鲁教版九年级数学上册 第二章 直角三角形的边角关系 综合素质评价试题（含答案）

第二章 直角三角形的边角关系 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【2022·烟台期末】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，则下列正确的是( )
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosB＝
2．【2023·泰安市东平县月考】在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB的值为( )
A． B． C．2 D．
3．【2022·聊城期末】如图，在△ABC中，点A、B、C都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝( )
A．1 B． C． D．
4．【教材P51习题T2变式】如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE＝
5 m，斜坡BC的坡比为5∶12，则斜坡BC＝( )
A．13 m B．8 m C．18 m D．12 m
5．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔6海里的A处，若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，则海轮航行的距离AB的长是( )
A．6海里 B．6cos 55°海里 C．6sin 55°海里 D．6tan 55°海里
6．【2022·淄博期末】如图，∠ACB＝45°，∠PRQ＝125°，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有( )
A．h1＝h2
B．h1C．h1>h2
D．以上都有可能
7．【2022·威海期末】如图，利用四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”中，小正方形的面积是1，大正方形的面积是25，直角三角形中较大的锐角为β，则tan β＝( )
A． B．
C． D．
8．【2022·临沂期末】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则sin∠BB′C′的值为( )
A． B． C． D．
9．【2022·日照期中】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC·AC，tanα＝3，则点C的坐标为( )
A．(－2，6) B．(－3，9) C． D．
10．如图，小欢同学为了测量建筑物AB的高度，从建筑物底端点B出发，经过一段坡度i＝1∶2.4的斜坡，到达点C，测得坡面BC的长度为15.6 m，再沿水平方向行走30 m到达点D(A，B，C，D在同一平面内)．在点D处测得建筑物顶端A的仰角为37°，则建筑物AB的高度约为(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)(　　)
A．27.3 m B．28.4 m C．33.3 m D．38.4 m
二、填空题(每题4分，共24分)
11．如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠A＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为_______m.
12．如图，点P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_______．
13．【2023·威海乳山校级月考】某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为_______．
14．【2023·威海文登区联考】在△ABC中，sinB＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为_______．
15．【母题：教材P56复习题T14】如图，为测量旗杆AB的高度，在教学楼一楼点C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在四楼点D处测得旗杆顶部的仰角为30°，点C与点B在同一水平线上．已知CD＝9.6 m，则旗杆AB的高度为_______m.
16．【2022·绵阳】如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上，航行半小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，则CD＝_______海里(计算结果不取近似值)．
三、解答题(17～19题每题10分，其余每题12分，共66分)
17．计算：
(1)【2022·乐山】sin 30°＋－2－1；　 (2)＋4cos 60°·sin 45°－.
18．【母题：教材P42例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，求这个三角形的其他元素．
19．【2022·菏泽】荷泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73)
20．【2022·无锡】如图，已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，点E在BC上，CE＝AE，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF.
(1)求EF的长；
(2)求sin∠CEF的值．
21．【2023·威海文登区联考】“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2 m，
BF＝3 m.
(1)天睛时打开“天幕”，若α＝65°，求遮阳宽度CD(结果精确到0.1 m)；
(2)下雨时收拢“天幕”，α从65°减小到45°，求点E下降的高度(结果精确到0.1 m)．
(参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14，≈1.41)
22．【2022·泰州】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝ 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 34°≈0.56, tan 34°≈0.67，tan 56°≈ 1.48)
答案
一、1．B　【点拨】因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，cosB＝＝.故选B.
2．A　【点拨】∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴sinA＝cosB＝.故选A.
3．A　【点拨】由题图可知AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠BCA＝90°，
∴tan∠BAC＝＝1.故选A.
4．A　【点拨】过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵坝高DE＝5 m，CF⊥AB，∴DE＝CF＝5 m．又∵斜坡BC的坡比为5∶12，∴BF＝12 m，∴在Rt△BCF中，BC＝＝＝13(m)．
故选A.
5．B　【点拨】由题易知∠B＝90°，∠A＝55°，AP＝6海里，∴AB＝AP·cos A＝6cos 55°海里．故选B.
6．B　【点拨】如图，分别作出两个三角形的高h1，h2.
∵∠ACB＝45°，AC＝5，∴h1＝AC×sin 45°＝5sin 45°.∵∠PRQ＝125°，PR＝5，∴h2＝PR×sin(180°－125°)＝5sin 55°.∵sin 55°>sin 45°，∴h2>h1.故选B.
7．A　【点拨】由题意知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为5.设直角三角形中较小直角边的边长为x，则有(1＋x)2＋x2＝25.解得x＝3(负值不合题意，舍去)，∴较长直角边的边长为x＋1＝4，∴tan β＝.故选A.
8．C　【点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得AB＝＝＝10.∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，∴AC′＝AC＝6，B′C′＝BC＝8，∠AC′B′＝∠C＝90°. ∴BC′＝AB－AC′＝10－6＝4.
∴在Rt△BB′C′中，由勾股定理得BB′＝＝＝4.
∴sin∠BB′C′＝＝＝.故选C.
9．C　【点拨】∵OC2＝BC·AC，∴＝.又∵∠C＝∠C，∴△OBC∽△AOC，∴∠A＝∠COB.∵α＋∠COB＝90°，∠A＋∠ABO＝90°，∴∠ABO＝α.
∵tanα＝3，∴tan∠ABO＝＝3，∴OA＝3OB.由勾股定理可得OA2＋OB2＝AB2，即9OB2＋OB2＝(2)2，∴OB＝2，∴OA＝6.∴tanA＝＝.如图，过点C作CD⊥x轴于点D.∵tanα＝3，∴设C(－m，3m)，m>0.∴AD＝6＋m.
∵tanA＝，∴＝，即＝，解得m＝.经检验，m＝是原方程的解．∴点C的坐标为.故选C.
10．A　【点拨】设AB的延长线与DC的延长线交于点E.
∵BC＝15.6 m，斜坡BC的坡度i＝1∶2.4＝，
∴cos∠BCE＝，sin∠BCE＝，∴EC＝BC·cos∠BCE＝15.6×＝14.4(m)，BE＝BC·sin∠BCE＝15.6×＝6(m)，∴ED＝EC＋CD＝14.4＋30＝44.4(m)．
又∵∠D＝37°，∴AE＝ED·tan 37°≈44.4×0.75＝33.3(m)，
∴AB＝AE－BE≈33.3－6＝27.3(m)．
二、11．acosα　【点拨】∵∠C＝90°，∠A＝α，AB＝a m，∴AC＝AB·cosα＝
acosα m.
12．　【点拨】∵点P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝5.
∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝.
13．1∶2　【点拨】由勾股定理得斜坡的水平宽度为＝4(米)．则这个坡面的坡度i＝2∶4＝1∶2.
14．2＋2或2－2　【点拨】分情况讨论：如图①，当AD在△ABC的内部时，∵AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝45°.∵AC＝2，∴DC＝AD＝AC·sin 45°＝2 ×＝2.
在Rt△ABD中，sinB＝，AD＝2，∴sinB＝＝，解得AB＝4.根据勾股定理得BD＝＝＝2.∴BC＝BD＋DC＝2＋2.如图②，当AD在△ABC的外部时，∵AD是BC边上的高，∴∠D＝90°.
在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝DC＝AC·sin 45°＝2.
在Rt△ABD中，sinB＝，∴sinB＝＝，∴AB＝4.∴BD＝＝＝2.∴BC＝BD－DC＝2－2.综上，BC的长为2＋2或2－2.
15．14.4　【点拨】过点D作DE⊥AB于E，则∠AED＝90°，四边形 BCDE是矩形，∴BE＝CD＝9.6 m，∠CDE＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°＋30°＝120°.∵∠ACB＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠CAD＝30°＝∠ACD，∴AD＝CD＝
9.6 m．在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝4.8 m，∴AB＝AE＋BE＝4.8＋9.6＝14.4(m)．
16．(5－5)　【点拨】如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.依题意得，AB＝20×
＝10(海里)，∠FAD＝15°，∠FAC＝45°，∠FAB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°－45°＝45°，∠DAC＝
∠FAC－∠FAD＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝90°.在Rt△ACB中，AC＝AB·sin 45°＝10×＝5(海里)．设DE＝x海里，在Rt△DAE中，AE＝＝＝x(海里)．∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝45°.在Rt△DEC中，CE＝＝x海里，∴DC＝x海里．∵AE＋EC＝AC，∴x＋x＝5，解得x＝，∴DC＝×＝(5－5)海里．
三、17．解：(1)原式＝＋3－＝3.
(2)原式＝1＋4××－＝1＋－(2－)＝－1＋＋.
18．解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
∴BC＝AC·tan A＝15×＝5.
∴AB＝2BC＝2×5＝10.
19．解：在Rt△ABC中，AB＝8米，∠ABC＝37°，
∴AC＝AB·sin∠ABC≈8×0.60＝4.8(米)，
BC＝AB·cos∠ABC≈8×0.80＝6.4(米)．
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
∴CD＝≈≈8.3(米)，
∴BD＝CD－BC≈8.3－6.4＝1.9(米)．
答：BD的长约为1.9米．
20．解：(1)如图，设BE＝x，则EC＝4－x，
∴AE＝EC＝4－x.
在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，
∴(2)2＋x2＝(4－x)2，解得x＝1.
∴BE＝1，AE＝CE＝3.
∵AE＝EC，∴∠1＝∠2.
∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝90°－∠2，
∴∠CAB＝90°－∠1.
由折叠可知△FAC≌△BAC，
∴∠FAC＝∠CAB＝90°－∠1，AF＝AB＝2 ，
∴∠FAC＋∠1＝90°，即∠FAE＝90°.
在Rt△FAE中，EF＝＝＝.
(2)如图，过F作FM⊥BC于M，
∴∠FME＝∠FMC＝90°.
设EM＝a，则MC＝3－a.
在Rt△FME中，FM2＝FE2－EM2，
在Rt△FMC中，FM2＝FC2－MC2，
∴FE2－EM2＝FC2－MC2，
∴()2－a2＝42－(3－a)2，∴a＝.
∴EM＝，∴FM＝＝ ，
∴sin∠CEF＝＝＝ .
21．解：(1)∵AD＝AC＝2 m，∠AOD＝90°，
∴CD＝2OD.
在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝65°，
∴OD＝AD·sinα＝2×sin 65°≈2×0.91＝1.82(m)，
∴CD＝2OD≈3.6 m.
答：遮阳宽度CD约为3.6 m.
(2)如图，过点E作EH⊥AB于H，则∠BHE＝90°.
∵AB⊥BF，EF⊥BF，∴∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴四边形BFEH为矩形，∴EH＝BF＝3 m.
在Rt△AHE中，tanα＝，∴AH＝.
当α＝65°时，AH＝≈≈1.4(m)，
当α＝45°时，AH＝＝＝3(m)，
∴当α从65°减小到45°时，点E下降的高度约为3－1.4＝1.6(m)．
22．解：如图，过M点作ME⊥MN交CD于E点，则∠NME＝90°.
由题易得四边形AMCB为矩形，
∴MC＝AB＝8 m，AB∥CM，
∴∠NMC＝180°－∠BNM＝180°－118°＝62°.
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，
∴∠EMD＝∠EMC＝90°－∠NMC＝90°－62°＝28°，
∴∠CMD＝56°.
在Rt△CMD中，tan∠CMD＝，
即1.48≈，∴CD≈11.8 m.
即水平地面上最远处D到小强的距离CD约是11.8 m.