6.3.2二项式系数的性质+课件(共34张PPT)-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 6.3.2二项式系数的性质+课件(共34张PPT)-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-10 12:10:38 | ||
图片预览
文档简介
(共34张PPT)
6.3.2二项式系数的性质
人教A版2019必修第三册
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
复习引入
同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：
情境引入：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．
问题 你能利用上述规律写出下一行的数值吗？
提示 根据规律下一行的数值分别是：1 7 21 35 35 21 7 1.
探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
杨辉三角
(1)每行两端的数都是1；
(2)与两端等距离的项的系数相等；
(3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是
下面从函数角度分析二项式系数：
对于确定的n，我们还可以画出它的图象. 例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
n=7
n=8
n=9
1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
2. 增减性与最大值
所以在中间项取得最大值.
问题：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？
∵二项展开式共有n+1项，
∴当n为偶数时，
正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，
中间两项的二项式系数 相等，
且同时取得最大值
f (r)
r
n
O
5
15
20
1
10
3. 各二项式系数的和
思考
即
这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于
分析：奇数项的二项式的系数和为
偶数项的二项式的系数和为
由于
中的
可以取任意实数，因此我们可以通过对 适当赋值来得到上述两个系数和。
例3 求证：在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即
证明：
在展开式
因此
即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
思考：
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
性质2：增减性与最值
当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
性质3：二项式系数之和
课堂小结
课堂练习（课本P34）
解：
证明：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
解：
THANKS
“
”
创新设计习题讲解
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值.
题型二 二项展开式的系数的和问题
解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
(1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1.
(2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，
因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移1 若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|.
解 ∵(1－2x)2 023的展开式中偶数项的系数为负值，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 023|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023.
令x＝－1，得32 023＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023，
故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝32 023.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解 分别令x＝－1，x＝1，
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
题型三 二项式系数性质的应用
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
解 令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展开式中各项的二项式系数之和为2n，
由题意知，4n－2n＝992，
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，
∴n＝5.
由于n＝5为奇数，
∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，
(2)求展开式中系数最大的项.
假设Tk＋1项系数最大，
∴展开式中系数最大的项为
(1)求二项式系数最大的项；
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
解 设第r＋1项系数的绝对值最大，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
解 由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.
创新设计习题讲解
——分层精练
C
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，
令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，
8.若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__________.
7
解析 令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，
令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，
∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
6.3.2二项式系数的性质
人教A版2019必修第三册
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
复习引入
同学们根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1，2，3，4，5，6)的二项式系数．可以写成如下形式：
情境引入：
这个表在我国宋代数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，所不同的只是这里的表是用阿拉伯数字表示，在那本书里用汉字表示的，这个表称为“杨辉三角”．在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡发现的，杨辉三角的发现比欧洲早500年左右，由此可见我国古代在数学方面的成就．
问题 你能利用上述规律写出下一行的数值吗？
提示 根据规律下一行的数值分别是：1 7 21 35 35 21 7 1.
探究 用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
杨辉三角
(1)每行两端的数都是1；
(2)与两端等距离的项的系数相等；
(3)在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和,等等.
对于 展开式的二项式系数
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是
下面从函数角度分析二项式系数：
对于确定的n，我们还可以画出它的图象. 例如，当n=6时，函数 的图象是右图中的7个孤立点．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
n=7
n=8
n=9
1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
2. 增减性与最大值
所以在中间项取得最大值.
问题：当n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？
∵二项展开式共有n+1项，
∴当n为偶数时，
正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，
中间两项的二项式系数 相等，
且同时取得最大值
f (r)
r
n
O
5
15
20
1
10
3. 各二项式系数的和
思考
即
这就是说，(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于
分析：奇数项的二项式的系数和为
偶数项的二项式的系数和为
由于
中的
可以取任意实数，因此我们可以通过对 适当赋值来得到上述两个系数和。
例3 求证：在 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即
证明：
在展开式
因此
即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
思考：
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
性质2：增减性与最值
当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
性质3：二项式系数之和
课堂小结
课堂练习（课本P34）
解：
证明：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
解：
THANKS
“
”
创新设计习题讲解
例2 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R).
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值.
题型二 二项展开式的系数的和问题
解 ∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
(1)令x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此a0＝1.
(2)令x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，
∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1，
因此a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
迁移1 若本例条件不变，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|.
解 ∵(1－2x)2 023的展开式中偶数项的系数为负值，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 023|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023.
令x＝－1，得32 023＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 022－a2 023，
故|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 023|＝32 023.
迁移2 若本例条件不变，试求a1＋a3＋…＋a2 023的值.
解 分别令x＝－1，x＝1，
由②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023).
题型三 二项式系数性质的应用
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
解 令x＝1，则展开式中各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展开式中各项的二项式系数之和为2n，
由题意知，4n－2n＝992，
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，
∴n＝5.
由于n＝5为奇数，
∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，
(2)求展开式中系数最大的项.
假设Tk＋1项系数最大，
∴展开式中系数最大的项为
(1)求二项式系数最大的项；
二项式系数最大的项为中间项，即第5项，
(2)系数的绝对值最大的项是第几项？
解 设第r＋1项系数的绝对值最大，
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
(3)求系数最大的项与系数最小的项.
解 由(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.
创新设计习题讲解
——分层精练
C
解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝1，
令x＝0，得a0－a1＋a2－…＋a6＝64，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝－63，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝65，
8.若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝__________.
7
解析 令x＝－1，得28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，
令x＝－3，得0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，
∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.