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18.1.2 平行四边形判定
第十八章 平行四边形
第1课时 平行四边形的判定（1）
学行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢
大家都困惑了……
创设情境 温故探新
讲授新课
平行四边形的判定定理1
一
小强提议说：我们可以度量它的边，如果它的两组对边分别相等，那么它就是一个平行四边形.
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
连接AC，
在△ABC和△CDA中,
AB=CD (已知)
BC=DA(已知)
AC=CA (公共边)
∴△ABC≌△CDA(SSS)
∴ ∠1=∠4 , ∠ 2=∠3
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形。
证明：
1
4
2
3
判定定理1：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
小伟提议说：我们可以度量它的角，如果它的两组对角分别相等，那么它就是一个平行四边形.
A
B
C
D
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
平行四边形的判定定理2
二
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A=∠C，∠B=∠D
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
即∠A+∠B=180°
∴ AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD
证明：
判定定理2：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的判定定理3
三
小丽却说：“我可以不用任何作图工具，只要两条细绳就能判断它是不是平行四边形.”
只见小丽用两条细绳做四边形的对角线，并在两条对角线的交点处作了个记号.然后分别把两条对角线沿记号点对折，发现它们被记号的点分成的两段都能重合，小丽高兴地说：“这的确是个平行四边形！”
你能用平行四边形的定义进行证明吗
A
B
C
D
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边 形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)
OB=OD (已知)
∠AOB=∠COD (对顶角相等)
∴△AOB≌△COD(SAS)
∴ ∠BAO=∠OCD ,
∠ ABO=∠CDO.
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
归纳小结
判定
定理1
定理2
定理3
文字语言
图形语言
符号语言
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
A
B
C
D
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
ABCD
A
B
C
D
O
∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是
ABCD
例1 填空：如图，在四边形ABCD中
（1）若AB//CD，补充条件 ，使四边形ABCD为
平行四边形；
（2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为
平行四边形；
（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，
补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.
解题方法：紧扣平行四边形的判定方法补上缺失条件.
AD//BC
AD=BC
OD=5
B
O
D
A
C
典例精析
（4）如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，补充条件： ,使得四边形BFDE是平行四边形.
B
O
D
A
C
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又 BO=DO.
∴四边形BFDE是平行四边形.
AE=CF
想想还有
其他证法吗？
平行四边形的判定定理4
四
我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
猜想：
如图所示，连接AC.
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
D
A
B
C
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
验证：
1
2
归纳小结
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
判定定理4
D
A
B
C
应用格式
∵AB//CD，AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
想一想：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是不是平行四边形 如不是，请举出反例.
典例精析
例2 如图，在 ABCD 中，E,F分别是AB,CD的中点，
求证：四边形EBFD是平行四边形.
C
D
A
B
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,EB//FD
又
∴EB=FD
∴四边形EBFD是平行四边形.
想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义法）
两组对边分别相等的四边形是平行四边形（判定定理1）
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理4）
从角考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从对角线考虑
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
当堂练习
1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别相等
B . 两条对角线互相平分
C . 两条对角线相等
D . 两组对边分别平行
分析
C
D
A
B
C
2.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
3. 如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF= .
A
F
B
D
C
E
P
8
4.已知AD//BC ，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件 .
AD=BC或AB//CD
A
B
C
D
E
F
答：是，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∴∠AEB=∠CFD=900.
∴△ABE≌△CDF.
∴AE=CF.
∵ ∠AEF=∠CFE=900,
∴AE//CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
平行四边形的判定
判定
方法
定义法
思路
选择
判定理理1
判定定理2
判定定理3
判定定理4
①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行，即定义法；也可证这组对边相等，构成判定定理4.
②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等，构成判定定理1；也可证这组对边平行，构成判定定理4.
③已知一组对角相等，再证另一组对角相等，构成判定定理2.
④已知有一条对角线被平分，再证另一条对角线被平分，构成判定定理3.
课堂小结
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2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定导学案
学习目标
学习平行四边形的三种判定方法；
2、能结合图形用几何语言说出平行四边形的判定过程.
重点：
平行四边形的判定
难点：
能用平行四边形的判定方法解决简单的问题.
学习过程
复习
1、 称为平行四边形.
2、平行四边形边的性质：（1）两组对边分别 .（从位置考虑）.
（2）两组对边分别 （从数量考虑）.
二、探究新知
1、结合图形1用定义可以说明四边形ABCD是平行四边形，
如图在四边形ABCD中
∵AB// ， //AD
四边形ABCD是平行四边形
由此平行四边形的定义也可以作为一个判定：
平行四边形的判定一（定义法----两组对边的位置法）：
2、请同学们思考：两组对边分别相等的四边形是平行四边形马？动动手.
用两根一样长的木条作为一组对边（AB=CD)，再用两根一样长的木条作为另一组对边(AD=BC)拼一个四边形(如图）.这个四边形是平行四边形吗？自己验证.
证明：（用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”加以证明）
平行四边形的判定二（两组对边的数量法）：
判定格式：如图
在四边形ABCD中
∵AB=CD，AD=BC
四边形ABCD是平行四边形.
3、两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？（用以上判定方法二探究）
平行四边形的判定三（两组对角法）：
判定格式：如图
在四边形ABCD中
（第1题）
∠A=∠C，∠B=∠D
四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定四（对角线法）：
4、动手试一试：把两根长度不一样的木条的中点用一颗钉子固定，然后用线段顺次连接两木条的端点（即得四边形---图1）.猜一猜这个四边形是平行四边形吗？
5、验证你得猜想：如图2，AC、BD是四边形ABCD的对角线，
交点是点O，且OA=OC，OB=OD.
则四边形ABCD是平行四边形.
解：由于在和中
≌ ( )
AB= ( )
（ ）
AB// （ ）
四边形ABCD是 .( )
6、归纳
平行四边形的第五种判定方法：
判定格式如图， 在四边形ABCD中
∵OA= ； =OD
四边形ABCD是平行四边形.
三、课堂小结
平行四边形的判定方法-------两组对边法：（1）
（2）
（3）
四、达标测试
1．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A.AB=CD，AD=BC B.AB=CD，AB∥CD
C.AB=CD，AD∥BC D.AB∥CD，AD∥BC
2. 如4-2-5图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）
A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDE
3.某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm，5cm，7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 四边形ABCD中，AD∥BC，当满足下列（ ）条件时，四边形ABCD是平行四边形．
A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180°
5.在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，已知OA=OC=2，OB=OD=3，则AB与CD的关系是__ _ _.
6. 在四边形ABCD中，若分别给出四个条件：①AB∥CD，②AD=BC，③∠A=∠C，④AB=CD．现以其中的两个为一组，能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是_ _.（只填序号，填上一组即可，不必考虑所有可能情况）．
7.如4-2-6图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC=6，AB=3，求四边形ABCD的周长．
8.已知，如42-7图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB
（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
9.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．
（1）求证：△BDE≌△CDF．
（2）请连结BF,CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由．
参考答案
1.C，2.D，3.C，4.D，5.平行且相等，6.①③或①④或②④（只要求填一组）
7.解：因为AB∥CD,所以∠B+∠C=180°又因为∠B＝∠D ，所以∠C+∠D=180°所以AD∥BC即得ABCD是平行四边形 ，所以AB=CD=3，BC=AD=6 ，所以四边形ABCD的周长=2×6+2×3=18.8.（1）因为DF∥BE，因为∠DFA＝∠BEC，在△AFD和△CEB中，因为DF＝BE ∠DFA＝∠BEC AF＝CE，△AFD≌△CEB（SAS），
（2）是平行四边形，因为△AFD≌△CEB，所以AD＝CB ∠DAF＝∠BCE，所以AD∥CB，
9.证明：(1)因为CF∥BE，所以∠EBD＝∠FCD．又因为∠BDE＝∠CDF，BD=CD，所以△BDE≌△CDF．（2）四边形BECF是平行四边形．由△BDE≌△CDF ,得ED=FD．因为BD=CD，四边形BECF是平行四边形
4-2-6
4-2-5
4-2-7
4-2-8
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