专题05 共点力作用下的静态平衡问题 学案（有解析）

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专题05 共点力作用下的静态平衡问题
【核心要点】
1.平衡状态
物体处于静止状态或匀速直线运动状态.
2.共点力的平衡条件
F合＝0或者
3.平衡条件的推论
(1)二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反.
(2)三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反，并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形.
(3)多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反.
【核心方法】
涉及三个力的静态平衡问题，一般选择运用矢量三角形法，涉及四个及四个以上力的静态平衡问题，一般选择运用正交分解法。
【经典例题】
类型一：单个物体静态平衡问题
【例题1】近年来，智能手机的普及使“低头族”应运而生。近日研究发现，玩手机时，就有可能让颈椎承受多达60磅(约270 N)的重量。不当的姿势与一系列健康问题存在关联，如背痛、体重增加、胃痛、偏头痛和呼吸道疾病等，当人体直立时，颈椎所承受的压力等于头部的重量；但当低头时，颈椎受到的压力会随之变化。现将人低头时头颈部简化为如图所示的模型：重心在头部的P点，颈椎OP(轻杆)可绕O转动，人的头部在颈椎的支持力和沿PA方向肌肉拉力的作用下处于静止。假设低头时颈椎OP与竖直方向的夹角为45°，PA与竖直方向的夹角为60°，此时颈椎受到的压力约为直立时颈椎受到的压力的(≈1.414，≈1.732)(　　)
A．4.2倍 B．3.3倍
C．2.8倍 D．2.0倍
【答案】B
【解析】：设头部的质量为m，当人体直立时，颈椎所受的压力F＝mg；当低头时，设颈椎所受到的压力为F1，以P点为研究对象，受力分析如图所示，由正弦定理得＝，解得F1≈3.3F，选项B正确，A、C、D错误。
类型二：物体受力个数判断与分析
【例题2】如图所示，质量为m的小球用水平轻质弹簧系住，并用倾角θ＝37°的木板托住，小球处于静止状态，弹簧处于压缩状态，则(　　)
A．小球受木板的摩擦力一定沿斜面向上
B．弹簧弹力不可能为mg
C．小球可能受三个力作用
D．木板对小球的作用力有可能小于小球的重力mg
【答案】C
【解析】：小球的受力分析如图，
当mgsin 37°>Fcos 37°，小球受到沿斜面向上的摩擦力，当mgsin 37°类型三：涉及轻绳、轻杆、匀质绳静态平衡问题
【例题3】如图所示，一轻质细绳一端固定于竖直墙壁上的O点，另一端跨过大小可忽略、不计摩擦的定滑轮P悬挂物块B，OP段的绳子水平，长度为L。现将一带挂钩的物块A挂到OP段的绳子上，A、B物块最终静止。已知A(包括挂钩)、B的质量比为＝，则此过程中物块B上升的高度为(　　)
A．L B． C.L D．L
【答案】D
【解析】将一带挂钩的物块A挂到OP段的绳子上，A、B物块最终静止后，绳子的张力为B的重力，两段绳子的合力为A的重力，即2mBgcos θ＝mAg，解得cos θ＝，sin θ＝，由几何关系L＝L′sin θ，此过程中物块B上升的高度为L′－L＝L，选项D正确。
【例题4】匀质铁链悬挂在天花板上，其中A点是最低点．C点是悬挂点，B点是介于A、C之间的某一点，关于这三点铁链张力大小，下列说法正确的是(　　)
A．A点的张力最大 B．C点的张力最大
C．A、B、C三点张力大小均相等 D．铁链C处切线方向有可能是竖直方向
【答案】B
【解析】设AC段铁链的质量为m，对AC段受力分析，受重力、左侧的铁链对其向左的拉力，天花板的拉力，如图所示
根据平衡条件和受力关系，
有：FC＝
可知C点的拉力大于A点的拉力
再以AB段为研究对象，如图，由于AB段铁链的质量小于AC段的质量，则：
FB＝所以A、B、C三点张力大小关系为A点最小，C点最大，而且A点的张力的方向沿水平方向．
故只有B项正确，A、C、D三项错误．
类型四：平衡极值问题
【例题5】倾角为θ＝37°的斜面体与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5.现给A施加一水平力F，如图所示．设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0.5
【答案】A
【解析】设物体刚好不下滑时F＝F1，
则F1·cos θ＋μFN＝G·sin θ，
FN＝F1·sin θ＋G·cos θ.
得：＝＝＝；
设物体刚好不上滑时F＝F2，则：
F2·cos θ＝μFN′＋G·sin θ，
FN′＝F2·sin θ＋G·cos θ，
得：＝＝＝2，
即≤≤2，故F与G的比值不可能为A.
【例题6】(多选)如图所示，一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角且绷紧，小球A静止，则需对小球施加的力可能等于(　　)
A.mg　　　　 B．Mg C.mg D．mg
【答案】AB
【解析】　
以小球为研究对象进行受力分析，如图所示，当力F与细绳垂直时，所用的力最小。根据平衡条件得F的最小值为Fmin＝Gsin 30°＝mg，所以对小球施加的力F≥mg，故A、B正确。
【精讲精练】
1.某同学参加“筷子夹玻璃珠”游戏,如图所示,夹起玻璃珠后,左侧筷子与竖直方向的夹角θ为锐角,右侧筷子竖直,且两筷子始终在同一竖直平面内。保持玻璃珠静止,忽略筷子与玻璃珠间的摩擦,下列说法正确的是(　 　)
A.两侧筷子对玻璃珠的合力比重力大
B.两侧筷子对玻璃珠的合力比重力小
C.左侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠受到的重力大
D.右侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠受到的重力大
【答案】C
2.如图所示，两竖直木桩ab、cd固定，一不可伸长的轻绳两端固定在a、c端，绳长L，一质量为m的物体A通过轻质光滑挂钩挂在轻绳中间，静止时轻绳两端夹角为120°。若把轻绳换成自然长度为L的橡皮筋，物体A悬挂后仍处于静止状态，橡皮筋处于弹性限度内。若重力加速度大小为g，关于上述两种情况，下列说法正确的是(　　)
A．轻绳的弹力大小为2mg
B．轻绳的弹力大小为mg
C．橡皮筋的弹力大于mg
D．橡皮筋的弹力大小可能为mg
【答案】B
3.如图所示，ACB是一光滑的、足够长的、固定在竖直平面内的“∧”形框架，其中CA、CB边与竖直方向的夹角均为θ.P、Q两个轻质小环分别套在CA、CB上，两根细绳的一端分别系在P、Q环上，另一端和一绳套系在一起，结点为O.将质量为m的钩码挂在绳套上，OP、OQ两根细绳拉直后的长度分别用l1、l2表示，若l1∶l2＝2∶3，则两绳受到的拉力之比F1∶F2等于(　　)
A．1∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．4∶9
【答案】A
4.如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为(　　)
A. B.m C．m D．2m
【答案】B
5.如图所示，小圆环A吊着一个质量为m2的物块并套在另一个竖直放置的大圆环上，有一细绳一端拴在小圆环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B的一个小滑轮后吊着一个质量为m1的物块.如果小圆环A、滑轮、绳子的大小和质量以及相互之间的摩擦都可以忽略不计，绳子不可伸长，平衡时弦AB所对的圆心角为α，则两物块的质量之比m1∶m2应为(　　)
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A.cos B.sin C.2sin D.2cos
【答案】C
6.(多选)如图所示，滑块A与小球B用同一根不可伸长的轻绳相连，且滑块A套在水平杆上.现用大小为10 N、与水平方向成30°角的力F拉B，使A、B一起向右匀速运动，运动过程中保持相对静止.已知A、B的质量分别为2 kg、1 kg，取g＝10 m/s2，则(　　)
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A.轻绳与水平方向的夹角θ＝60°
B.轻绳与水平方向的夹角θ＝30°
C.滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为
D.滑块A与水平直杆之间的动摩擦因数为
【答案】BD
7.(多选)如图所示，轻质光滑滑轮两侧用轻绳连着两个物体A与B，物体B放在水平地面上，A、B均静止.已知A和B的质量分别为mA、mB，绳与水平方向的夹角为θ(θ<90°)，重力加速度为g，则(　　)
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A.物体B受到的摩擦力可能为零
B.物体B受到的摩擦力大小为mAgcos θ
C.物体B对地面的压力可能为零
D.物体B对地面的压力大小为mBg－mAgsin θ
【答案】BD
8.如图所示,左侧是倾角为60°的斜面,右侧是圆弧面的物体固定在水平地面上,圆弧面底端的切线水平,一根两端分别系有质量为m1、m2小球的轻绳跨过其顶点上的小滑轮。当它们处于平衡状态时,连接m2小球的轻绳与水平线的夹角为60°,不计一切摩擦,两小球可视为质点。两小球的质量之比m1∶m2等于(　　)
A.1∶1 B.2∶3 C.3∶2 D.3∶4
【答案】B
9.如图所示，固定在水平地面上的物体P，左侧是光滑圆弧面，一根轻绳跨过物体P顶点上的小滑轮，一端系有质量为m＝4 kg的小球，小球与圆心连线跟水平方向的夹角θ＝60°，绳的另一端水平连接物块3，三个物块重均为50 N，作用在物块2的水平力F＝20 N，整个系统处于平衡状态，取g＝10 m/s2，则以下说法正确的是(　　)
A．1和2之间的摩擦力是20 N
B．2和3之间的摩擦力是20 N
C．3与桌面间的摩擦力为20 N
D．物块3受6个力作用
【答案】B
10.将一光滑轻杆固定在地面上，杆与地面间夹角为θ，一光滑轻环套在杆上。一个大小和质量都不计的滑轮用轻绳OP悬挂在天花板上，用另一轻绳通过滑轮系在轻环上，用手拉住轻绳另一端并使OP恰好在竖直方向，如图所示。现水平向右拉绳，当轻环重新静止不动时OP绳与天花板之间的夹角为(　　)
A．90° B．45° C．θ D．45°＋
【答案】D
11.如图所示，一根铁链一端用细绳悬挂于A点，为了测量这个铁链的质量，在铁链的下端用一根细绳系一质量为m的小球，待整个装置稳定后，测得两细绳与竖直方向的夹角为α和β，若tanα︰tanβ＝1︰3，则铁链的质量为 ( )
A．m　 B．2m　　 C．3m　 D．4m
【答案】B
12.如图所示，质量分别为3m和m的两个可视为质点的小球a、b，中间用一细线连接，并通过另一细线将小球a与天花板上的O点相连，为使小球a和小球b均处于静止状态，且Oa细线向右偏离竖直方向的夹角恒为37°，需要对小球b朝某一方向施加一拉力F.若已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.重力加速度为g，则当F的大小达到最小时，Oa细线对小球a的拉力大小为(　　)
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A.2.4mg B.3mg C.3.2mg D.4mg
【答案】C
13. (多选)如图,把重为20 N的物体放在倾角为θ=30°的粗糙斜面上并静止。物体与固定斜面上的轻弹簧相连接,若物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N,则弹簧的弹力(弹簧与斜面平行)(　 　)
A.可以为22 N,方向沿斜面向上
B.可以为2 N,方向沿斜面向下
C.可以为2 N,方向沿斜面向上
D.不可以为零
【答案】ABC
14.如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态。(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
【答案】(1)m1g　m1g　(2)m1g，方向水平向左 (3)24 kg
答案
1.解析:由于玻璃珠保持静止,所以两侧筷子对玻璃珠的合力与重力等大反向,故A、B错误;作出玻璃珠的受力示意图如图所示,根据平行四边形定则可知,F2一定大于mg,即左侧筷子对玻璃珠的弹力一定比玻璃珠受到的重力大,由于θ未知,右侧筷子对玻璃珠的弹力不一定比玻璃珠受到的重力大,故C正确,D错误。
2.【解析】设两杆间的距离为s，细绳的总长度为L，静止时轻绳两端夹角为120°，由于重物的拉力的方向竖直向下，所以三个力之间的夹角都是120°，根据矢量的合成可知，三个力的大小是相等的，故轻绳的弹力大小为mg，故A错误，B正确；若把轻绳换成自然长度为L的橡皮筋，橡皮筋受到拉力后长度增大，杆之间的距离不变，所以重物静止后两根绳子之间的夹角一定小于120°，两个分力之间的夹角减小，而合力不变，所以两个分力减小，即橡皮筋的拉力小于mg，故C、D错误。
3.【解析】系统最终将处于平衡状态，两个轻质小环P、Q分别受到两个力作用，一是框架对它们的支持力，垂直AC、BC边向外，二是细绳拉力，这两个力是平衡力．根据等腰三角形知识可知两细绳与水平方向的夹角相等，对结点O受力分析，其水平方向的合力为零，可得出两细绳受到的拉力相等，即F1∶F2等于1∶1，本题选A.注意题目中提到的“轻质小环”可以不计重力，绳子的长短并不能代表力的大小，要与力的平行四边形定则中的边长区别开来，力的平行四边形定则中边长的长与短代表着力的大小．
4.【解析】对B受力分析(如图甲)得F2＝＝2F，
对工件受力分析(如图乙)。
其中F2′＝F2，得FN＝F2′cos 30°＝100 N，故B正确。
5.【解析】对小圆环A受力分析，如图所示，FT2与FN的合力与FT1平衡，由矢量三角形与几何三角形相似，可知＝，其中FT2＝m2g，F＝FT1＝m1g，联立解得＝2sin ，C正确.
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6.【解析】对B受力分析，B受重力、拉力F及绳子的拉力而处于平衡状态；将两拉力合成，因拉力为10 N，小球的重力为10 N，则由几何关系可知，轻绳的拉力也为10 N，方向与水平方向成30°角，故B正确，A错误；对A、B整体受力分析可知，A受到的支持力FN＝(mA＋mB)g－Fsin 30°＝25 N，摩擦力等于F沿水平方向的分力Ff＝Fcos 30°＝5 N，由Ff＝μFN′，FN′＝FN，解得μ＝＝，故D正确，C错误.
7.【解析】轻绳拉力FT＝mAg，对B，在水平方向有Ff＝FTcos θ＝mAgcos θ，在竖直方向地面对B的支持力FN＝mBg－FTsin θ＝mBg－mAgsin θ，由牛顿第三定律可知，选项D正确；当mBg＝mAgsin θ时，FN＝0，此时物体B不可能静止，选项A、C错误，B正确.
8.解析:设轻绳的张力为FT,圆弧面对m2的弹力为FN,斜面对m1的弹力为FN1。对m1、m2分别受力分析如图所示,对m2,由对称性可知,FN=FT,由平衡条件可得FTcos 30°+FNcos 30°=m2g;对m1,由平衡条件可得FT=m1gsin 60°,联立解得 =,B正确。
9.【解析】对小球受力分析可知，绳的拉力等于小球重力沿圆弧面切线方向的分力，由几何关系可知绳的拉力等于20 N．将三个物块看成一个整体受力分析，可知水平方向整体受到拉力F和绳的拉力的作用，由于F等于绳的拉力，故整体受力平衡，与桌面间没有摩擦力，故物块3与桌面间的摩擦力为0，C错误．由于物块1、2之间没有相对运动的趋势，故物块1和2之间没有摩擦力的作用，A错误．隔离物块3受力分析，水平方向受力平衡可知物块2和3之间摩擦力的大小是20 N，B正确．物块3受重力、桌面的支持力、物块2的压力、物块2的摩擦力、绳的拉力5个力作用，D错误．
10.【解析】由于环为轻环，不计质量，故用力拉绳子后，绳子PQ段必定垂直于光滑杆，只有这样PQ段的拉力在沿着杆方向才没有分力，轻环方可平衡，如图甲所示，
　
由图甲可知PQ段绳子与竖直方向夹角为θ，对滑轮受力分析如图乙所示：由于滑轮质量不计，则两绳子拉力的合力与OP段绳子拉力等大反向，又因为两绳子拉力等大，故OP段绳子拉力必定沿着两绳子夹角的平分线，由几何关系可知OP段绳子与天花板夹角为＝45°＋，故选项D正确。
11【解析】对小球进行受力分析，受重力、拉力和细线的拉力，由平衡条件得：tanβ＝，对铁链和小球整体进行受力分析，受重力、细线的拉力T、已知力F，由平衡条件得：tanα＝，联立解得：M＝2m，故选项B正确。
12.解析　以两个小球组成的整体为研究对象，作出F在三个方向时整体的受力图.根据平衡条件得知F与FT的合力与总重力总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可以知道当F与绳子Oa垂直时F有最小值，即图中2位置，此时Oa细线对小球a的拉力大小为FT＝4mgcos 37°＝3.2mg，故C正确，A、B、D错误.
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13.解析:将重力按照作用效果分解为平行斜面的下滑分力mgsin 30°=10 N,垂直斜面的垂直分力mgcos 30°=10 N;当最大静摩擦力平行斜面向下时,物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N,弹簧弹力为拉力,等于 22 N;当最大静摩擦力平行斜面向上时,物体与斜面间的最大静摩擦力为12 N,弹簧弹力为推力,等于2 N;故弹簧弹力可以是不大于2 N的推力或不大于22 N的拉力,也可以没有弹力,故A、B、C正确。
14.【解析】(1)以结点O为研究对象进行受力分析，如图甲所示，由平衡条件有
FOB－FOAsin θ＝0
FOAcos θ－m1g＝0
联立以上二式解得FOA＝＝m1g
FOB＝m1gtan θ＝m1g
故OA、OB受到的拉力大小分别为m1g、m1g。
(2)人在水平方向受到OB绳的拉力FOB′和水平面的静摩擦力作用，FOB′＝FOB，对人受力分析如图乙所示，由平衡条件得Ff＝FOB′＝m1g，方向水平向左。
(3)当人刚要滑动时，甲的质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值。有Ffm＝μm2g
由平衡条件得FOBm′＝Ffm
又FOBm′＝m1mgtan θ＝m1mg
联立以上二式解得m1m＝＝＝24 kg
即物体甲的质量m1最大不能超过24 kg。
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