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18.1.1 平行四边形的性质
第十八章 平行四边形
第1课时 平行四边形边、角的性质
图片欣赏
创设情境 温故探新
忆一忆
A
B
C
A
B
C
D
对角
对边
∠A是 边的对角.
∠A与 是对角；
∠B与 是对角.
AB是 的对边.
AB与 的对边；
BC与 的对边.
三角形中角对边、边对角；
特点
BC
CD
AD
∠C
∠D
∠C
四边形中是边对边、角对角.
平行四边形的定义
一
问题1 用两个全等的三角形，能拼出怎样的四边形？ 拼拼看.
合作交流探究新知
问题2 观察拼出的这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由．
对边平行
A
B
C
D
归纳小结
平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
问题3 黑板上展示的图形中，还有哪些是平行四边呢？为什么？
定义可以用来判别一个四边形是否是平行四边形
特别说明
问题4 黑板上展示的图形(如下图）中，另外三个是不是平行四边呢？为什么不是？
两组对边不平行
这两个四边形不属于初中的学习范围
这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
问题5 只有一组对边平行的四边形是不是平行四边形呢？是什么特殊四边形？
不是平行四边形，是梯形.
D
A
B
C
记作： ABCD
读作： 平行四边形ABCD
平行四边形的相关概念
二
记法与读法
相关元素
对角：∠A与∠C， ∠B与∠D.
对边：AB 与CD， AD与BC.
对角线：AC、BD.
平行四边形的性质
三
问题6 研究等腰三角形的性质是从哪些方面考虑的？
边和角
边和角
1.小组合作：同学们利用学具（全等的三角形纸板）．
探究方法
2.汇报结论：学生展示实验过程，相互补充探究出的结论．
3.说理验证：请大家思考一下，利用我们以前学习的几何知识通过说理能验证这三个结论吗？
那么研究平行四边形首先可以从哪些方面考虑？
由上面知，△ABC≌△CDA ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠1+∠4=∠2+∠3
即∠BAD=∠DCB.
证明：如图，连接AC
∵AD∥BC，AB ∥ CD
∴∠1=∠2，∠3=∠4
又AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌ △CDA
∴AD=CD，AB=CD，
∠B=∠D
1.同学们自己证明∠BAD=∠DCB
2.不添加辅助线，你能否
直接运用平行四边形的定义，
证明其对角相等？
说理验证
A
B
C
D
几 何 语 言
边
角
文字叙述
对边平行
对边相等
对角相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC ，AB∥DC.
∴ AD=BC ，AB=DC.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C，∠ B=∠D.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形的性质
归纳小结
A
B
C
D
典例精析
例1 如图，在□ABCD中
(1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ， ∠D=______。
(2)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=______ ，∠B=______.
(3)若∠A:∠B= 5:4，
则∠C=______ ，∠D=______.
（4）若AB=3,BC=5,
则它的周长= ______.
C
D
A
B
50°
130°
50°
100°
80°
100°
80°
16
（1）平行四边形的对角相等；（2）平行四边形的
邻角互补；（3）平行四边形的一组邻边之和等于周长的一半,反之，周长=2倍邻边之和.
归纳
D
A
B
C
F
E
证明：
平行四边形为证明线段及角相等提供了一种新的
思路.
归纳
两条平行线间的距离
四
H
A
B
C
D
G
若a // b，作 AD // GH // BC，分别交 b于D、H、C，交 a于A、G、B.
两条平行线间的距离
则 GH=AD=BC.
两条平行线之间的平行线段相等
则 DA HG CB.
（因为平行四边形的对边相等）
若a // b，DA、GH、CB垂直于 a，交a于A、G、B，交 b于D、H、C.
b
a
A
B
C
D
a
b
H
G
点到直线的距离
=
=
相等
当堂练习
1.在□ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（ ）
A .45° B. 55°
C. 65° D. 75°
A
A
B
C
M
D
2.在□ABCD中，AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为（ ）
A .3 B. 5 C. 2或3 D. 3或5
D
3.在□ABCD中, ∠A: ∠B: ∠C=1:2:1,则∠D等于 .
1200
4.如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
A
B
C
D
E
10
5.有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解：∵AE//BC，AB//CF，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°，
AD=BC=60cm.
∴ED=AD-AE=80-60=20cm.
答：DE的长度是20cm, ∠D的度数是60°.
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等.
两条平行线间的距离相等
两组对角分别相等，邻角互补.
课堂小结
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1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的特征导学案
学习目标
1、理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
一、回顾思考
三角形的概念： .
四边形的概念： .
叫做四边形的对角； 相对的两条边叫做四边形的 . 叫做四边形的对角线.
4、你能说出右图中四边形的所有结构.
这个四边形可以记作 ，
四个内角分别是 ， ， ， .
对角线是 和
边AB的对边是 ；边AD的对边是 .
5、四边形可以分为两类： 和 .（注：我们初中阶段只需掌握凸四边形).
6、下列四边形哪些是凸四边形？哪些是凹四边形？
二、新知探究
1、概念：看课本回答：
（1） 叫做平行四边形.
（2）如图，在四边形ABCD中
则四边形ABCD是平行四边形，记作 ，读作 .
探究平行四边形的性质：
画一个平行四边形，量一量并猜测出平行四边形的对边 ，平行四边形的对角 .
证明你的猜测：
证明 ：连接对角线AC.
四边形ABCD是平行四边形
AB// ，即（两直线平行， ）.
又 （第1题）
BC// ，即（两直线平行， ）
（ ）
即
你还可以通过证明与全等后说明
请根据图形同学之间相互口述说明与全等的证明过程.
归纳：平行四边形的性质有： ，
； .
结合图形用几何语言可以表述为：
在 EFGH中，EF// ，FG// ；EH= ， =HG；
自主学习：看课本，回答问题.
（1）两平行线之间的平行线段的长度 .
（2） 叫做两平行线之间的距离.
（3）两平行线之间的距离处处 .
三、课堂练习
一块平行四边形的木板，其中木板的一边长为45cm，相邻的另一边长为55cm，试求这块木板的周长.
在上块木板中，若
3、夹在两条平行线间的平行线段 .如图，直线，AB、CD是 与 之间的任意两条平行线段，则AB CD.
课堂小结
五、达标测试
1. 在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )
A.1：2：3：4 B.3：4：4：3 C.3：3：4：4 D.3：4：3：4
2. 在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD周长是（ ）
A．22 B．20 C．22或20 D．18
3. 如图，在 ABCD中，连结AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=2，则BC的长是（ ）
A．B．2 C．2D．4
4. 如图，平行四边形ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为_______.
5. 如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC，∠A=65°，CE⊥BD于E，则∠BCE=_____度．
6.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，∠B=55°，则∠DAE等于_____.
7. 在平面直角坐标系中，A(-2，0)，B(0，1)，C(0，-4)，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第4个顶点D的坐标是______________________．
8. 如图，在 ABCD中，∠D=100°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE．若AE=AB，则∠EBC的度数为_________．
9.如图所示，如果l1∥l2，那么ΔABC的面积与ΔDBC的面积相等吗？)如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=8，∠A，∠D的平分线分别交于BC于E，F，求EF的长.
11.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交CD于点E，∠ADC的平分线交AB于点F．试判断AF与CE是否相等，并说明理由．
参考答案
1.D 解析：根据平行四边形的两组对角分别相等．可知选项D正确．
2.A 解析：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，BC=BE+EC，
①当BE=3，EC=4时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．②当BE=4，EC=3时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
3.C 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2，BC=AD，∠D=∠ABC=∠CAD=45°，∴AC=CD=2，∠ACD=90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC=AD==2．
4.8 解析：因为平行四边形ABCD的周长是28cm，所以AB+BC=14cm，因为AB+BC+AC=22cm，所以AC=22-14=8 cm．
5.25 解析：因为A=65°，所以∠BCD=65°；因为DB=DC，所以∠BCD=∠DBC=65°，因为CE⊥BD，所以∠CEB=90°，所以∠BCE=90°-∠DBC=25°．
6.35° 解析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，可得∠D=∠B=55°，又因为AE⊥CD，可得∠DAE=180°-∠D-∠AED=35°．
7.(-2，5)，(-2，-5)，(2，-3) 解析：当AB∥CD时，第4个顶点D的坐标是(-2，-5)或(2，-3)，当AD∥BC时，第4个顶点D的坐标是(-2，5)．
8. 30°解析： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=100°，AB∥CD，∴∠BAD=180°-∠D=80°，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=80°÷2=40°，∵AE=AB，∴∠ABE=（180°-40°）÷2=70°，∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.
9.解：ΔABC与ΔDBC的面积相等. 因为l1∥l2，所以它们之间的距离处处相等.所以ΔABC与ΔDBC是同底等高的两个三角形.所以SΔABC=SΔDBC.
结论：(1)l1上任意一点与B，C连接处构成三角形的面积都等于ΔABC的面积，这样的三角形有无数个.
10.解：因为AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE，又因为AD∥CB，所以∠AEB=∠DAE，
所以∠BAE=∠AEB，则BE=AB=5；同理可得，CF=CD=5．所以EF=BE+CF-BC=BE+CF-AD=5+5-8=2．
11.解：AF=CE，因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=CB，∠A=∠C，∠ADC=∠ABC，又所以∠ADF=∠ADC，∠CBE=∠ABC，所以∠ADF=∠CBE，所以△ADF≌△CBE，所以AF=CE．
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