5.3.2函数的极值与最大（小）值+（1）+课件(共16张PPT)-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

(共16张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1）
第五章 一元函数的导数及其应
增
减
温故知新
我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.
如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律
问题探究
思考：对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？


概念解析
1.极小值点与极小值
若函数f(x)满足:
(1)在x=a附近其他点的函数值f(x)≥f(a).
(2)f′(a)=0.
(3)在x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.
则a叫做函数y=f(x)的_________,f(a)叫做函数y=f(x)的_______.
极小值点
极小值
2.极大值点与极大值
若函数f(x)满足:
(1)在x=b附近其他点的函数值f(x)≤f(b).
(2)f′(b)=0.
(3)在x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.
则b叫做函数y=f(x)的_________,f(b)叫做函数y=f(x)的_______.
极大值点
极大值
3.极值点、极值的定义
(1)极小值点、极大值点统称为极值点.
(2)极小值、极大值统称为极值.
x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
如图，是函数 的图象,试找出函数 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
思考：
(1)函数的极小值点是点吗
(2)函数的极小值唯一吗
(3)函数的极大值一定大于它的极小值吗
(4)函数区间的端点能为极值点吗
函数的极小值点不是点,它是函数极小值对应的自变量的值.
不一定,有的函数无极小值,有的函数只有一个极小值,有的函数有多个极小值.
不一定.
不能.



典例解析
方法总结：求函数y=f(x)极值的方法
定义域
求导
求零点
列表
求极值
(1)求定义域及f′(x)
(2)求f′(x)＝0在函数定义域内的所有根；
(3)用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干小区间，列表；
(4)由f′(x)在各个小区间内的符号，判断函数的极值情况．
思考：若f′(x0)=0,函数y=f(x)在x=x0处一定取得极值吗
不一定.例如f(x)=x3,x=0时,f′(0)=0,但由于在x=0两侧导数同号,因此
函数f(x)=x3在x=0处不取得极值.
注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件
跟踪训练
2.已知函数 在 处取得极值。
（1）求函数 的解析式
（2）求函数 的单调区间
解：（1）
∵ 在 取得极值， ∴
即 解得
∴
（2） ∵ ， 由 得
∴ 的单调增区间为
由 得
的单调减区间为
1、函数的极值与导数的关系
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
课堂总结

2.求解函数极值的一般步骤：
(1)求函数的定义域；
左正右负极大值;
左负右正极小值.