(共22张PPT)
18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的判定（2）
18.1.2 平行四边形的判定
如图，A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两点间的距离，但又无法直接去测量，怎么办？这时，在A、B外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测量出DE的长度，也就知道AB的距离了。这是什么道理呢？
情景引入
我们知道，两组对分别平行或相等的是平行四边形。如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
活动1：探究一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
合作探究
创设情境 温故探新
如图所示，连接AC.
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
D
A
B
C
如图，在四边形ABCD中，AB//CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
1
2
(
)
判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
ABCD
“ ”读作“平行且相等”.
AD BC
知识要点
平行四边形AEFD和平行四边形EBCF有一条公共边EF，我们称它们是共边的两个平行四边形.根据平行四边形的性质非常容易得到AD BC.
//
=
例1 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
你会证了吗？试试吧！
提示
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
//
=
//
=
//
=
例1 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.
想一想，什么是三角形的中线呢？
A
B
C
D
E
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.则线段DE就称为△ABC的中位线.
活动2：探究三角形的中位线的概念和定理
F
三角形的中位线和三角形的中线一样吗？
中位线
A
B
C
D
E
中线
连接一顶点和它的对边中点的线段.
三角形中位线
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段．
三角形中线
(1)一个三角形有几条中位线？你能画出来吗？
A
B
C
D
E
F
答：有三条，见图中中位线DE、DF、EF.
(2)请你猜想：三角形的中位线DE与BC有什么样的位置关系和数量关系呢？
猜想
思考
已知：如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证：
分析：要证明线段的倍分关系，可将DE加倍后证明与BC相等.从而转化为证明平行四边形的对边的关系， 于是可作辅助线，利用全等三角形来证明相应的边相等.
D
E
B
C
A
证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC、DC、AF.
∵ AE=CE，
D
E
B
C
A
F
∴四边形DBCF是平行四边形.
∴DE∥BC,
∴四边形ADCF是平行四边形，
D
E
B
C
A
有什么发现呢？
在△ABC中 AD=BD，AE=CE
我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
A
B
C
D
E
几何格式：
DE∥BC
能测量出DE的长度，也就知道AB的距离了.这是什么道理呢？
答：这是根据三角形中位线的性质定理.
例2 如图，在△ABC中，DE是中位线.
（1）若∠ADE=60°，则∠B= .
（2）若BC=8cm，则DE= cm.
A
B
C
D
E
（3）已知三角形三边分别为4、6、8，则连接该三角形各边中点所得的三角形的周长是 .
60°
4
9
A
B
C
D
E
F
重要发现：
①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.
例3 （1）在△ABC中，BD、CE分别是边AC，AB上的中线，BD、CE相交于点O，H点M、N分别是OB、OC的中点，试猜想四边形DEMN是什么四边形？请加以证明.
答：四边形DEMN是平行四边形.
理由如下：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，DE= BC.
∵MN是△OBC的中位线
∴MN//BC，MN= BC.
∴四边形DEMN是平行四边形.
例3 （2）上述条件不变，若AO=4，BC=8，则四边形DEMN的周长是 .
提示
利用三角形中位线性质定理可知EM=2，MN=4
12
判定定理4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等，构成判定定理1；也可证这组对边平行，构成判定定理4.
①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行，即定义法；也可证这组对边相等，构成判定定理4.
平行四边形判定方法的选择方法
课堂小结
三角形中位线是三角形中重要线段，它与三角形中线不同.
三角形中位线具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或两个关系.熟悉三角形中位线基本图形，有时需要适当构造三角形中位线的条件是用好定理的条件.
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
2 平行四边形的判定
第2课时 三角形的中位线导学案
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
学习过程
复行四边形的判定：（1）
（2）
（3）
三角形的几种重要的线段：（1）中线：
（2）角平分线：
（3）高：
二、探究新知
1、看课本，回答问题.
（1） 叫做三角形的中位线.
（2）一个三角形有 条中位线，
你能在图1的三角形中画出三角形的中位线.
2、探究三角形的中位线定理
在图2中，我量线段EF= ，AB= ，
我可以猜测出线段EF与AB的关系式是 .
我还可以猜测出线段EF与AB的位置关系是： .
三、练一练
如图3，点E、F分别是边AC、BC上的中点，
求证：EF=AB，EF//AB.
证明：（如图4）延长EF到G,使FG=EF
则全等于
BG= = ，GF= ， （第1题）
=
则CE// . （ ）
即 AE//
又AE=
所以四边形 是平行四边形.（ ）
所以EG= ，EG// . （平行四边形的 ）
又因为EF=FG
所以EF= = ，EF// .
四、课堂小结
五、达标测试
1.如图，DE是△ABC的中位线，若BC=8，则DE的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．3 B．2 C．D．4
3.如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（ ）
A．25cm B．50cm C．75cm D．100cm
4.如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点0，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO=6cm，BC=8cm，则四边形DEFG的周长是（ ）
A．14 cm B．18 cm C．24 cm D．28 cm
5.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=20，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=4．若∠AFC=90°，则BC的长度为（ ）
A．24 B．28 C．20 D．12
6.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，D、E、F分别为BC、AC、AB中点，连接DE、FE，则四边形BDEF的周长是________．
7.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于_____________cm．
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=______．
9.如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点．求证：四边形ADEF是平行四边形．
10.如图，△ABC中，AB=AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC．
（1）求证：FE=FD；
（2）若∠CAD=∠CAB=24°，求∠EDF的度数．
11.如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
参考答案
1.B 解析:∵DE是△ABC的中位线，BC=8，∴DE=BC=4．
2.A 解析:在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDC=∠ABC．∵BF平分∠ABC，∴∠EDC=2∠FBD．在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，∴∠DBF=∠DFB，∴FD=BD=BC=×6=3．
3.D 解析：∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴∠ODB=∠ACB=90°，∴OD∥AC，∵O为AB的中点，∴D为BC中点，即OD为中位线，∴AC=2OD=100cm.
4.A 解析：∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED=BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG=BC，∴ED=FG=BC=4cm，
同理GD=EF=AO=3cm，∴四边形DEFG的周长=3+4+3+4=14（cm）．
5.B 解析:如图，∵∠AFC=90°，AE=CE，AC=20，∴EF=AC=10，又DF=4，∴DE=4+10=14；∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC=2DE=28．
6.14 解析:∵D、E分别为BC、AC中点，∴DE=AB=3，DE∥AB，∵E、F分别为AC、AB中点，∴EF=BC=4，EF∥BC，∴平行四边形BDEF的周长为：2×（3+4）=14.
7.14 解析:∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．
8.3 解析:连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，
9.证明：∵D、E分别为AB、BC的中点，∴DE∥AC，∵E、F分别为BC、AC中点，∴EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形．
10.（1）证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE=AB，∵F是AC的中点，∠ADC=90°，∴FD=AC，∵AB=AC，∴FE=FD；（2）解：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE∥AB，∴∠EFC=∠BAC=24°，∵F是AC的中点，∠ADC=90°，∴FD=AF．∴∠ADF=∠DAF=24°，∴∠DFC=48°，∴∠EFD=72°，∵FE=FD，∴∠FED=∠EDF=54°．
11.解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180-70）°=130°，∴∠PMN==25°．
三角形的中位线定理：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
