二次函数与平移
技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。反过来，平移前后a不变。
规律：（1）自变量左加右减，C值上加下减。
注：点在坐标系中平移规律，是右加左减，上加下减。
热身：
1、抛物线y= －x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
2、将抛物线y=ax2+bx+c向上平 ( http: / / www.21cnjy.com )移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a＝ ，b＝ ，c＝ .
1、（2011 陕西）如图，二次函数y= HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" - HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" x的图象经过△AOB 的三个顶点，其中 A（﹣1，m），B（n，n）
（1）求 A、B 的坐标；
（2）在坐标平面上找点 C，使以 A、O、B、C 为顶点的四边形是平行四边形．
①这样的点 C 有几个？
②能否将抛物线平移后经过 A、C 两点，若能，求出平移后经过 A、C 两点的一条抛物线的解析式；若不能，说明理由．
2、
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
20．（2013兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= x HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" +k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 （ ）．
已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的对称轴为直线 ( http: / / www.21cnjy.com )，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，-3).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），
①如图1，当△PBC的面积与△ABC的面积相等时，求点P的坐标；
②如图2，当∠PCB =∠BCA时，求直线CP的解析式．
图1 图2
练习：
24．（10分）（2013 佛山）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．
4、(2013广安中考试题第16题，3分)如图7，把抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________________．
作业：
1．把抛物线y=ax2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。
2、将抛物线y＝ax2向右平移 ( http: / / www.21cnjy.com )2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
3．把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
4、已知二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )的图象如图.
（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
3
图7二次函数与相似
1、（2013.上海）．如图9，在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，顶点为 ( http: / / www.21cnjy.com )的抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )经过点 ( http: / / www.21cnjy.com )和 ( http: / / www.21cnjy.com )轴正半轴上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )= 2， ( http: / / www.21cnjy.com )．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）联结 ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的大小；
如果点 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )轴上，且△ ( http: / / www.21cnjy.com )与△ ( http: / / www.21cnjy.com )相似，
求点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标．
2. ( 2013云南普洱，23，10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 经过A(-2，0)，C(4，0)两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC.
(1)求抛物线的解析式（关系式）.
(2)在第一象限外，是否存 ( http: / / www.21cnjy.com )在点E，使得以BC为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由.
3、（交大附中模拟）如图，抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点
C（0，－3），设抛物线的顶点为D，
求该抛物线的解析式与顶点坐标；
以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
探究坐标轴上是否存在点P，使得 ( http: / / www.21cnjy.com )以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
4、（14分）已知抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 的图象经
过原点O，交 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴于点A，其顶点B的坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" .
（1）求该抛物线的函数关系式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P,使 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ；
（3）在抛物线上是否存在点Q,使△QAO与△AOB相似？
如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.
5、（12分）（2013 莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过
点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6、（本题满分10分）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图像经过A（1,0）B（3,0）两点.
（1）写出这个二次函数图像的对称轴；
（2）设这个二次函数图像的顶点为D,与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴交与点C，它的对称轴与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴交与点E，连接AC、DE和DB.当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式.
[提示：如果一个二次函数的图像与 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" 轴的交点为A HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" B HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" ，那么它的表达式可表示为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
1、函数 ( http: / / www.21cnjy.com )自变量x的取值范围是（ ）
A． x≥1且x≠3 B． x≥1 C． x≠3 D． x＞1且x≠3
2、若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． k＞﹣1 B． k＜1且k≠0 C． k≥﹣1且k≠0 D． k＞﹣1且k≠0
3、如图，二次函数y=ax2+bx+ ( http: / / www.21cnjy.com )c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过（3，0），下列结论中，正确的一项是（ ）
A． abc＜0 B． 2a+b＜0 C． a﹣b+c＜0 D． 4ac﹣b2＜0
4、在二次函数 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的图像中，若 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 随 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的增大而增大，则 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的取值范围是【 】
（A） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （B） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （C） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" （D） HYPERLINK "http://www.21cnjy.com"
5、某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元/件)与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
6、如图1，已知抛物线的方程C1： HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
图9
C
A
D
B
O
y
x二次函数与最值
1、如图，对称轴为直线x=－1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(－3,0).
(1)求点B的坐标；
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值。
2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（7分）（2013 绥化）如图，已知抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
4、（2013，黔东南州，24）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点。
（1）、求抛物线的解析式。
（2）、点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥ HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 轴交抛物线于N若点M的横坐标为 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，请用 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的代数式表示MN的长。
（3）、在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在点 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 ，使△BNC的面积最大？若存在，求 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 的值，若不存在，说明理由。
5、28．（2013兰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
6、(2013广安中考试题 ( http: / / www.21cnjy.com )第26题，10分)如图12，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=3/4。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
如图，在平面直角坐标系中，直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（ ( http: / / www.21cnjy.com )不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值．
42．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ( http: / / www.21cnjy.com )）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在 ( http: / / www.21cnjy.com )一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
作业：
8．（12分）（2013 泸州）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )），已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过三点A、B、O（O为原点）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如果点P是该抛物线上x轴上方的一个动点 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
46．如图，已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为 ．二次函数与存在性（图形变换 动点问题）
特点：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；
分析切入点：分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）、
所用知识：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角等
1、
( http: / / www.21cnjy.com )
2、(2013铁一中模拟)如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y=ax HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" -ax-2经过点C。
求点C的坐标
求抛物线的解析式
在抛物线上是否存在点P与点Q（点C，D除外）使四边形ABPQ为正方形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由。
3．（12分）（2013 攀枝花）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点 ( http: / / www.21cnjy.com )E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
4、（2013 湘潭 本题满分10分)
如图，在坐标系xoy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1,0)，B(0，2).抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.3 的图象过C点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形 若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由.
5、如图，一条抛物线经过原点，且顶点B的坐标（1，-1）.
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设该抛物线与x轴正半轴的交点为A，求证:△OBA为等腰直角三角形；
(3)设该抛物线的对称轴与x轴的交点为C，请你在抛物线位于x轴上方的图象上求两点E、F，使△ECF为等腰直角三角形，且∠EOF=900
6、(2013广东汕头，24，12分)如图，抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点 ( http: / / www.21cnjy.com )E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
( http: / / www.21cnjy.com )
作业：
1. ( 2013云南普洱，23，10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 经过A(-2，0)，C(4，0)两点，和y轴相交于点B，连接AB、BC.
(1)求抛物线的解析式（关系式）.
(2)在第一象限外，是否存在点E，使得以B ( http: / / www.21cnjy.com )C为直角边的△BCE和Rt△AOB相似？若存在，请简要说明如何找到符合条件的点E，然后直接写出点E的坐标，并判断是否有满足条件的点E在抛物线上；若不存在，请说明理由.
(3)在直线BC上方的抛物线上，找一点D，使S△BCD：S△ABC=1:4，并求出此时点D的坐标.
1.已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标；若不存在，请说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )
A
B
C
D
O
y
x
A
C
B
O
l
