专题06 共点力作用下的动态平衡问题 学案（有解析）

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专题06 共点力作用下的动态平衡问题
【核心要点】
动态平衡问题：所谓动态平衡是指在预设情景中对物体受力大小和方向、空间位置等发生一系列缓慢变化，由于在变化过程“缓慢”，可以认为在变化过程中物体仍然受力平衡。
【核心方法】处理共点力作用下平衡的方法：
(1)涉及三个力的动态平衡问题解决方法：动态图解法、相似三角形法，极个别情况需要运用数学正弦定理解决问题。
(2)涉及四个及四个以上力的动态平衡问题一般采用解析法，通过寻找变化力的函数解析式，运用数学函数知识判断力的变化情况
【经典例题】
类型一：图解法解决动态平衡
【例题1】质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)
A．F逐渐变大，T逐渐变大 B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大 D．F逐渐变小，T逐渐变小
【答案】A
【解析】对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确。
类型二：运用正弦定理解决动态平衡问题
【例题2】如图所示，置于地面的矩形框架中用两细绳拴住质量为m的小球，绳B水平。设绳A、B对球的拉力大小分别为F1 、F2，它们的合力大小为F。现将框架在竖直平面内绕左下端缓慢旋转90°，在此过程中 ( )
A．F1先增大后减小 B．F2先增大后减小
C．F先增大后减小 D．F先减小后增大
【答案】B
类型三：运用相似三角形法解决动态平衡问题
【例题3】如图所示，杆BC的B端用铰链固定在竖直墙上，另一端C为一滑轮．重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡．若将绳的A端沿墙缓慢向下移(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则(　　)
A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大
B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大
C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小
D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变
【答案】B
【解析】选取绳子与滑轮的接触点为研究对象，对其受力分析，如图所示．绳中的弹力大小相等，即FT1＝FT2＝G，C点处于三力平衡状态，将三个力的示意图平移可以组成闭合三角形，如图中虚线所示，设AC段绳子与竖直墙壁间的夹角为θ，则根据几何知识可知F＝2Gsin，当绳的A端沿墙缓慢向下移时，绳的拉力不变，θ增大，F也增大，根据牛顿第三定律知，BC杆受绳的压力增大，B正确．
类型四：运用解析法解决动态平衡问题(通法)
【例题4】(多选)如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则(　　)
A．绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
【答案】BD
【解析】由于物体a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力T＝mag，所以物体a受到绳的拉力保持不变。由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示。由平衡条件得：Tcos β＋f＝Fcos α，Fsin α＋FN＋Tsin β＝mbg。其中T和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确。
类型五：由摩擦力方向不确定导致摩擦力变化的讨论
【例题5】如图所示，放在斜面上的物体处于静止状态，斜面倾角为30°，物体质量为m，若想使物体沿斜面从静止开始下滑，至少需要施加平行斜面向下的推力F＝0.2mg，则(　　)
A．若F变为大小0.1mg，沿斜面向下的推力，则物体与斜面的摩擦力是0.1mg
B．若F变为大小0.1mg沿斜面向上的推力，则物体与斜面的摩擦力是0.2mg
C．若想使物体沿斜面从静止开始上滑，F至少应变为大小1.2mg沿斜面向上的推力
D．若F变为大小0.8mg沿斜面向上的推力，则物体与斜面的摩擦力是0.7mg
【答案】C
【解析】由题意可知，物体和斜面间的最大静摩擦力Ff m＝0.7mg，故若物体上滑，其最小推力F＝0.5mg＋0.7mg＝1.2mg，C正确；若F＝0.8mg上推时，Ff＝0.8mg－0.5mg＝0.3mg，D错误；当F＝0.1mg向下时，Ff＝0.5mg＋0.1mg＝0.6mg，A错；当F＝0.1mg向上时，Ff＝0.5mg－0.1mg＝0.4mg，B错．
【精讲精练】
1.如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为FN1，木板对球的压力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计一切摩擦，在此过程中(　　)
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A.FN1先增大后减小，FN2始终减小
B.FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
C.FN1始终减小，FN2始终减小
D.FN1始终减小，FN2始终增大
【答案】C
2.(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\2-151.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\2-151.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\2-151.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\2-151.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\物理\\通用\\13\\2-151.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\米昕\\2021\\一轮\\0看PPT\\物理 人教 通用\\word\\2-151.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.斜面对球的支持力逐渐增大 B.斜面对球的支持力逐渐减小
C.挡板对小球的弹力先减小后增大 D.挡板对小球的弹力先增大后减小
【答案】BC
3.如图所示,小球用细绳系住,绳的另一端固定于O点。现用水平力F缓慢推动斜面体,小球在斜面上无摩擦地滑动,细绳始终处于直线状态,当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,此过程中斜面对小球的支持力FN以及绳对小球的拉力FT的变化情况是(　　)
A.FN保持不变,FT不断增大
B.FN不断增大,FT不断减小
C.FN保持不变,FT先增大后减小
D.FN不断增大,FT先减小后增大
【答案】D
4. (多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是(　 　)
A.绳的右端上移到b′,绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
【答案】AB
5.如图所示,轻杆 A端用铰链固定在墙上,B端吊一重物。通过轻绳跨过定滑轮用拉力F将B端缓慢上拉,滑轮在A点正上方(滑轮大小及摩擦均不计),且OA>AB,在AB杆达到竖直前(　　)
A.拉力F增大 B.拉力F大小不变
C.杆的弹力增大 D.杆的弹力大小不变
【答案】D
6.如图所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.此过程中，轻杆BC所受的力(　　)
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A.逐渐减小 B.逐渐增大
C.大小不变 D.先减小后增大
【答案】C
7.如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为（）。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【答案】AD
8.(多选)如图所示，固定在竖直平面内的半径为R的光滑圆环的最高点C处有一个光滑的小孔，一质量为m的小球套在圆环上，一根细线的一端拴着这个小球，细线的另一端穿过小孔C，手拉细线使小球从A处沿圆环向上移动．在移动过程中手对细线的拉力F和轨道对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A．缓慢上移时，F减小，FN不变
B．缓慢上移时，F不变，FN减小
C．缓慢上移跟匀速圆周运动相比，在同一位置B点的拉力相同
D．缓慢上移跟匀速圆周运动相比，在同一位置B点的弹力相同
【答案】AC
9.表面光滑、半径为R的半球固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一无摩擦定滑轮，轻质细绳两端各系一个可视为质点的小球挂在定滑轮上，如图所示。两小球平衡时，若滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.4R和L2＝2.5R，则这两个小球的质量之比为，小球与半球之间的压力之比为，则以下说法正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝1 D.＝
【答案】B
10.(多选)如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2(k2>k1)的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2。下列关于FT1与FT2、F1与F2大小之间的关系，正确的是(　　)
A．FT1>FT2 B．FT1＝FT2
C．F1【答案】BC
11. (多选)如图所示,一粗糙斜面固定在地面上,斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块甲,另一端与斜面上的物块乙相连,系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动甲,直至悬挂甲的细绳与竖直方向成45°角。已知乙始终保持静止,则在此过程中(　　)
A.水平拉力的大小可能保持不变
B.乙所受细绳的拉力大小一定一直增大
C.乙所受斜面的摩擦力大小一定一直增大
D.乙所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增大
【答案】BD
答案
1.解析　以小球为研究对象，分析受力情况，受重力G、墙面的支持力FN1和木板的支持力FN2.
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根据平衡条件得FN1＝，FN2＝，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，tan θ增大，sin θ增大，则FN1和FN2都始终减小，选项C正确.
2.解析　对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误.
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3.解析:法一　解析法
对小球进行受力分析,如图甲所示,小球受到重力mg、支持力FN、拉力FT的作用,设细绳与水平方向的夹角为β,斜面的倾角为α,由平衡条件得FNcos α+FTsin β=mg,FNsin α-FTcos β=0,联立解得FT=,FN=。用水平力F缓慢推动斜面体,β一直减小直至接近0°。由题图易知,起始时刻β>α,当β=α时,cos(β-α)=1,FT最小,所以FT先减小后增大。β一直减小直至接近0°,tan β不断减小,FN不断增大,选项D正确。
法二　图解法
由于用水平力F缓慢推动斜面体,故小球处于动态平衡状态。小球受到大小方向均不变的重力、方向不变的支持力、方向大小均变化的细绳的拉力,三个力构成封闭的三角形,画出小球受力示意图如图乙所示。当细绳与斜面平行时,细绳拉力FT2与支持力方向垂直,细绳拉力最小。当小球升到接近斜面顶端时细绳接近水平,细绳拉力为FT4,所以FT先减小后增大,而此过程中斜面对小球的支持力FN一直增大,选项D正确。
4.解析:设两段绳子间的夹角为2α,由平衡条件可知,2Fcos α=mg,所以F=,设绳子总长为L,两杆间距离为s,由几何关系L1sin α+L2sin α=s,得sin α==,绳子右端上移,L、s都不变,α不变,绳子张力F也不变,A正确;杆N向右移动一些,s变大,α变大,cos α变小,F变大,B正确;绳子两端高度差变化,不影响s和L,所以F不变,C错误;衣服质量增大,绳子上的拉力增大,由于α不会变化,则悬挂点不会右移,D错误。
5.解析:以B点为研究对象,分析受力情况。B点受到重物的拉力FT(等于重物受到的重力G)、轻杆的支持力FN和绳子的拉力F,作出力的示意图如图。由平衡条件得,FN和F的合力与重物的拉力大小相等,方向相反,根据三角形相似可得==,又FT=G,解得FN=G,F=G;使∠BAO缓慢变小时,AB、AO保持不变,BO变小,则FN保持不变,F变小,故D正确,A、B、C错误。
6.解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件可知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反.根据相似三角形得＝，且F合＝G，则有FN＝G，现使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即FN不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，A、B、D错误.
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7.【解析】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以AD正确，BC错误。
8.【解析】小球在缓慢上移时可认为每一瞬间都受力平衡，分析小球受力，其受到重力、轨道给予的弹力和细线的拉力作用，作出力的矢量三角形(图略)，无论小球运动到哪个位置，总有力的矢量三角形与几何三角形相似，可得弹力FN＝mg，而F的大小正比于小球与顶端小孔间的细线长，细线变短，F减小，A正确，B错误．无论是缓慢上移还是做匀速圆周运动，在同一位置其在切线方向的合力为零，但在半径方向的合力大小与速度大小有关，故弹力的大小与速度的大小有关，但细线的拉力相等，且F＝2mgsin ，C正确，D错误．
9.解析：选B　先以左侧小球为研究对象，分析受力情况：重力m1g、绳子的拉力T和半球的支持力N1，作出受力示意图。
由平衡条件得知，拉力T和支持力N1的合力与重力m1g大小相等、方向相反。
设OO′＝h，根据三角形相似得：＝＝，
同理，对右侧小球，有：＝＝，
解得：m1g＝，①
m2g＝②
N1＝③
N2＝④
由①∶②得：m1∶m2＝L2∶L1＝25∶24，
由③∶④得：N1∶N2＝m1∶m2＝L2∶L1＝25∶24，
故A、C、D错误，B正确。
10.解析：　
以小球B为研究对象，进行受力分析，由平衡条件可知，弹簧的弹力F和绳子的拉力FT的合力F合与重力mg大小相等，方向相反，即F合＝mg，如图所示，由三角形相似得(力的三角形和几何三角形相似)：＝＝，又OA＝OB＝L，得FT＝mg，F＝mg，故绳子的拉力FT只与小球B的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以FT1＝FT2。当弹簧的劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度x增加，F2>F1，A、D错误，B、C正确。
11.解析:选甲为研究对象,受力情况如图a所示,用水平拉力F缓慢拉动甲的过程中,细绳与竖直方向夹角逐渐增大,水平拉力F逐渐增大,细绳的拉力FT逐渐增大,故A错误,B正确;对于乙,受重力G乙、斜面对它的支持力FN、绳的拉力FT′(FT′与FT大小始终相等)以及斜面对它的摩擦力Ff,如图b所示。若开始时斜面对乙的摩擦力Ff沿斜面向上,则FT′+Ff=G乙sin θ,FT′逐渐增大,Ff逐渐减小,当Ff减小到零后,再反向增大;若开始时斜面对乙的摩擦力沿斜面向下,此时FT′=G乙sin θ+Ff,当FT′逐渐增大时,Ff逐渐增大,故C错误,D正确。
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