保密★启用前 3 3
【解析】设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，得到 x1＋x2＋x3＝ ，计算得到 | FA | | FB | | FC |＝(x1＋x2＋x3)＋ ，2 2
2023 新高考名师一模模拟卷（4）
计算得到答案.
注意事项：
1 3
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 【详解】设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)
1
，焦点 F ,02
，x1＋x2＋x3＝3× 2 ＝ 2
2．请将答案正确填写在答题卡上 1
第 I卷（选择题） 则 | FA | | FB | | FC |
x 1
x
1 1
2
x
3
3 ＝(x ＋x ＋x )＋ ＝3.
2 2 2
1 2 3
2
一、单选题(共 40 分)
A { 1,1} 2 故选：C1．已知U R，集合 ， B {x | x 9}，则下列关系正确的是（ ）
【点睛】本题考查了抛物线相关线段长度，抓住重心的公式和抛物线定义是解题的关键.
A． A B A B． A B C． A B A D．痧U A UB
4．某学校高一年级 高二年级 高三年级的人数分别为 1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级 高二年级
【答案】C
高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高.如果在这个样本中，有高一年级学生 32人，且测得高一年级 高二年级
【分析】解不等式得 B，由集合的运算与关系对选项逐一判断，
高三年级学生的平均身高分别为 160cm，165cm，170cm.则下列说法正确的是（ ）
【详解】由 x2 9得 3 x 3， B ( 3,3)， A B，
A．高三年级抽取的学生数为 32人
对于 A， A B B，故 A错误， 1
B．高二年级每个学生被抽取到的概率为
对于 B，C， A B A，故 B错误，C正确， 100
C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大
对于 D，痧UB U A，故 D错误，
D．所有学生的平均身高估计要小于 165cm
故选：C
【答案】D
2．欧拉公式 eix cos x i sin x ( i为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三
【分析】根据分层抽样的概念、分层抽样的概率、均值的概念判断．
角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， ie 3 表示的复数的模为 800【详解】根据分层抽样的定义，高三抽取的学生数为 32 16，A错；
1600
A B 1 C 1 D 3． ． 2 ． ． 32 13 2 分层抽样中每个个体被抽取的概率相等，均为 ，B错，C错；1600 50
【答案】C 1600
平均身高为 160
1100
165 800 170 163.9（cm）,D正确．
3500 3500 3500
【分析】直接由题意可得 ie 3 =cos +isin ，再由复数模的计算公式得答案．3 3 故选：D．
【详解】由题意， ie 3 =cos +isin ，3 3 5．若函数 f x sinx sinx 3cosx 的图象向左平移 个单位，得到函数 g x 的图象，则下列关于 g x 叙述正确的12
∴ i
e 3 表示的复数的模为 cos
2 sin2 1．
3 3 是（ ）
故选 C． A． g x 的最小正周期为2
【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题． 3
B． g x 在 , 内单调递增 2 2
3．设 F为抛物线 y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 F为△ABC的重心，则 FA FB FC 的值为（ ）
C． g x 的图象关于 x 对称
A．1 B．2 C．3 D．4 12
,0
【答案】C D． g x 的图象关于 2 对称
【答案】C
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【分析】利用三角恒等变换化简 f x 为标准型，结合函数图象变换求得 g x a a b b a a 2 2 2，再根据三角函数的性质，对每个选项 5 12 13 ， 13 5 12 5 12 13 b 2
x x x
进行逐一分析，即可判断和选择. 令 x 2 t 0， f x 5 12 13 ，
1 g t 5t 2 12t 2 13t 2 则 25 5
t 144 12t 169 13t 169 13t 169 13t 0
【详解】 f x sinx sinx 3cosx 1 cos 2x 3 sin 2x sin 2x 1 ，
2 2 6 2
所以当 x 2时， f x 0，即5a 12a 13b 13a a b
1 1
将其图象向左平移 个单位得到 g x sin 2
x
sin
2x
的图象；
12 12 6 2 3
2 a b 2
2 故选：D.
对 A： g x 的最小正周期T ，故 A错误；
2
8．定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f 2 x f 2 x ，且当 x [0,2 ]时，
x , 3 2x 2 , 10 对 B：当 时， ，此时 g x 不是单调函数，故 B错误； 2 2 3 3 3 2x 1,0 x 1
1 1 f (x) ，若关于 x的方程m ln | x | f x g 至少有 8个实数解，则实数 m的取值范围是（ ）对 C： sin
π
为函数最小值，故 x 是 g x 的对称轴，C正确； 2sin x 1,1 x 2
12 2 2 2 12 2
1 ,0 0, 1 1 , 1 3 1
对 D： g 0，故 ,0 不是 g x
A． B．的对称中心，D错误. ln 6 ln5 ln 6 ln5
2 2 2 2
1 ,0 0, 1 1 , 1 C． ln 6
D．ln5
故选：C. ln 6 ln5
【答案】B6．已知平面向量a,b , | a | 1,| b | 2，且 a b 1 .若 | c | 2，则 (a b) c的最大值为（ ）
【分析】根据条件可得出函数 f (x)是以 4为周期的周期函数，作出 y f (x)， y m ln x的图象，根据函数为偶函数，
A． 2 5 B．10 C．2 D．5 原问题可转化为当 x 0时两函数图象至少有 4个交点，根据数形结合求解即可.
【答案】A 【详解】因为 f 2 x f 2 x ，且 f x 为偶函数
【分析】直接由数量积的定义 (a b) c | a b | | c | ，求出 | a b |即可求解. 所以 f (x 2) f (x 2) ，即 f (x) f (x 4)，
a b c (a
b) c | a b | | c
| cos | a b | | c | | a | 2 | b | 2 2a b | c | 2 5 所以函数 f (x)【详解】设 ， 夹角为 ，则 ， 是以 4为周期的周期函数，
作出 y f (x)， y m ln x在同一坐标系的图象，如图，
当 a b，c 同向即 0时取等.
故选：A.
7．已知实数 a、b满足a log5 6 log
a a b
18 5 log25 9,5 12 13 ，则下列判断正确的是（ ）
A．a 2 b B．b 2 a C．b a 2 D． a b 2
【答案】D
【分析】由对数的运算法则化简 a，再借用基本不等式可得 a的范围，再利用5a 12a 13b可得b的范围，在构造新
函数，借助放缩法可得 a,b的大小关系.
【详解】 因为方程m ln x f x 至少有 8个实数解，
a log5 6 log18 5 log25 9 log 6
1
5 log 3
2 log 6 1 log 3 1
52 5 5 log518 2 log 1 8
1
2 ， 所以 y f (x)， y m ln | x |图象至少有 8个交点，log518 log
5
518 log518 log5 18
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根据 y f (x)， y m ln | x |的图象都为偶函数可知，图象在 y轴右侧至少有 4个交点， 综上，当 a 1时， f x 的最小值为 2， f x 的单调递增区间为 ,1 ， 2, ，故 A正确，B正确；
1
由图可知，当m 0时，只需m ln 5 1，即0 m ，
ln 5 2在同一坐标系中画出函数 y 3x 1与函数 y 2 x 4x 3 的图象，如下图
1
当m 0时，只需m ln 6 1，即 m 0，
ln 6
当m 0时，由图可知显然成立，
1 1
综上可知， m .
ln 6 ln 5
故选：B
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 根据图象可知，要使 f x 在 2, 4 上单调递增，则 a的取值范围是 , 2 或 4, ，故 C不正确；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
根据上述图象可知， y 3x 1 0 y 2 x2有一个零点 ， 4x 3 有两个零点 1和 3，
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结
3x 1, x a合的方法求解． 所以当a ,0 时，函数 f x 2 在 ,a 上没有零点，在 a, 上有两个零点 1和 3； 2 x 4x 3 , x a
3x 1, x a
二、多选题(共 20 分) 当a 0,1 时，函数 f x
2 在 ,a 上有一个零点 0，在 a, 上有两个零点 1和 3； 2 x 4x 3 , x a
3
x 1,x a
9．已知函数 f x x （ ） 3 1, x a2 x2 4x 3 , x a 当 a 1,3 时，函数 f x 2 在 ,a 上有一个零点 0，在 a, 上有一个零点 3； 2 x 4x 3 , x a
A．当 a 1时， f x 的最小值为 2 3x 1,x a
当 a 3, 时，函数 f x 2 在 ,a 上有一个零点 0，在 a, 没有零点；
2 x 4x 3 , x aB．当 a 1时， f x 的单调递增区间为 ,1 ， 2,
综上， f x 恰有两个零点，则 a的取值范围是 ,0 1,3f x 2, 4 a ，故 D正确.C．若 在 上单调递增，则 的取值范围是 , 2
故选：ABD.
D．若 f x 恰有两个零点，则 a的取值范围是 ,0 1,3
10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量 E（单
【答案】ABD
位：焦耳）与地震里氏震级 M之间的关系为 lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
【分析】根据分段函数单调性、最值、图象性质、零点逐项判断即可.
A．地震释放的能量为 1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
x
3 1,x 1 x
【详解】解：当 a 1时， f x 2 ，则当 x 1时，函数 f x 3 1在 ,1 上单调递增，则
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 6.3倍
2 x 4x 3 , x 1 C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的 1000倍
f x 1,2 ， D．记地震里氏震级为 n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为 an，则数列{an}是等比数列
当 x 1时， f x 2 x 2 2 4x 3 2 x 2 2 ，则函数 f x 在 1,2 上单调递减，在 2, 上单调递增，所以 【答案】ACD
【分析】根据所给公式，结合指对互化原则，逐一分析各个选项，即可得答案.
fmin x f 2 2，
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2
【详解】对于 A：当 E 1015.3 时，由题意得 lg1015.3 4.8 1.5M ， 对于 A，若圆C关于直线 y kx对称，则直线过圆心，所以1 k ，得 k 1，又 k 1时， r 0，方程不能表示圆，
故 A是假命题；
解得M 7，即地震里氏震级约为七级，故 A正确；
C k ,1 r k 1 0
对于 B：八级地震即M 8时， lg E1 4.8 1.5 8 16.8 16.8
对于 B，对于圆C，圆心为 ，半径 ，则 k 1，
，解得 E1 10 ，
E1 10
16.8 d k ( 1) k 1 r
所以 101.5
当直线为 x= 1时，圆心到直线的距离 ，
15.3 10 6.3，E 10
故存在直线 x= 1，使得与所有的圆相切，故 B是真命题；
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的101.5 倍，故 B错误；
对于 C，当 k 1时，圆的方程为 x 1 2 y 1 2 4 ，圆心为C 1,1 ，半径 r 2
对于 C：六级地震即M 6时， lg E2 4.8 1.5 6 13.8，解得 E 1013.8
2 ，
16.8 由于 P x, y 为圆C上任意一点，设 y 3x m，则式子可表示直线 y 3x m，此时m表示直线的纵截距，E 10 3
所以 1
E 1013.8
10 1000，
2 故当直线与圆相切时，可确定m的取值范围,
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的 1000倍，故 C正确； 3 1 m
lg a 于是圆心
C 1,1 到直线 y 3x m的距离 d r 2，解得m 3 3或m 5 3，
对于 D：由题意得 n 4.8 1.5n（n=1，2，···
2
，9，10）， 12 3
a 104.8 1.5n所以 n ，所以 an 1 10
4.8 1.5(n 1) 106.3 1.5n
则 3 3 m 5 3，所以 y 3x的最大值为5 3，故 C为真命题；
a 106.3 1.5n
所以 n 1 4.8 1.5n 10
1.5 2 2
，即数列{an}是等比数列，故 D正确； 对于 D，圆的方程为 x 1 y 1 4 ，圆心为C 1,1 ，半径 r 2，an 10
如图，连接 AC,BC，
故选：ACD
11．已知圆 C： x2 y2 2kx 2y 2k 0，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆C关于直线 y kx对称，则 k 1
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当 k 1时， P x, y 为圆C上任意一点，则 y 3x的最大值为5 3
D．当 k 1时，直线 l : 2x y 2 0,M为直线 l上的动点，过点M 作圆C的切线MA,MB，切点为A，B，则 CM AB
最小值为 4
因为直线MA,MB与圆C相切，所以MA AC ,MB BC ，且可得 MA MB ，又 AC BC r 2，
【答案】BCD
MC S 1 1【分析】根据圆C关于直线 y kx对称，得 k得值，检验半径是否大于零，即可判断 A；根据直线与圆相切的充要条 所以MC AB，且 平分 AB，所以 MBCA CM AB 2S MAC 2 MA AC四边形 ，2 2
件判断 B；根据直线与圆的位置关系确定 y 3x 2 2的最值即可判断 C；根据直线与圆相切的切线长与切点弦关系可判 则 CM AB 2 MA AC 2 CM r2 2 4 CM 4，则 CM AB 最小值即 CM 的最小值，
断 D. 2 1 2
即圆心C 1,1 到直线 l : 2x+ y+ 2 = 0的距离 d CM 5min ，2 2
【详解】解：圆 C： x2 y2 2kx 2y 2k 0 2 2 2 2 1，整理得： x k y 1 k 1 ，
CM AB
所以圆心C k ,1 r k 所以 的最小值为 ，故 D为真命题.，半径 1 0 4，则 k 1
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故选：BCD. ∴ h1 h3 2h2 ，所以 h1， h2， h3成等差数列，故 D正确.
12．棱长为 a且体积为 V的正四面体 A BCD的底面 BCD内有一点 H，它到平面 ABC、ACD、ABD的距离分别为 h1， 故选：ACD.
h2， h3，E，F在 BC与 BD上，且 BE 2EC， BF 2FD，下列结论正确的是（ ）
A．若 a为定值，则 h1 h2 h3为定值 B．若 h1 h2 h2 2 2，则V 4 2
C．存在 H，使 h1，h2， h3成等比数列 D．若H EF，则 h1， h2， h3成等差数列
【答案】ACD
【分析】根据VA BCD VH ABC VH ABD VH ACD ，计算即可判断 A；
由 A求得 a，从而可求得正四面体的体积，即可判断 B；
第 II 卷（非选择题）
当 H是中心时， h1 h2 h3，即可判断 C； 三、填空题(共 20 分)
1 2
根据 BE 2EC，BF 2FD，H EF，则 S△HCD S△BCD，从而可得 S S S 2S ，设 H到 BC， 13．（tan50°+tan60°）sin20°=___________.3 △HBC △HBD 3 △BCD △HCD
【答案】1
CD，DB的距离为 d1， d2，d 3，从而可得d1 d3 2d2 ，即可判断 D.
【分析】利用同角关系以及诱导公式、倍角公式作恒等变换求解即可.
2
2 3 6
【详解】解：正四面体 A BCD的高为 a2 a a ， tan50 +tan60 sin20 = sin50
3 2 3 【详解】 + 3 sin20
cos50
由VA BCD VH ABC VH ABD VH ACD ，
sin50 + 3cos50 2sin 60 +50 sin20 2cos20 sin20
sin20
= =1
即 S 1 ABCh1 S ACDh
1 1 3 6
2 S h a
2 a cos50 cos50 cos50 BCD 3 ，3 3 3 3 4 3
= sin40
1 3 1 3 1 3 2 =1；
所以 h1 h2 h3 a
3， cos50
3 4 3 4 3 4 12
6 故答案为：1.
所以 h1 h2 h3 a ，故 A正确；3 14．已知抛物线 y2 4x的焦点为 F，点 M是抛物线上异于顶点的一点，OM 2ON （点 O为坐标原点），过点 N作
由 A 6知 a 2 2，a 2 3 V 2 ，∴ a3 2 6 ，B不正确；
3 12
直线 OM的垂线与 x轴交于点 P，则 2 OP MF ___________.
当 H是中心时， h1 h2 h3，此时 h1， h2， h3成等比数列，故 C正确；
【答案】3
对于 D选项，因为 BE 2EC， BF 2FD，
y2 y2 y y y y 2 y2
1 【分析】设M 0 , y0 ，则N 0 0 0 0 0 0 , ，易得直线 NP的方程为 y x ，求得 P 2,0 ，结合抛物
若H EF，则 S△HCD S3 △BCD
， 4 8 2 2 4 8 8
则 S
2 线的定义即可求解.
△HBC S△HBD S△BCD 2S△HCD，3
y20
2
设 H到 BC，CD，DB的距离为 d1， d2，d ，∴d1 d3 2d2 ， 【详解】依题意，设M , y
y y
3 0 ，由4 OM 2ON
，得 N为OM 的中点且 N 0 , 0 ，
8 2
又因为平面 ABC、平面 ACD、平面 ABD与平面 BCD所成角相等，
第 9页 共 22页 ◎ 第 10页 共 22页
k 4 y0 y0 y
2
0 【分析】 f x x 1
3 a 3 x 1 y x ，从而得到 f x 1 f x 1 ，故 y f x 的图像关于直线 x 1对称，求出则 OM y ，易得直线OM 的垂线 NP的方程为 .0 2 4 8
b 1， f x x 1 x2 2 x 2 a ，显然 x 1为函数的零点，故 x2 2x 2 a 0有两个根，由 0求出 a 3，得
y2 y2
令 y 0，得 x 0 2，故 P 0 2,0 ，
8 a 8 到 的最大值.
y2 【详解】 f x x3 3x2 ax a 2 x 1
3 a 3 x 1 3，则 f x 1 x a 3 x ，
由抛物线的定义易知 |MF | 0 1，
4
定义域为 R，且 f x 1 x 3 a 3 x x3 a 3 x f x 1
y2 y2
，
故 2 |OP | |MF | 2 0 0 2 1 3 .
8 4
故 y f x 的图像关于直线 x 1对称，故b 1，
故答案为：3
f x x 1 3 a 3 x 1 x 1 x2 2x 2 a ，f (x)
15．已知函数 f (x)
1 2
x （x>0），若
x ( f (x))2 a
的最大值为 ，则正实数 a=___________.
5 显然 x 1为函数的零点，故 x2 2x 2 a 0有两个根，
【答案】1
所以 4 4 a 2 0，解得： a 3，
【分析】依据题意列出关于 a的方程即可求得正实数 a的值.
3
f (x) 当 a 3时， f x x 1 ，有三个相等的零点，
t x 1 (x 0) t 2 2 =
t 1
【详解】令 ，则 ，则 ( f (x)) a t 2
x a t
a
t 故答案为：1，3.
令 y t
a
(a 0, t 2) 【点睛】思路点睛：函数的对称性，
t
a a 1 若 f x a f x b c，则函数
f x a b c
2, 关于
, 中心对称，
当0 a 4时， y t 在 上单调递增， y t 2+ a 2 2
t t 2
1 2 若 f x a f x b
a b
，则函数 f x 关于 x 对称.
0 f (x)a 2
2
则 t a 4，即 ( f (x))2 a的最大值为
t a 4
2
则 =
2
，解之得 a 1 .
a 4 5 四、解答题(共 70 分)
a
当 a 4时， t 2 a （当且仅当 t= a时等号成立） 17．(本题 10分)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，S7=49，a2+a8=18.t
（1）求数列{an}的通项公式；
0 1 a f (x) a
则 ，即 的最大值为
t a 2a ( f (x))2 a 2a （2）若 S3、a17、Sm成等比数列，求 S3m.t
a 2 25 【答案】（1）an=2n﹣1；（2）1089.
则 = ，解之得 a （舍）
2a 5 16 S7 7a4 49
综上，所求正实数 a 1 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，由条件有 a a ，可求出d ，进而得出答案. 2 8 2a5 18
故答案为：1 n 1 2n 1
（2）由（1 S ）知： n n2 ,由 S3、a17、Sm成等比数列，可以求出m，则可得出 S2 3m
的值.
16 3 2．已知函数 f x x 3x ax a 2 有三个零点，且 y f x 的图像关于直线 x b对称，则b __________；a的
【详解】（1）设等差数列{an}的公差为 d，∵Sn为等差数列{an}的前 n项和，S7=49，a2+a8=18，
最大值为__________.
S7 7a4 49 a4 7
【答案】 1 3 ∴ a a 2a 18 a 9，解得：d=2. 2 8 5 5
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∴ an a4 n 4 d 2n 1
n 1 2n 1
（2）由（1）知： Sn n
2 .
2
∵ S3 ,a17 ,S
2
m成等比数列，∴ SmS a ，即 9m23 17 332，解得 m 11.
2
故 S3m S33 33 1089
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和求前 n项的和，以及等比数列的性质，属于中档题.
18．(本题 12分)在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2bcos A ccos A acosC．
(1)求 A的大小； （1）求证：AE⊥平面 PBC；
3
(2)若 AB AC ，b c 4，求 a的值． （2）试确定点 F的位置，使平面 AEF与平面 PCD所成的锐二面角为 30°．
2
【答案】（1）见解析（2）当点 F为 BC中点时，平面 AEF与平面 PCD所成的锐二面角为 30°
【答案】(1) A π
3
【分析】（1）证明 PA BC．AB BC，推出 BC 平面 PAB．得到 AE BC．证明 AE PB，得到 AE 平面 PBC．然
(2) a 7 后证明平面 AEF 平面 PBC．
（2）分别以 AB,AD,AP的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，设正方形 ABCD
【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得 cos A值，又由 A (0, π)，可求 A．
的边长为 2，求出为平面 AEF 的法向量，平面 PCD的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
（2）利用平面向量数量积的运算可得bc的积，进而由余弦定理即可求解．
【详解】解：（1）∵PA⊥平面 ABCD，BC 平面 ABCD
【详解】（1）（1） 2bcos A ccos A acosC，
∴PA⊥BC
2sin Bcos A sinC cos A sin AcosC，可得 2sin B cos A sin(A C) sin B，
∵ABCD为正方形
sin B 0， cos A
1
，又 A (0, π)， A π ．
2 3 ∴AB⊥BC
（2） AB AC
3
， | AB || AC | cos A
3
， bc cos A bc cos
π 3
， bc 3 . 又 PA∩AB=A，PA，AB 平面 PAB
2 2 3 2
∴BC⊥平面 PAB
又由b c 4，根据余弦定理得： a2 b2 c2 2bc cosA (b c )2 2bc bc 16 9 7.
∴AE 平面 PAB
a 7． ∴AE⊥BC
19．(本题 12分)如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB，E为线段 PB的中 ∵PA=AB，E为线段 PB的中点
点，F为线段 BC上的动点． ∴AE⊥PB
又 PB∩BC=B，PB，BC 平面 PBC
∴AE⊥平面 PBC
（2）以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A－xyz，
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x2 0
令 y2=1，则
z2 1
∴m 0,1,1
∵平面 AEF与平面 PCD所成的锐二面角为 30°，
m n 2
cos30 3∴ ，
m n 2 2 2 4 2
解得λ=1，
∴当点 F为 BC中点时，平面 AEF与平面 PCD所成的锐二面角为 30°
【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推
设正方形 ABCD的边长为 2，则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，
理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．
1）
uuur 20．(本题 12分)甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人
∴ AE (1,0,1)， PC (2, 2, 2)，PD (0,2, 2)
都投中或者都未投中则均记 0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记 1分，未投中的记 1分设每轮比赛中甲投
设 F（2，λ，0）（0≤λ≤2）， 2 1
中的概率为 3 ，乙投中的概率为 2 ，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
∴ AF (2, ,0)
(1)经过 1轮比赛，记甲的得分为 X ，求 X 的分布列和期望；
设平面 AEF的一个法向量为 n x1, y1, z1 (2)经过 3轮比赛，用 Pn n 1, 2,3 表示第 n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点 (n,Pn ) n 1, 2,3
n ·
则
A E 0 均在函数 f (x) m(s tx )的图象上，求实数 m，s，t的值．
n·AF 0
【答案】(1)答案见解析
x1 z1 0
∴
2x1 y1 0 (2)m
1 1
， s 1， t
5 6
x
令 y 11=2，则
z1 【分析】（1）由题意得 X 的可能取值为 1,0,1，求出对应的概率，求出 X 的分布列及期望即可；
∴ n ( , 2, ) （2）结合题意求出 P1,P x2 ,P3，将点 (n,Pn ) n 1, 2,3 代入 f (x) m(s t )即可求出 m，s，t的值．
设平面 PCD的一个法向量为m x , y ,z 【详解】（1） X 的可能取值为 1,0,1，2 2 2
P(X 1) 1 2 1 1 P(X 0) 2 1 1 2 则 ； 1
1 1 2 1 1 ； P(X 1) 1 ，
m·PC 3 0
2 6 3 2 3 2 2 3 2 3
则
m ·PD 0 X 的分布列为：
x2 y2 z2 0 X 1 0 1
∴
y2 z2 0
1 1 1
P
6 2 3
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PM
线 AC，BD分别交直线 x=m于 P，Q两点.求证： MQ 为定值.
E(X ) 1 1 0 1 1 1 1 ．
6 2 3 6
2 2
1 【答案】（1） x y 2 0 x y；P 1
；（2 14） ；（3）证明见解析.
（2）由（1）知 1 ，6 12 4 2
【分析】（1）把点 A(0，2) B(-3，-1)代入椭圆方程即可求出椭圆方程；直线 AB的方程可以利用点斜式或两点式求解；
经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
（2）利用两点间的距离公式化简为函数最值问题求解；
一是甲两轮得分都为 1；二是两轮中甲有一轮得 0分，另一轮得 1分，
（3）首先利用直线 AB的方程求出m 2，再分别利用 AC，BD的方程与椭圆方程联立方程组得出P,Q坐标，即可
2
则 P 1 C1 1 1 72 6 2
．
2 6 36 化简得到.
0 4
经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况： 2 2 1 2 2
【详解】（1）把 A(0，2) B(-3，-1) x y两点坐标代入 2 2 1
a b
得： ，
三轮中甲得分都为 1；三轮中甲有两轮得 1分，另一轮得 0分； a b 9 1
2 2 1 a b
三轮中甲有一轮得 1分，另两轮得 0分；三轮中甲有两轮得 1分，另一轮得 1分， 2 2
即a 2 3，b 2
x y
，即椭圆方程为： 1.
1 3 2 2 2
12 4
P 则 C2 1 1 1 1 C1 C2 1 1 433 6 3 3 3
， 2 1
6 2 6 2 6 3 216 kAB 1，所以直线 AB的方程为： x y 2 0 .0 3
1 7 43
由题意，点 1, , 2, , x6 36
3, 均在函数 f (x) m(s t )的图象上， 2
216 （2）设T (x, y)，则点 T到 N(1，0)的距离 d (x 1)2 y 2 (x 1)2 4(1 x 2 ) x 2 2x 5 ，
12 3
1
m s t ①6 x 3 2 9 3 14 因为 2 3 x 2 3，所以当 时，d 有最小值，且 d 2 5 ，
2 7 2
min
则 m s t
3 4 2 2
② ，
36
43 所以动点 T到 N(1，0)
14
的最短距离为： .
m s t3 ③ 2 216
（3）如图，
②－①得m t 1 t 2 ④，36
③－②得m t2 t3 1 ⑤，216
t 1⑤÷④得 ⑥，
6
1
将⑥代入④得m ⑦，
5
将⑥⑦代入①得 s 1，
综上，m
1 1
， s 1， t ．
5 6
21 ( 12 ) x
2 y2
． 本题 分 已知椭圆 2 2 1(a>b>0)经过 A(0，2) B(-3，-1)两点.a b
（1）求直线 AB和椭圆的方程； 因为直线 AB的方程为： x y 2 0，
（2）求椭圆上的动点 T到 N(1，0)的最短距离； 取 y 0得，m 2，
（3）直线 AB与 x轴交于点 M(m，0)，过点 M作不垂直于坐标轴且与 AB不重合的直线 l与椭圆交于 C，D两点，直
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设直线 AB的方程为： y k(x 2)(k 1,k 0)，C(x1, y1)， D(x2 , y2 )， 若 x 0, ，则 f ' x 0, f x 单调递增；
y k (x 2) 1
当0 a 时，若 x , ln 2a ，则 f ' x 0, f x 单调递增，
联立方程组： x2 y2 得： (1 3k 2)x2 12k 2x 12k 2 12 0 ， 2
1 12 4
若 x ln 2a ,0 ，则 f ' x 0, f x 单调递减，
12k 2 12k 2 12
所以 x1 x2 2 ， x x ，1 3k 1 2 1 3k 2
若 x 0, ，则 f ' x 0, f x 单调递增；
记直线 AC的方程为： y 2
y1 2 x (2 2k)(x 2)
x ，令 x 2
P( 2, 1得： )，
1 x1 1
当 a 时， f ' x 0, f x 在 R上单调递增；
y2 1
记直线 BD的方程为： y 1 x
(k 1)(x2 2) 2
x 3 ，令 x 2得：
Q( 2, )
x 3 ，2 2 1
当 a 时，若 x ,0 ，则 f ' x 0, f x 单调递增，
(2 2k)(x1 2) 2
PM yP x1 2(x1 2)(x 2 3) 若 x 0, ln 2a ，则 f ' x 0, f x
QM y (k 1)(x 2)
单调递减，
Q 2 x 1(x 2 2)
x2 3
若 x ln 2a , ，则 f ' x 0, f x 单调递增；
2 2
2x x 4(x x ) 12 2x 2
12k 12 12k
2 4 12 2x
(2)若选择条件①：
1 2 1 2 1 1 3k 1 3k
2 1
x1x2 2x1 12k
2 12
2x 1 e
2
1 3k 2 1 由于 a ，故1 2a e
2 ，则b 2a 1, f 0 b 1 0，
2 2
12k 2 12 2(1 3k 2)x
1 b
12k 2 12 2(1 3k 2
1
)x1 而 f
b b
1 e
a b b 0，
a
a
PM
故 QM 为定值，定值为 1. 而函数在区间
, 0 上单调递增，故函数在区间 , 0 上有一个零点.
2f ln 2a 2a ln 2a 1 a ln 2a b22．(本题 12分)已知函数 f (x) (x 1)ex ax2 b．
2
（1）讨论 f (x)的单调性； 2a ln 2a 1 a ln 2a 2a
（2）从下面两个条件中选一个，证明： f (x)只有一个零点 2 2a ln 2a a ln 2a
1 a e
2
① ,b 2a；
2 2 a ln 2a 2 ln 2a ，
②0
1
a ,b 2a．
2 1 e2
由于 a ，1 2a e2 ，故 a ln 2a 2 ln 2a 0 ，
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 2 2
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； 结合函数的单调性可知函数在区间 0, 上没有零点.
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
综上可得，题中的结论成立.
【详解】(1) x由函数的解析式可得： f ' x x e 2a ， 若选择条件②：
当 a 0时，若 x ,0 ，则 f ' x 0, f x 1单调递减， 由于0 a ，故 2a 1，则 f 0 b 1 2a 1 0，
2
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当b 0 2时，e 4,4a 2， f 2 e2 4a b 0，
而函数在区间 0, 上单调递增，故函数在区间 0, 上有一个零点.
当b 0 x x时，构造函数H x e x 1，则H x e 1，
当 x ,0 时，H x 0,H x 单调递减，
当 x 0, 时，H x 0,H x 单调递增，
注意到H 0 0，故H x 0恒成立，从而有： ex x 1，此时：
f x x 1 ex ax2 b x 1 x 1 ax2 b 1 a x2 b 1 ，
当 x 1 b 时， 1 a x2 b 1 0，
1 a
x 1 b取 0 1，则 f x0 0，1 a
即： f 0 0, f 1 b 1 0，
1 a
而函数在区间 0, 上单调递增，故函数在区间 0, 上有一个零点.
f ln 2a 2a ln 2a
2
1 a ln 2a b
2a ln 2a 1 a ln 2a
2
2a
2
2a ln 2a a ln 2a
a ln 2a 2 ln 2a ，
1
由于0 a ，0 2a 1，故 a ln 2a 2 ln 2a 0 ，2
结合函数的单调性可知函数在区间 , 0 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考
中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往
往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求
函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
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A． 2 5 B．10 C．2 D．5
2023 新高考名师一模模拟卷（4）
7 a a b．已知实数 a、b满足a log5 6 log18 5 log25 9,5 12 13 ，则下列判断正确的是（ ）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 A．a 2 b B．b 2 a C．b a 2 D． a b 2
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题） 8．定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f 2 x f 2 x ，且当 x [0,2 ]时，
一、单选题(共 40 分)
2x 1,0 x 1
1．已知U R，集合 A { 1,1}， B {x | x2 9}，则下列关系正确的是（ ） f (x) ，若关于 x的方程m ln | x | f x 至少有 8个实数解，则实数 m的取值范围是（ ）
2sin
π x 1,1 x 2
2
A． A B A B． A B C． A B A D．痧U A UB
1 ,0 1 1 1 A． 0, B． ,
2．欧拉公式 eix cos x i sin x ( i为虚数本位）是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，建立了三 ln 6 ln5 ln 6 ln5
1
C． ,0
0, 1 1D． ,
1
角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知， ie 3 表示的复数的模为 ln 6
ln5 ln 6 ln5
1 3 二、多选题(共 20 分)A． B． 2 C．1 D．3 2 x 3 1,x a
2 FA FB FC 9．已知函数
f x （ ）
3．设 F为抛物线 y ＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 F为△ABC的重心，则 的值为（ ） 2 x2 4x 3 , x a
A．1 B．2 C．3 D．4 A．当 a 1时， f x 的最小值为 2
4．某学校高一年级 高二年级 高三年级的人数分别为 1600，1100，800，现用分层抽样的方法从高一年级 高二年级
B．当 a 1时， f x 的单调递增区间为 ,1 ， 2,
高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高.如果在这个样本中，有高一年级学生 32人，且测得高一年级 高二年级
f x 2, 4 a , 2
高三年级学生的平均身高分别为 160cm，165cm，170cm.则下列说法正确的是（ ） C．若 在 上单调递增，则 的取值范围是
A．高三年级抽取的学生数为 32人 D．若 f x 恰有两个零点，则 a的取值范围是 ,0 1,3
1
B．高二年级每个学生被抽取到的概率为
100 10．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量 E（单
C．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大 位：焦耳）与地震里氏震级 M之间的关系为 lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
D．所有学生的平均身高估计要小于 165cm A．地震释放的能量为 1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
5．若函数 f x sinx sinx 3cosx 的图象向左平移 个单位，得到函数 g x 的图象，则下列关于 g x 叙述正确的 B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 6.3倍12
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的 1000倍
是（ ）
D．记地震里氏震级为 n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为 an，则数列{an}是等比数列
A． g x 的最小正周期为2
11．已知圆 C： x2 y2 2kx 2y 2k 0，则下列命题是真命题的是（ ）
B． g x 在 ,
3
内单调递增 2 2 A．若圆C关于直线 y kx对称，则 k 1
C． g x 的图象关于 x 对称
12 B．存在直线与所有的圆都相切
g x D． 的图象关于 ,0 2 对称 C．当 k 1时， P x, y 为圆C上任意一点，则 y 3x的最大值为 5 3
6 a,b , | a
| 1,| b | 2 a
．已知平面向量 ，且 b 1 .若 | c | 2，则 (a b) c的最大值为（ ） D．当 k 1时，直线 l : 2x y 2 0,M为直线 l上的动点，过点M 作圆C的切线MA,MB，切点为A，B，则 CM AB
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最小值为 4
12．棱长为 a且体积为 V的正四面体 A BCD的底面 BCD内有一点 H，它到平面 ABC、ACD、ABD的距离分别为 h1，
h2， h3，E，F在 BC与 BD上，且 BE 2EC， BF 2FD，下列结论正确的是（ ）
A．若 a为定值，则 h1 h2 h3为定值 B．若 h1 h2 h2 2 2，则V 4 2
C．存在 H，使 h1，h2， h3成等比数列 D．若H EF，则 h1， h2， h3成等差数列
第 II 卷（非选择题）
18．(本题 12分)在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 2bcos A ccos A acosC．
三、填空题(共 20 分)
(1)求 A的大小；
13．（tan50°+tan60°）sin20°=___________.
2
3
(2)若 AB AC ，b c 4，求 a的值．
14．已知抛物线 y 4x的焦点为 F，点 M是抛物线上异于顶点的一点，OM 2ON （点 O为坐标原点），过点 N作 2
直线 OM的垂线与 x轴交于点 P，则 2 OP MF ___________.
1 f (x) 2
15．已知函数 f (x) x （x>0），若 ( f (x))2 a的最大值为 ，则正实数 a=___________.x 5
16．已知函数 f x x 3 3x 2 ax a 2 有三个零点，且 y f x 的图像关于直线 x b对称，则b __________；a的
最大值为__________.
四、解答题(共 70 分)
17．(本题 10分)设 Sn为等差数列{an}的前 n项和，S7=49，a2+a8=18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若 S3、a17、Sm成等比数列，求 S3m.
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19．(本题 12分)如图，在四棱锥 P－ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB，E为线段 PB的中 20．(本题 12分)甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人
点，F为线段 BC上的动点． 都投中或者都未投中则均记 0分；一人投中而另一人未投中，则投中的记 1分，未投中的记 1分设每轮比赛中甲投
2 1
中的概率为 3 ，乙投中的概率为 2 ，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
(1)经过 1轮比赛，记甲的得分为 X ，求 X 的分布列和期望；
(2)经过 3轮比赛，用 Pn n 1, 2,3 表示第 n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点 (n,Pn ) n 1, 2,3
均在函数 f (x) m(s tx )的图象上，求实数 m，s，t的值．
（1）求证：AE⊥平面 PBC；
（2）试确定点 F的位置，使平面 AEF与平面 PCD所成的锐二面角为 30°．
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2 2
21 ( x y． 本题 12分)已知椭圆 2 2 1(a>b>0)经过 A(0，2) B(-3，-1)两点. 22．(本题 12分)已知函数 f (x) (x 1)e
x ax2 b．
a b
（1）求直线 AB和椭圆的方程； （1）讨论 f (x)的单调性；
（2）求椭圆上的动点 T到 N(1，0)的最短距离； （2）从下面两个条件中选一个，证明： f (x)只有一个零点
2
（3）直线 AB与 x轴交于点 M(m，0)，过点 M作不垂直于坐标轴且与 AB不重合的直线 l与椭圆交于 C，D两点，直 1① a e ,b 2a；
2 2
PM 1
线 AC，BD分别交直线 x=m于 P，Q两点.求证： 0 a ,b 2aMQ 为定值. ② ．2
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