6.2.2排列数+课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 6.2.2排列数+课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册(共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 710.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-10 12:12:32 | ||
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文档简介
6.2.2 排列数
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
1.排列的定义：
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.
复习引入
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
排列的第一个字母
元素总数
取出元素数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，
可记作：
问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，
可记作：
符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
思考 排列与排列数相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数.
答案 “一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
追问1: 如何求排列数 ？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
第3位
(n-2)种
追问2: 如何求排列数 ？
可以按依次填2个空位得到：
可以按依次填3个空位得到：
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少?
那么排列数 就可以按依次填m个空位得到：
···
?
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 .
全排列数为:
排列数公式：
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
解：
例1 计算：
典例分析
思考 由例1可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
证明：
排列数公式
的阶乘形式
排列数公式
的连乘形式
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
练习1
15
6
练习2
12
排列数公式的两种形式
1.排列数公式的连乘形式：
2.排列数公式的阶乘形式：
归纳公式
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?
解1：
由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为
符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）
由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为
分两步完成：(特殊位置法)
(1) 从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 种方法.
(2) 从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位, 个位，有 种方法.
解2：
(1) 每一位数字都不是0的三位数有 个；
(2) 个位数字是0的三位数有 个；
(3) 十位数字是0的三位数有 个.
解3：（间接法）
例析
l
例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从????个不同元素中取出????(????≤??)个元素的所有排列数的个数”这类特殊的计数问题.
?
解法3：从0—9这10个数字中选取3个的排列数为????103，其中0在百位上的排列数为????92，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为????103?????92=10×9×8?9×8=648.
?
变式1 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?
解：
0
0
变式2 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?
0
(1) 0在个位的有 个；
(2) 0在十位的有 个；
(3) 没有0的有 个.
∴共有
解：
(1) 0在十位的有 个；
(2) 没有0的有 个.
∴共有
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
直接法
间接法
位置分析法
元素分析法
以位置为主，优先考虑特殊位置
以元素为主，优先考虑特殊元素
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数
方法归纳
分步
先分类
后分步
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
解法一: (特殊元素法)
第一类: 不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 种;
第二类: 选甲,先排甲有 种，然后从剩下的4人中选2人排列有 种，则共有 种;
所以共有 种不同的排列方法.
巩固练习
解法二: (特殊位置法)
第一步: 从其余4位同学中找1人站排头, 有 种;
第二步: 剩下的4人(含甲)中找2人排列, 有 种;
所以共有 种不同的排列方法.
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
巩固练习
解法三: (间接法)
所以共有 种不同的排列方法.
先从5人中选3人排列, 有 种
然后计算甲站排头有 种
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：(1)由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有
(2)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有
解：
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
(3) 共有 种排法.
(4) 共有 种排法 ；
(5) 共有 种排法．
(6)可将问题分为两类：
① 甲站在排尾，其余的人可全排列，
② 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，
∴不同的排法共有
解1：
变式 5个人站成一排：
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解2：
甲站排头有 种排法，
乙站排尾有 种排法.
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有 种排法.
∴ 不同的排法有 种排法．
例题 证明：
证明：
小结：
2. 全排列数:
1. 排列数公式：
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
排列数公式的阶乘形式：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
1.排列的定义：
2.排列问题的判断方法：
(1)元素的无重复性
(2)元素的有序性
判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.
复习引入
排列数：
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
排列的第一个字母
元素总数
取出元素数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2个元素的排列为3×2＝6 ，
可记作：
问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为4×3×2＝24 ，
可记作：
符号 中的A是英文arrangement(排列)的第一个字母
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?
问题2. 从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
思考 排列与排列数相同吗？
如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元素的排列数.
答案 “一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
追问1: 如何求排列数 ？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
第1位
第2位
n 种
(n-1)种
第3位
(n-2)种
追问2: 如何求排列数 ？
可以按依次填2个空位得到：
可以按依次填3个空位得到：
探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数 (m≤n)是多少?
那么排列数 就可以按依次填m个空位得到：
···
?
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
全排列数：
1. 全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 .
全排列数为:
排列数公式：
2.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
解：
例1 计算：
典例分析
思考 由例1可以看到， 观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？
证明：
排列数公式
的阶乘形式
排列数公式
的连乘形式
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
练习1
15
6
练习2
12
排列数公式的两种形式
1.排列数公式的连乘形式：
2.排列数公式的阶乘形式：
归纳公式
排列数公式的选择
(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.
(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.
例4 用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?
解1：
由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为
符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）
由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为
分两步完成：(特殊位置法)
(1) 从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 种方法.
(2) 从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位, 个位，有 种方法.
解2：
(1) 每一位数字都不是0的三位数有 个；
(2) 个位数字是0的三位数有 个；
(3) 十位数字是0的三位数有 个.
解3：（间接法）
例析
l
例4.用0—9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
对于例4这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法.解法1根据百位数字不能是0的要求，按分步乘法计数原理完成从10个数中取出3个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法2是以0是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法3是一种间接法，先求出从10个数中取出3个数的排列数，然后减去其中百位是0的排列数(不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数.
从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解“从????个不同元素中取出????(????≤??)个元素的所有排列数的个数”这类特殊的计数问题.
?
解法3：从0—9这10个数字中选取3个的排列数为????103，其中0在百位上的排列数为????92，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为????103?????92=10×9×8?9×8=648.
?
变式1 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?
解：
0
0
变式2 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?
0
(1) 0在个位的有 个；
(2) 0在十位的有 个；
(3) 没有0的有 个.
∴共有
解：
(1) 0在十位的有 个；
(2) 没有0的有 个.
∴共有
带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则
直接法
间接法
位置分析法
元素分析法
以位置为主，优先考虑特殊位置
以元素为主，优先考虑特殊元素
先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数
方法归纳
分步
先分类
后分步
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
解法一: (特殊元素法)
第一类: 不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 种;
第二类: 选甲,先排甲有 种，然后从剩下的4人中选2人排列有 种，则共有 种;
所以共有 种不同的排列方法.
巩固练习
解法二: (特殊位置法)
第一步: 从其余4位同学中找1人站排头, 有 种;
第二步: 剩下的4人(含甲)中找2人排列, 有 种;
所以共有 种不同的排列方法.
练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？
巩固练习
解法三: (间接法)
所以共有 种不同的排列方法.
先从5人中选3人排列, 有 种
然后计算甲站排头有 种
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解：(1)由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有
(2)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有
解：
变式 5个人站成一排：
(l) 共有多少种不同的排法？
(2) 其中甲必须站在中间有多少种不同排法？
(3) 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？
(4) 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？
(5) 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
(3) 共有 种排法.
(4) 共有 种排法 ；
(5) 共有 种排法．
(6)可将问题分为两类：
① 甲站在排尾，其余的人可全排列，
② 甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，
∴不同的排法共有
解1：
变式 5个人站成一排：
(6) 其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？
解2：
甲站排头有 种排法，
乙站排尾有 种排法.
但两种情况都包含了 “甲站排头, 且乙站排尾” 的情况，有 种排法.
∴ 不同的排法有 种排法．
例题 证明：
证明：
小结：
2. 全排列数:
1. 排列数公式：
3.阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
排列数公式的阶乘形式：