鲁教版九年级数学上册 第一章 反比例函数 综合素质评价试题（含答案）

第一章 反比例函数 综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．【2023·淄博张店区实验中学月考】下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是( )
A．y＝3x B．y＝3x＋1 C．y＝ D．y＝3x2
2．若反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，－3)，则它的图象也一定经过的点是( )
A．(－2，－3) B．(－3，－2) C．(1，－6) D．(6，1)
3．【2023·泰安期末】已知反比例函数y＝－，则下列描述正确的是( )
A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点
C．图象必经过点 D．y随x的增大而减小
4．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数关系．如图是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，当电阻R为5Ω时，电流I为( )
A．6 A B．5 A C．1.2 A D．1 A
5．【母题：教材P16习题T3(2)】如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝(m≠0)的图象交于点A(－1，2)，B(2，－1)，则不等式kx＋b<的解集是( )
A．x＜－1或x＞2 B．－1＜x＜0或0＜x＜2
C．x＜－1或0＜x＜2 D．－1＜x＜0或x＞2
6．【2022·邵阳】如图是反比例函数y＝的图象，点A(x，y)是反比例函数图象上任意一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，则△AOB的面积是( )
A．1 B． C．2 D．
7．【2023·泰安市东平县月考】函数y＝kx－k与y＝(k≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
8．设一次函数y1＝－kx＋b(k≠0)，反比例函数y2＝(k≠0)．若函数y1和y2的图象仅有一个交点，则称函数y1和y2具有性质P.以下k，b的取值，使函数y1和y2具有性质P的是( )
A．k＝2，b＝4 B．k＝3，b＝4
C．k＝4，b＝4 D．k＝5，b＝4
9．【2022·枣庄】如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y＝(k≠0)的图象过点C，则k的值为( )
A．4 B．－4 C．－3 D．3
10．如图，在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，有n个点P1，P2，P3，P4，…，Pn，它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n(n为大于1的正整数)．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，…，Sn－1，则S1＋S2＋S3＋S4＋…＋Sn－1的结果为( )
A． B．2 C．2－ D．2＋
二、填空题(每题4分，共24分)
11．若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则b的取值范围是_______．
12．【2023·淄博张店区实验学校月考】如图，点P(x，y)在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的表达式为_______．
13．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例关系，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则近视眼镜的度数y与镜片焦距x之间的函数关系式为_______．(无需确定x的取值范围)
14．【母题：教材P16习题T3(1)】如图，正比例函数y＝－k1x和反比例函数y＝－的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是(3，2)，则点B的坐标是_______．
15．【母题：教材P17复习题T3】已知点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在反比例函数y＝(m是常数)的图象上，且y116．将一副三角板放置在如图所示的平面直角坐标系中，三角板顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移______个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝(k≠0，且x＞0)的图象上．
三、解答题(17题8分，18，19题每题10分，20，21题每题12分，22题14分， 共66分)
17．【2023·泰山外国语学校月考】已知反比例函数y＝(m≠8)．
(1)若函数图象经过点A(－1，6)，求m的值；
(2)若函数图象在第二、四象限，求m的取值范围；
(3)当x＞0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b与双曲线y＝的一个交点为A(2，4)，与y轴交于点B.
(1)求m的值和点B的坐标；
(2)点P在双曲线y＝上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．
19．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分)，当空气中每立方米的含药量低于2 mg时，对人体无毒害作用．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求出线段OA和双曲线的表达式；
(2)从消毒开始，至少多少分钟后，师生才能进入教室？
20．【2022·广安】如图，一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象在第二象限交于点A(－4，3)，与y轴负半轴交于点B，且OA＝OB.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)根据图象直接写出当x<0时，不等式kx＋b≤的解集．
21．【2022·烟台模拟】如图，以原点O为顶点作正方形OABC，已知点C(0，3)，点A在x轴的正半轴上，直线y＝x－1与边AB，OA分别交于点D，M.反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象过点D，与BC交于点N，连接MN.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点P是直线DM上的动点，当CP＝MN时，求点P的坐标．
22．【2023·威海文登区联考】如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(m，4)，B(2，n)两点，与x轴相交于N点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在直线AB上是否存在点P，使得S△ONP＝3S△AOB，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案
一、1．C　【点拨】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝(k≠0)，即可判定各函数的类型是否符合题意．
2．C　【点拨】因为反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，－3)，所以k＝2×(－3)＝－6.分别计算选项中各点的横纵坐标之积，根据反比例函数图象上点的坐标特征判断，只有1×(－6)＝－6.故选C.
3．C　【点拨】∵y＝－中k＝－6<0，∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A、D不符合题意；当x＝4时，y＝－＝－，∴函数图象经过点，不过点，故选项B不符合题意，选项C符合题意．故选C.
4．C　【点拨】设I＝(U≠0)，则U＝3×2＝6，所以I＝.当R＝5 Ω时，I＝1.2 A．故选C.
5．D　【点拨】由函数图象可知，当一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象在反比例函数y＝(m≠0)的图象下方时，x的取值范围是－12，∴不等式kx＋b<的解集是－12.故选D.
6．B　【点拨】∵A的坐标为(x，y)，∴OB＝x，AB＝y.∵A为反比例函数y＝的图象上一点，∴xy＝1，∴S△AOB＝·AB·OB＝xy＝×1＝.故选B.
7．C　【点拨】当k＞0时，一次函数y＝kx－k的图象过第一、三、四象限，反比例函数y＝的图象在第二、四象限；当k＜0时，一次函数y＝kx－k的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝的图象在第一、三象限．∴A、B、D不符合题意，C符合题意．故选C.
8．A　【点拨】整理方程－kx＋b＝得－kx2＋bx－k＝0.∵两函数图象只有一个交点，∴一元二次方程判别式为0，即b2－4k2＝0.故选A.
9．C　【点拨】如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABC＝90°，∴∠ABO＋∠CBE＝90°.∵∠OAB＋∠ABO＝90°，∴∠OAB＝
∠CBE. ∵点A的坐标为(4，0)，∴OA＝4.∵AB＝5，∴OB＝＝3.在△ABO和△BCE中，∴△ABO≌△BCE，∴OA＝BE＝4，CE＝
OB＝3，∴OE＝BE－OB＝4－3＝1，∴点C的坐标为(－3，1)．∵反比例函数y＝(k≠0)的图象过点C，∴k＝xy＝－3×1＝－3.故选C.
10．C　【点拨】如图，由y＝得S长方形OAP1B＝OA·OB＝2，易知Pn(n，)∴S1＋S2＋S3＋S4＋…＋Sn－1＝S长方形OAP1B－1×＝2－.故选C.
二、11．b<－1　【点拨】根据反比例函数y＝的性质k>0，图象位于第一、三象限；k<0，图象位于第二、四象限，可知1＋b<0，∴b<－1.
12．y＝　【点拨】∵点P(x，y)在反比例函数y＝的图象上，PA⊥x轴，
∴xy＝k，OA＝－x，PA＝y.∵S△AOP＝2，∴×AO·PA＝2.即－xy＝4，∴xy＝－4，∴k＝－4.∴该反比例函数的表达式为y＝.
13．y＝　【点拨】设y＝，由于(0.25，400)满足此函数表达式，∴k＝0.25×
400＝100，∴y＝.
14．(－3，－2)　【点拨】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称．∵点A的坐标为(3，2)，∴点B的坐标为(－3，－2)．
15．－10，∴反比例函数y＝(m是常数)的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．①当点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在同一象限时，∵y1a＋1，此不等式无解，∴此种情况不符合题意，舍去；②当点A(a，y1)，B(a＋1，y2)在不同象限时，∵y10，解得－116．(12－)　【点拨】过点E作EN⊥DB于点N，过点C作CM⊥BD于点M，则∠DNE＝∠CMB＝90°.在Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，AB＝4，∴AD＝8，∴DB＝12.∵△BCD是等腰直角三角形，∴CM＝BM＝DB＝6，
∴C(4＋6，6)．∵∠DNE＝90°，∠DBA ＝90°，∴EN∥AB，∴易得△DEN ∽△DAB，∴＝＝.∵DE＝AD，∴EN＝AB＝，DN＝DB＝3，∴点E的横坐标为4－＝3，纵坐标为12－3＝9.∴E(3，9)．设将这副三角板整体向右平移m个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝(k≠0，且x>0)的图象上，则平移后C，E两点的对应点分别为C′(4＋6＋m，6)，E′(3＋m，9)，∴∴(4＋6＋m)×6＝(3＋m)×9，解得m＝12－.
三、17．解：(1)∵函数图象经过点A(－1，6)，
∴m－8＝xy＝－1×6＝－6，∴m＝2.
(2)∵函数图象在第二、四象限，
∴m－8＜0，解得m＜8.∴m的取值范围是m＜8.
(3)∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m－8＞0，解得m＞8.
∴m的取值范围是m＞8.
18．解：(1)∵双曲线y＝经过点A(2，4)，∴m＝8.
∵直线y＝x＋b经过点A(2，4)，
∴b＝2.∴此直线与y轴的交点B的坐标为(0，2)．
(2)点P的坐标为(8，1)或(－8，－1)．
【点拨】(2)设△OBP的边OB边上的高为x，根据三角形的面积可得|x|·OB＝8，从而可得点P的横坐标；再代入反比例函数的表达式可得点P的纵坐标，即可得点P的坐标．
19．解：(1)设双曲线的表达式为y＝(k≠0)，将(25，6)代入上式，得k＝25×6＝150.
∴双曲线的表达式为y＝.
将y＝10代入y＝，得10＝，解得x＝15，
∴A(15，10)．
设直线OA的表达式为y＝nx，
将A(15，10)的坐标代入上式，得n＝＝，
∴线段OA的表达式为y＝x(0≤x＜15)，双曲线的表达式为y＝(x≥15)．
(2)将y＝2代入y＝，得2＝，解得x＝75.
答：从消毒开始，至少75 min后，师生才能进入教室．
20．解：(1)把A(－4，3)的坐标代入y＝，得
m＝－4×3＝－12，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
∵A(－4，3)，∴OA＝＝5.
∵OA＝OB，∴OB＝5，∴B(0，－5)．
把A(－4，3)，B(0，－5)的坐标分别代入y＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的表达式为y＝－2x－5.
(2)当x<0时，不等式kx＋b≤的解集为－4≤x<0.
21．解：(1)∵C(0，3)，∴OC＝3.
∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝3.
∵M、D在直线y＝x－1上，∴M(1，0)，D(3，2)．
∵D在y＝(k≠0，x>0)的图象上，∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝(x>0)．
(2)设P(a，a－1)．
对于y＝，当y＝3时，x＝2，∴N(2，3)．
∵M(1，0)，∴MN2＝(2－1)2＋32＝10.
∵CP＝MN，∴CP2＝MN2，∴a2＋(a－1－3)2＝10，
整理得，a2－4a＋3＝0，解得a1＝1，a2＝3.
∴P(1，0)或(3，2)．
22．解：(1)∵点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，
∴＝4，解得m＝1，∴点A的坐标为(1，4)．
∵点B在反比例函数y＝(x>0)的图象上，
∴＝n，解得n＝2.∴点B的坐标为(2，2)．
∵点A、B在y＝kx＋b的图象上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6.
(2)直线y＝－2x＋6与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为(3，0)．
∴S△AOB＝S△AON－S△BON＝×3×4－×3×2＝3.
(3)存在．设P(x，y)．
由(2)知S△AOB＝3，则S△ONP＝3S△AOB＝9.
∵ON＝3，∴S△ONP＝×3|y|＝9，
∴|y|＝6，∴y＝6或y＝－6.
将y＝6代入y＝－2x＋6中，得6＝－2x＋6，解得x＝0.
将y＝－6代入y＝－2x＋6中，得－6＝－2x＋6，解得x＝6.
故点P的坐标为(0，6)或(6，－6)．