( )
A.x2－1 B.x2＋2x＋1 C.x4－3x2＋1 D.x4－2x2＋1
2.计算：(2m＋n)(2m－n)－2m2＝______________.
3.计算：(1) (2)(x＋2y－z)(x－2y＋z).
4.如图，小唯家计划用长为140 m的篱笆围一个长方形院子(即长方形ABCD).以AB，AD为边分别向外作正方形ABEF、正方形ADGH，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为2500 m2，求长方形院子ABCD的面积.
5.先化简，再求值：(m＋3n)2－(2m＋n)(2m－n)＋2n(2m－3n)，其中m＝，n＝.
6.已知x＋y＝7，xy＝5，求下列代数式的值：
(1)x2－3xy＋y2；
(2)x4＋y4.
7.(代数推理)若m≠0，Q＝(m2－m＋1)(m2＋m＋1)，P＝(m＋1)2(m－1)2.试说明：Q＞P.
专题拓展六 参考答案
1.解：原式＝(1000＋2)(1000－2)－9992＝10002－4－9992＝(1000＋999)(1000－999)－4
＝1999－4＝1995.
2.解：(2a＋1)(2a－1)－(2a－3)2＋5＝4a2－1－(4a2－12a＋9)＋5＝4a2－1－4a2＋12a－9＋5＝12a－5，
当a＝时，原式＝12×－5＝4－5＝－1.
3.解：(2x－y)2－(x－y)(x＋y)＝4x2－4xy＋y2－x2＋y2＝3x2－4xy＋2y2，
因为｜x＋1｜＋(y－2)2＝0，所以x＝－1，y＝2，
将x＝－1，y＝2代入，得原式＝3＋8＋8＝19.
4.解：原式＝[2m＋(n－1)][2m－(n－1)]＝(2m)2－(n－1)2＝4m2－(n2－2n＋1)＝4m2－n2＋2n－1，
因为4m2＋2n＝4＋n2，所以原式＝4＋n2－n2－1＝3.
5.解：(1)因为(2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2＝10，(2a－b)2＝4a2－4ab＋b2＝2，
所以(2a＋b)2－(2a－b)2＝8ab＝10－2＝8，所以ab＝1，
所以4a2＋b2＝(2a＋b)2－4ab＝6；
(2)由(1)可得4a2＋b2＝6，ab＝1，所以4a2－6ab＋b2＝6－6＝0；
(3)由(1)可得4a2＋b2＝6，ab＝1，
所以16a4＋b4＝(4a2)2＋(b2)2＝(4a2＋b2)－8a2b2＝(4a2＋b2)2－8(ab)2＝36－8＝28.
6.解：设每个白色长方形的长为a，宽为b，
由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋b2＝2ab＋35①，
由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－5ab＝102，即a2＋b2＝51②.
由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，即每个白色长方形的面积为8.
巩固练习 参考答案
1.D
2.2m2－n2
3.解：(1)原式＝(x2-y2)·(x2＋y2)＝x4－y4；
(2)原式＝[x＋(2y－z)][x－(2y－z)]＝x2－(2y－z)2＝x2－(4y2－4yz＋z2)＝x2－4y2＋4yz－z2.
4.解：设AB＝x m，AD＝y m，则2(x＋y)＝140，所以x＋y＝70，
因为x2＋y2＝2500，所以2xy＝(x＋y)2－(x2＋y2)＝702－2500＝2400，
所以xy＝1200，故长方形院子ABCD的面积为1200 m2.
5.解：原式＝m2＋6mn＋9n2－4m2＋n2＋4mn－6n2＝－3m2＋10mn＋4n2，
当m＝，n＝时，原式＝－1
6.解：(1)因为x＋y＝7，xy＝5，所以x2－3xy＋y2＝(x＋y)2－5xy＝72－5×5＝24；
(2)因为x＋y＝7，xy＝5，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝72－2×5＝39，所以x4＋y4＝(x2＋y2)2－2x2y2＝392－2×52＝1471.
7.解：Q＝(m2－m＋1)(m2＋m＋1)＝[(m2＋1)－m][(m2＋1)＋m]＝(m2＋1)2－m2＝m4＋m2＋1，
P＝(m＋1)2(m－1)2＝(m2－1)2＝m4－2m2＋1，
因为m4＋m4＋1－(m4－2m2＋1)＝3m2(m≠0)，所以Q－P＞0，所以Q＞P.
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