2021-2022学年重庆市各地七年级下学期数学期末试题选编第六章：实数练习题（含解析）

第六章：实数练习题
一、单选题
1．（2022春·重庆九龙坡·七年级统考期末）4的算术平方根是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．±16
2．（2022春·重庆涪陵·七年级统考期末）下列计算正确的是（　　）
A．＝±2 B．＝1 C．＝﹣1 D．|3|＝±3
3．（2022春·重庆綦江·七年级校考期末）已知，，且，则的值为（ ）
A．2或12 B．2或 C．或12 D．或
4．（2022春·重庆梁平·七年级统考期末）下列说法正确的是(　　)
A．﹣81的平方根是±9 B．7的算术平方根是
C．的立方根是± D．(﹣1)2的立方根是﹣1
5．（2022春·重庆铜梁·七年级统考期末）给出下列四个说法：①一个数的平方等于1，那么这个数就是1；②4是8的算术平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④8的立方根是．其中，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022春·重庆江北·七年级统考期末）如果，，那么约等于（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
7．（2022春·重庆丰都·七年级统考期末）下列算式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·重庆丰都·七年级统考期末）在，，，，0.3131131113…，3.14中，无理数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．（2022春·重庆梁平·七年级统考期末）在实数中，最小的实数是（　　）
A．﹣2 B．﹣π C．0 D．
11．（2022春·重庆江津·七年级统考期末）如图，在数轴上表示实数的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
12．（2022春·重庆南川·七年级统考期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为5的是（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
二、填空题
13．（2022春·重庆永川·七年级统考期末）已知||＝5，＝4，且，则＝___．
14．（2022春·重庆忠县·七年级统考期末）的相反数是_____．
15．（2022春·重庆大足·七年级统考期末）一个正数的平方根分别是和，则这个正数为______．
16．（2022春·重庆梁平·七年级统考期末）已知，，，则______．
17．（2022春·重庆荣昌·七年级统考期末）的值是 _____．
18．（2022春·重庆綦江·七年级校考期末）已知2a－1的立方根是1，3a＋b－1的平方根是±4，a＋2b=________
19．（2022春·重庆开州·七年级统考期末）的相反数是_____．
20．（2022春·重庆秀山·七年级统考期末）|﹣2|++（﹣1）2022＝_____．
三、解答题
21．（2022春·重庆江北·七年级统考期末）已知，．
(1)若x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果一个正数的平方根分别为x，y，求这个正数．
22．（2022春·重庆綦江·七年级统考期末）计算
(1)计算：（﹣1）3++-；
(2)+++（﹣1）2022．
23．（2022春·重庆大足·七年级统考期末）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
24．（2022春·重庆开州·七年级统考期末）已知a是一64的立方根，b的算术平方根为2.
(1)写出a，b的值;
(2)求3b一a的平方根，
25．（2022春·重庆梁平·七年级统考期末）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，请解答：
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(2)已知：，其中x是整数，且，求的值．
26．（2022春·重庆永川·七年级统考期末）计算：．
27．（2022春·重庆忠县·七年级统考期末）计算：
(1)；
(2)．
28．（2022春·重庆南川·七年级统考期末）对于一个三位数，若其十位上的数字是5、各个数位上的数字互不相等且都不为0，则称这样的三位数为“可爱数”；如357就是一个“可爱数”．将“可爱数”m任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到6个两位数，将这6个两位数的和记为
例如：
(1)求的值；
(2)规定：与1的商记为，即．例如：．
若“可爱数”n满足（，且x，y均为整数），即n的百位上的数字是x、十位上的数字是5、个位上的数字是y，且，请求出所有满足条件的“可爱数”n．
29．（2022春·重庆大足·七年级统考期末）若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为0）满足，则称这个三位正整数为“和谐数”．对于一个“和谐数”，将它的十位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则126为“和谐数”，那么，所以．
(1)求的值；
(2)对于任意一个“和谐数”，若能被8整除，求所有满足条件的“和谐数”．
30．（2022春·重庆忠县·七年级统考期末）如果一个三位正整数m的百位上的数字小于个位上的数字，且十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，那么称m为“忠州数”，用“忠州数”m的十位数字的平方减去百位数字的平方再减去个位数字的平方的结果记为f（m）．例如：m＝132，满足1＜2，且1+2＝3，所以132是“忠州数”，所以f（m）＝32﹣22﹣12＝4；例如：m＝384，满足3＜4；但是3+4≠8，所以384不是“忠州数”．
(1)判断374和285是否是“忠州数”，并说明理由；
(2)若“忠州数”n的3倍与其十位数字之和能被7整除，求n及f（n）的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根，可得4的算术平方根．
【详解】4的算术平方根为2．
故选：B．
2．B
【分析】根据算术平方根的定义对AB、C进行判断；根据绝对值的意义对D进行判断．
【详解】解：A．，所以选项不符合题意；
B．，所以选项符合题意；
C．，所以选项不符合题意；
D．，所以选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握求算术平方根的求法是解决问题的关键．
3．D
【详解】根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.
故选D.
4．B
【分析】由平方根、算术平方根及立方根的定义依次判定各项即可解答.
【详解】选项A，﹣81没有平方根，选项A错误；选项B，7的算术平方根是；选项C，的立方根是，选项C错误；选项D，（﹣1）2的立方根是1，选项D错误.
故选B.
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的应用，熟知平方根、算术平方根及立方根的定义是解决问题的关键.
5．A
【分析】根据平方的意义、平方根与算术平方根、立方根的定义即可作出判断．
【详解】由于，故说法错误；
由于，故8的算术平方根不是4，故②说法错误；
由于，故0的平方根为0，故③说法正确；
，故④说法错误；
即正确的说法只有1个．
故选：A．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及平方的定义，掌握这些定义是关键，属于基础知识．
6．C
【分析】由及立方根的性质即可求得结果．
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查了立方根的性质，即，掌握此性质是本题的关键．
7．D
【分析】直接利用算术平方根、立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、原计算错误，该选项不符合题意；
D、正确，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、立方根的性质化简，掌握算术平方根，立方根的性质是解题关键．
8．B
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
【详解】解：是分数，属于有理数；
=3，是整数，属于有理数；
3.14，是有限小数，属于有理数；
无理数有，，0.3131131113…，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的定义和算术平方根，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数包括三方面的数：①开方开不尽的根式，②含有π的，③一些有规律的数，如0.010010001...（两个1之间依次多一个0）等．
9．C
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点P比较合适，
故选：C．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
10．B
【分析】根据正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小判断即可．
【详解】解：，，
，
，
在实数，，，中，
，
最小的实数是：．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数大小比较，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
11．D
【分析】估算出的范围即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法．用有理数夹逼无理数是解题的关键．涉及算术平方根的大小比较．
12．D
【分析】把各选项中的a，b代入即可求解判断．
【详解】A、当，时，代入程序为，故错误；
B、，时，代入程序为，故错误；
C、，时，代入程序为，故错误；
D、，时，代入程序为，正确；
故选D．
【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是根据程序进行计算．
13．1或9
【分析】根据绝对值的性质、算术平方根可得，，再根据可得或，然后代入计算即可得．
【详解】解：，
，
，
或，
则或，
故答案为：1或9．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
14．
【分析】首先化简，再根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数．
【详解】解：
∴的相反数是，
∴的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
15．##0.25
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵正数有两个平方根，它们互为相反数，
∴m+（﹣3m+1）＝0，解得：m，
∴a＝（）2，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．
16．10.38
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴10.38．
故答案为：10.38．
【点睛】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．
17．-10
【分析】化简立方根、算术平方根，然后再计算求值．
【详解】
=
【点睛】此题考查了实数的运算，理解立方根和算术平方根的概念，正确化简是解题的关键．
18．29
【分析】由立方根和平方根的定义可知，1的立方根是1，16的平方根是±4，从而求出a和b的值，从而得出答案．
【详解】解：∵1的立方根是1，
∴2a－1=1，即a=1，
又∵16的平方根是±4，
∴3a＋b－1=16，即3×1+b－1=16，解得b=14，
∴a＋2b=1+2×14=29，
故答案为：29．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，正确理解定义、求出相关量的值是解题关键．
19．-2
【分析】根据一个数前面加上“-”就得到这个数的相反数进行求解即可．
【详解】的相反数是-（），
即：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本是考查了实数的性质，解题的关键是熟练掌握数a的相反数是-a．
20．5
【分析】先根据绝对值的意义、立方根的定义、乘方的运算法则进行化简，然后再进行计算即可．
【详解】解：|﹣2|++（﹣1）2022
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义、立方根的定义、乘方的运算法则，是解题的关键．
21．(1)
(2)25
【分析】（1）先根据x的算术平方根为3，求出x的值，再解关于a的一元一次方程即可得到a的值；
（2）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，将，代入即可求出，再求出x的平方即可．
【详解】（1）解：因为x的算术平方根为3，
所以，
即，
所以．
（2）解：根据题意得：，
即：，
所以，
所以，
所以这个正数为．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根的有关计算，解一元一次方程等，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．
22．(1)2
(2)3﹣
【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用算术平方根、立方根定义，绝对值的代数意义，以及乘方的意义计算即可求出值．
(1)
解：原式＝﹣1+2+3﹣2
＝2．
(2)
解：+|-3|++（﹣1）2022
＝3+3﹣﹣4+1
＝3﹣．
【点睛】此题考查了实数的运算，算术平方根、立方根，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）；（2）或
【分析】（1）根据算术平方根定义及性质、立方根定义与去绝对值运算法则综合求解即可；
（2）根据平方根定义将两个一元一次方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2），
，
，
或．
【点睛】本题考查有理数混合运算以及解方程，涉及到算术平方根的定义与性质、立方根的定义、去绝对值运算及利用平方根定义解方程等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
24．(1)a=-4,b=4;(2) ±4.
【分析】(1)根据立方根、算术平方根的定义即可解答.
(2)把a、b的值带入求值.
【详解】解（1）因为a是一64的立方根，b的算术平方根为2，所以a=-4，b=4
（2）因为a=-4，b=4，所以3b-3=16，
所以3a-3b的平方根为士4．
【点睛】本题考查立方根、平方根和代数式求值，熟知平方根，立方根和算术平方根的定义和性质是关键.
25．(1)1
(2)
【分析】（1）先估算、的范围，再仿照例子可求得a、b，代入求解即可；
（2）先估算的范围，进而可求得x、y值，再代入求解即可．
(1)
解：∵4＜5＜9，9＜13＜16，
∴2＜＜3，3＜＜4，
∴的小数部分，的整数部分为b=3，
∴a+b－=－2+3－=1；
(2)
解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴11＜10+＜12，
∵，其中x是整数，且，
∴x=11，y= －11= －1，
∴x－2y－9=11－2（－1）－9=4－2 ．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，正确估算、、的范围，利用类比方法求解是解答的关键．
26．
【分析】先根据算术平方根，绝对值和立方根的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）运用算术平方根、立方根的定义进行混合运算即可得出答案；
（2）运用算术平方根、立方根、绝对值的定义进行混合运算即可得出答案．
（1）解：原式
（2）解：原式
【点睛】本题考查了算术平方根、立方根、绝对值的相关运算，准确运用知识计算是本题的关键．
28．(1)308
(2)156、354、453、651．
【分析】（1）根据D（m）运算的定义进行计算便可；
（2）根据n=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为整数），求得D（n）=22x+22y+110，再根据，求得F（n）=2x+2y+10，再根据F（n）=24，列出x、y的二元一次方程，进而求得符合题意的x、y的整数解便可得出答案．
【详解】（1）解：D（653）=65+63+56+53+36+35=308；
（2）解：∵n=100x+50+y（1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为整数），
∴D（n）=10x+5+10x+y+50+x+50+y+10y+x+10y+5=22x+22y+110，
∵，
∴F（n）=＝2x+2y+10，
∵F（n）=24，
∴2x+2y+10=24，即x+y=7，
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y均为整数，x≠5，y≠5，x≠y，
∴x=1，y=6或x=3，y=4或x=4，y=3或x=6，y=1，
∴n=156或354或453或651．
【点睛】本题主要考查了新定义，不定方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程．
29．(1)74
(2)117，126，135，144，153，162，171
【分析】（1）根据定义求解即可；
（2）根据新定义写出m，n，，根据整式的加减化简，进而由，且能被8整除，得出的值，解二元一次方程即可求解，从而求得m．
（1）
解：∵当时，，
∴；
（2）
解：设，则，
∴
∵
∴
∴
∵能被8整除，
∴是8的倍数，
∵，且a，b，c均为不为0的正整数，
∴的正整数解有：
∴，，，，，，
又∵，
∴
∴所有满足条件的“和谐数”有117，126，135，144，153，162，171．
【点睛】本题考查了新定义下实数的运算、整除性，整式的运算，理解题意是解题的关键．
30．(1)374是“忠州数”，285不是“忠州数”
(2)，f（n）的最大值是36
【分析】（1）根据“忠州数”定义，百位上的数字＜个位上的数字，十位上的数字=个位上的数字+百位上的数字，判断374和285是否是“忠州数”．
（2）根据“忠州数”定义设出n的各个数位上的数字，根据题意表示出3n与十位数字的和是7的倍数，并结合题意得到各个数位上数字的取值范围，得到符合题意的n，从而计算出最大的f（n）．
（1）374是“忠州数”，285不是“忠州数”．理由如下：∵374中3＜4，且，∴374是“忠州数”．∵285中2＜5，且，∴285不是“忠州数”．
（2）设“忠州数”n的百位数是a，个位数是b（a、b都是1至9的正整数），则十位数上的数字为，∴，∵“忠州数”n的3倍与其十位数字之和能被7整除，∴是整数，∴是7的倍数，由题可知，a＜b，1≤a≤4，2≤b≤8，3≤≤9，∴当，时，，此时，当，时，，不是正整数，舍去，当，时，，此时，当，时，，不是正整数，舍去，当，时，，此时，当，时，，不是1至9的正整数，舍去．综上，．f（132）＝32﹣22﹣12＝4，f（264）＝62﹣42﹣22＝16，f（396）＝92﹣62﹣32＝36．∴f（n）的最大值是36．故答案为：，f（n）的最大值是36．
【点睛】本题考查新定义的问题，能够根据“忠州数”定义，找到需要满足的条件，会判断一个书是不是“忠州数”，能根据“忠州数”需要满足的条件结合题中给出的条件，求出符合题意的n，从而得到最大的f（n）．