(共16张PPT)
18.1.1 平行四边形的性质
第十八章 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
分地故事
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候候，终于拥有了一块平行四边的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
合作交流探究新知
讲授新课
平行四边形的对角线的性质
一
我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O.
OA与OC,OB与OD有什么关系
猜一猜
OA=OC,OB=OD
A
B
C
D
O
量一量
拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的长度，验证你的猜想是否正确
验一验
几何画板验证
证一证
已知：如图： □ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
1. △ABO≌ △CDO， △AOD ≌ △COB， △ ABD ≌ △CDB， △ ABC ≌ △CDA ；
2. △ABO、 △AOD、 △DOC、 △COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
要点归纳
平行四边形的性质
重要结论
应用格式：
典例精析
例1 在□ABCD中，AC与BD交于点O,OA=12cm,OB=19cm,则AC= cm, BD= cm.
B
C
D
A
O
24
39
39
8
变式3 在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 .
A. 24C.7B
C
D
A
O
C
A
B
C
D
O
解；∵四边形ABCD是平行四边形
根据勾股定理，
∴BC=AD=8,CD=AB=10.
是直角三角形.
又OA=OC,
例3 老人分地合理吗
答：老人分地合理.由前面可知，老大与老三，老二与老四的（三角形）地全等.老大与老二的（三角形）地面积相等，因为三角形的中线把原三角形分成面积相等的两部分.
当堂练习
1.如图， □ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,
CD=6,则△ABO的周长是（ ）
A. 10 B. 14 C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A.对边相等 B. 对角相等
C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形
D
3.如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD，交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC的长为 .
10
A
B
C
D
E
F
4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD的长是 .
□
5. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点，连接BE,DF. 求证:BE=DF.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O,
∴OB=OD,OA=OC.
∵E,F分别是OA,OC的中点,
A
B
C
D
O
E
F
平行
四边形
定义
两组对边分别平行的四边形
性质
两组对边分别平行，相等.
两条平行线间的距离相等
两组对角分别相等，邻角互补.
两条对角线互相平分.
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 平行四边形的对角线的特征导学案
学习目标
1、理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．
重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．
学习过程
回顾
平行四边形的性质：1、角： .
2、边： .
二、探究新知
测量猜想：如图四边形ABCD是平行四边形，请用刻度尺量一量OA、OC、OB、OD的长度，有OA= ，OC= ，OB= ，OD=
其中相等的线段有：OA与 ，OD与 .
AC与BD相等吗？ .
AD BC，AB CD.
验证猜想：你能说明为什么OA=OC、OB=OD.
由于四边形ABCD是平行四边形，
因此AD= ，且AD//
从而∠1=∠2，∠3=∠4.( )
所以≌ ( )
于是 OA= ，OB= ( )
3、归纳：平行四边形的对角线的交点是每条 的 ，也就是说：平行四边形的 .
三、课堂练习
1、图在□ ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
若AC=34，OB=10，则有OA= ，OC= ；OD= ，BD= .
在上题的图中有几对全对的三角形？它们分别是：
与 ，与 ， （第1题）
与 ，与 ，
课堂小结
从边、角、对角线总结平行四边形的性质：
从边看_____________________________________________________________.
从角看：__________________________________________________________.
从对角线看：______________________________________________________.
五、达标测试
1.如图， ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
2.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，则对角线AC、BD的长度的和是（ ）
A．9 B．18 C．27 D．36
3.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．邻角互补 B．对角互补C．对边相等 D．对角线互相平分
4.如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直 线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①AO=BO；
②OE=OF；
③△EAM≌△CFN；
④△EAO≌△CNO，
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5.如图， ABCD中，AC=8，BD=6，AD=a，则a的取值范围是______．
6.如图，在 ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．
7.如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥AB，已知AC=10，BD=26，那么 ABCD的面积为_________．
8.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是_________．
9.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．
10.如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．
11.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
参考答案
1.A 解析：在平行四边形ABCD中，则可得OA=AC，OB=BD，在△AOB中，由三角形三边关系可得OA-OB＜AB＜OA+OB，即6-5＜m＜6+5，1＜m＜11．
2.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，∵△AOB的周长为15，AB=6，∴AB+OA+OB=15，∴OA+OB=9，
∴AC+BD=2OA+2OB=2（OA+OB）=18．
3.B 解析：A、平行四边形邻角互补，正确，不合题意；B、平行四边形对角不一定互补，错误，符合题意；C、平行四边形对边相等，正确，不合题意．D、平行四边形对角线互相平分，正确，不合题意．
4.B 解析：①平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中AC≠BD，即AO≠BO，故①错误；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠E=∠F，在△AOE和△COF中，∵，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，故②正确；③由②知，△AOE≌△COF，则∠A=∠F、AE=CF．在△EAM与△CFN中，，∴△EAM≌△CFN（ASA），故③正确；④∵△AOE≌△COF，且△FCO和△CNO不全等，故△EAO和△CNO不全等，故④错误，即②③正确．
5. 1＜a＜7 解析：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=4，OD=BD=3，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4-3＜AD＜4+3．即1＜a＜7.
6.4 解析：在 ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，
∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长-△ABC的周长=BC+CD+BD-（AB+BC+AC）=BD-AC=10-6=4cm.
7.120 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=AC=5，OB=BD=13，∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，∴AB==12，∴ ABCD的面积=AB AC=12×10=120.
8.42 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵△OCD的周长为27，∴OD+OC=27-6=21，∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=42.
9.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．
10.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF；（2）∵△AOE≌△COF，∴CF=AE，OE=OF，∵AB=7，BC=5，OE=2，∴EF=2OE=4，BE+CF=BE+AE=AB=7，∴四边形BCFE的周长为：EF+BE+BC+CF=4+7+5=16．
11.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
