第四章指数函数与对数函数综合检测-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含解析））

第四章指数函数与对数函数综合检测
一、单选题
1. 用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是( )
A. B. C. D.
2. 若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 若函数且的图像恒过定点，则( )
A. B. C. D.
4. 设，函数，则使的的取值范围是( )
A. B. C. D.
5. 一次速算表演中，主持人出题：一个位整数的次方根仍是一个整数，下面我报出这个位数，请说出它的次方根，这个位数是未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个整数的次方根．原理很简单，因为只有一个整数，它的次方是一个位整数．可是，在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么快速得出这个结论的呢？速算专家的秘诀是记住了下面的表．
近似值
根据上表，这个位整数的次方根是( )
A. B. C. D.
6. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
7. 已知是上的减函数，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，若方程有个解时，实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 若，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，下面说法正确的有( )
A. 图象关于原点对称
B. 的图象关于轴对称
C. 的值域为
D. ，，且，恒成立
11. 已知函数，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知正实数，，满足，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
三、填空题
13. 函数的单调递减区间是 ．
14. 设，则 ．
15. 已知实数，满足，，则 ．
16. 若关于的方程有两不等正根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17. 计算：
；
．
18. 已知对数函数
求的值
解不等式．
19. 已知函数是指数函数，
求的解析式；
判断的奇偶性，并加以证明；
求不等式的解集：．
20. 已知函数，．
判断的奇偶性和单调性；
若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．
21. 已知函数与，其中是偶函数．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ求函数的定义域；
Ⅲ若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
22. 已知函数为奇函数．
求实数的值；
若对，不等式恒成立，求实数的最大值；
若函数在有零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
解：令，
则，，
故，
由零点的存在性定理可得，在区间内存在函数的零点，
故方程的近似解可以取的一个区间是．
故选B．

2.【答案】
解：函数在上为减函数，
因为，所以，解得．
故选：．

3.【答案】
解：函数过定点，
由图象所过的定点，知：，解得，且，
所以．
故选：

4.【答案】
解：，函数在上单调递增，
，即，
即，
解得或舍，
因为在上单调递增，
．
故选D．

5.【答案】
解：设此数为，则，
，
而，观察已知数据，
．
故选：．

6.【答案】
解：依题意，，，，故．

7.【答案】
解：当，是减函数，所以，即；
当，也是减函数，故；
在衔接点，必须要有成立，才能保证在上是减函数，得，
由得：；
故选：．

8.【答案】
解：令，
当有一解；
当有两个解；
当有三个解，
若方程有个解，
所以有两不相等的实根，
由韦达定理得，易知不可能同时大于，且不满足方程，
所以或成立，
令，
则，或
解得．
故选A．

9.【答案】
解：当时，比如，则，，，不正确
因为函数，都是上单调递增函数，所以，是正确的．
故答案为．

10.【答案】
解：函数的定义域为，，即是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．
C.，
，，，，，，
即，即函数的值域为，故C正确，
D.，
为增函数，为减函数，为增函数，为增函数，
则，，且，恒成立，故D错误，
故正确的是，

11.【答案】
解：由题意，易知函数都是其定义域上的增函数，
所以函数，都是其定义域上的增函数，
又因为，，
则，且在其定义域上连续，
所以在上存在唯一零点，即，
又，，
则，且在其定义域上连续，
所以在区间内存在唯一零点，即，
所以，故A正确
由，则，
所以，故C正确
令，，
则，
则和与都相交，
且和图象关于对称，
由，解得
即和与的交点关于对称，
则，即，故B正确；
，所以，，，
则，所以，
所以，故D错误．
故选：．

12.【答案】
解：设，
则，，，
，成立，
对于，，，，，
，，，
，
，
同理，故B正确；
对于，由选项可知，，即，故C错误，
对于，，
，即，即，故D正确，
故选：．

13.【答案】
解：令，求得，
故函数的定义域为，且，
由在上是减函数，
由复合函数单调性可得即求函数在定义域内的增区间，
利用二次函数的性质可得：在定义域内的增区间为．
故答案为．

14.【答案】
解：由得，，所以，，
所以．
故应填．

15.【答案】
解：令，则，
因为，
则，
又函数在上单调递增，
所以有，则，
所以．
故答案为：．

16.【答案】
解：，
，
令，则，
又有两个不等正根，
，即，则，
，解得，
又方程的根为，
，得
综上所得，，
故答案为．

17.【答案】解：
；
．
18.【答案】解：函数是对数函数，
解得，
，
在定义域上单调递增，
，
可得且，
解得，
不等式的解集为．
19.【答案】解：函数是指数函数，，
，且，可得或舍去，
；
是奇函数，
证明如下：
由得，定义域为，关于原点对称，
又，
是奇函数；
由得，不等式即：，
所以，
，
故解集为
20.【答案】解：函数，，即，解得，
定义域关于原点对称，，
则为奇函数；
当时，在递增，
在递增，
由于为奇函数，且连续函数，
可得在为增函数．
设在的值域为，
由在为增函数，可得在为增函数，可得，
对任意，存在，使得成立，
可得任意，使得成立．
即有，即对恒成立．
所以，解得
则的取值范围是．
21.【答案】解：Ⅰ的定义域为，
是偶函数，
恒成立，
即恒成立，
，即，
，，即．
Ⅱ由有意义得，即，
当时，，即，，
当时，，即，．
综上，当时，的定义域为，
当时，的定义域为
Ⅲ令得，
，即，
令，则，
与的图象只有一个交点，
只有一解，关于的方程只有一正数解，
若，则，，不符合题意；
若，且，即或．
当时，方程的解为，不符合题意；
当时，方程的解为，符合题意；
若方程有一正根，一负根，则，．
综上，的取值范围是或．
22.【答案】解：因为是奇函数，
所以，解得，
此时符合题意；
原问题即为，，即恒成立，
则
设，，，
则，
，当时，取得最小值，
要使不等式在上恒成立，则，
即实数的最大值为；
，
则，
设，当时，函数为增函数，则，
若在有零点，
则函数在上有零点，
即，即，
，当且仅当时取等号，
，即的取值范围是．
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