上海市民办文绮2023届高三下学期开学学情调研数学试题（含答案）

上海市民办文绮2023届高三下学期开学学情调研
数学学科学情调研卷
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分．
1．已知集合与相等，则实数x的值为______．
2．复数z满足（其中i为虚数单位）．则等于______．
3．若等式恒成立，则的值为______．
4．已知向量与的夹角为30°，，，则______．
5．已知，，则______．
6．已知，则的值为______．
7．在2022年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量件y之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 m 10.5 11
销售量y 11 n 8 6 5
可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，且，则其中的______．
8．已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列______．
9．A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______．（用数字作答）．
10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，设比赛停止时已达局数为，则______．
11．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
12．已知函数，，若存在实数使在上有两个零点，则实数m的取值范围是______．
二、选择题（满分18分）本大题共有4小题每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确正确选项的小方格涂黑．13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分．
13．在不超过18的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，在正方体中，P是侧面上的一个动点，若点P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹是下列哪种曲线的一部分（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
15．在某个独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知平面向量、、满足，对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必须的步骤．
17．（木大题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱锥中，底面ABC，D是PC的中点．已知，，，．
求：（1）三棱锥的体积；
（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）．
18．（本大题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知函数的最小值为－2．
（1）求实数m的值；
（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，求AC的长．
19．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．
年级名次是否近视 1~50 951~1000
近视 41 32
不近视 9 18
（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；
（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1~50的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：
0.100 0.050 0.050 0.010 0.005
k 2.706 3.841 5.624 6.635 7.879
20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知二次曲线的方程：．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；
（3）m、n为正整数，且，是否存在两条曲线，，其交点P与点，满足？若存在，求m、n的值；若不存在，说明理由．
21．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．
（1）已知函数是区间的“平均值函数”，求该函数的平均值点；
（2）当函数是区间上的“平均值函数”，且有两个不同的平均值点时，求实数m的取值范围；
（3）是否存在区间，使得函数是区间上的“平均值函数”？若存在，求出所有满足条件的区间；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1．2 2．1 3．－1 4． 5．0.06 6． 7．10 8．4046
9．30 10． 11．（1）（2）（3）（4） 12．
二、选择题
13．B 14．D 15．C 16．B
三、解答题
17．【详解】：（1）因为，，，所以，
又底面ABC，
所以三棱锥的体积为；
（2）取PB的中点E，连接AE，DE，则，
所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．
在中，，，，
由余弦定理可得，所以．
所以异面直线BC与AD所成的角．
18．【详解】：（1），
∵的最小值为－2，∴，解得．
（2）由得，
∵，∴，
∴，解得，
∵，，∴，
∴．
由正弦定理，得，得，所以．
19．【详解】：（1）设各组的频率为．
由图可知．第一组有3人，第二组7人，第三组27人，
因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27，24，21，18，
所以视力在5.0以下的频率为人，
故全年级视力在5.0以下的人数约为；
（2）
∵观测值为，
∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下有95%的把握认为学生的视力与学生的学习成绩有关系．
（3）据题意知，9人中年级名次在1~50名和951~1000名的人数分别为3人和6人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3
，，
，
X 0 1 2 3
P
所以．
20．【详解】：（1）当且仅当时，方程表示椭圆；
当时，方程表示双曲线；
（2）化简，
因为双曲线与直线有公共点，所以或或，
双曲线的实轴长为，当时，双曲线实轴长最长为．
此时双曲线方程为；
（3）由（1）知，，是椭圆，，，，是双曲线，
任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点
设，，，，
根据椭圆、双曲线定义及（即），
所以，所以．
所以这样的，存在，且或或．
21．【详解】：（1）设为平均值点，则，解得，
又，故该函数的平均值点为；
（2）设是平均值点，则由，得．
故关于x的方程在区间内有两个不同的解
记，则
令，得驻点．
x 1
极小值
因此，函数在上严格减，在上严格增，
又，，
故实数m的取值范围是．
（3）令，
假设存在区间，使得函数是区间上的“平均值函数”，则存在
在区间上有解，
又，当时，，当时．，
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以，
即，即，即，即，
又因为，即，所以与相矛盾．