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2 矩形
第1课时 矩形的性质导学案
学习目标
1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
重点：矩形的性质.
难点：矩形的性质的灵活应用.
学习过程
一、看课本回答下列问题.
1、 叫做矩形.矩形是 的平行四边形.
2、从矩形的定义中可以发现：两层意义1 ， 2
二、探究矩形的性质
1、从矩形的意义可以探究矩形具有的性质：
矩形的对角
（1）矩形具有平行四边形具有的一切性质 矩形的对边
矩形的对角线互相
（2） 矩形是轴对称图形，有（ ）条对称轴.
（3）矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质（探究、归纳）：
①如右图：矩形ABCD的四个角都是
几何语言 ：
∵ ABCD是矩形
∴∠A =∠B=∠ =∠ =90
②如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD交于O点，你能猜出AC=BD吗？证明你的猜想.
证明：
由此矩形的对角线
几何语言 ： ∵ ABCD是矩形
∴对角线 A C =
（4）练习：结合图形1我能说出矩形的一些性质：
（1）边：AB= ，AD=
（2）角：= = = =
（3）对角线：AC= ，
OA= = = = =
（4）在图1中有 对全等的三角形，它们分别是 ；
（5）图1中有 个等腰三角形，它们分别是
三、探究直角三角形的性质
如图：矩形ABCD的一条对角线将它分成 部分， 两条对角线将它分成 部分，
有哪几种特殊的三角形？
由此推断：OA、OB、OC、OD有什么大小关系？ = = = = （第1题）
=
从矩形的性质可以得到：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
几何语言: ∵BO是斜边AC上的中线
∴ BO=
四、达标测试
1.矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC．若AC=18cm，则AD的长为( )cm．
A.8 B.9 C.4.5 D.7
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )
A. B. C. D.
3. 矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE= 3，则BD的长为( )．
A.4 B.5 C.6 D.7
4. 直角三角形两条直角边分别是6、8，则斜边上的中线长______．
5.矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的和为8cm，则这个矩形的一条较短边为______cm．
6. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为_______．
7. 如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=______度．
8. 如图矩形ABCD中，AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，则四边形DBFE的面积为________cm2．
9.如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F．
(1)猜想：AD与CF的大小关系；
(2)请证明上面的结论．
10.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
11.如图所示，折叠矩形的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长．
参考答案
1.B 解析：因为∠AOB=2∠BOC，所以∠AOB=120°，∠BOC=60°，∠CAB=30°．因为AC=18cm，所以BC=9cm，矩形ABCD中AD=BC=9cm．
2.B 解析：根据矩形的性质，可得△EBO≌△FDO，由△AOB与△OBC同底等高，即可得出结论．
3.A 解析：因为矩形ABCD，所以OA=OD=BD；因为OE：ED=1：3，所以可设OE=x，ED=3x，则OD=2x，因为AE⊥BD，AE= 3，因为在Rt△OEA中，x2+( 3)2=(2x)2，所以x=1，所以BD=4．
4. 5 解析：因为直角三角形两条直角边分别是6、8，所以斜边长为10，所以斜边上的中线长为5．
5.2 解析：矩形的两条对角线交角为60°的三角形为等边三角形，又因为两条对角线的和为8cm，故一条对角线为4cm，又因为矩形的对角线相等且相互平分，故矩形的一条较短边为2cm．
6. 解析：EF垂直且平分AC，故AE=EC，AO=OC．所以△AOE≌△COE．设CE为x．则DE=AD-x，CD=AB=2．根据勾股定理可得x2=(3-x)2+22，解得CE= ．
7.15° 解析：因为∠BAF=60°，所以∠DAF=30°，又因为AF是AD折叠得到的，所以∠DAE=∠EAF=15°.
8.10 解析：AB=8cm，CB=4cm，E是DC的中点，BF=BC，所以CE=4，CF=1．所以四边形DBFE的面积=8×4-×8×4-×4×1=10cm2．
9.解：(1)AD=CF．
(2)因为四边形ABCD是矩形，所以∠AED=∠FDC，所以DE=AB=CD．又因为CF⊥DE，所以∠CFD=∠A=90°．所以△ADE≌△FCD．所以AD=CF．
10.解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．所以∠FEC=90°．所以∠AEF+∠DEC=90°．而∠ECD+∠DEC=90°．所以∠AEF=∠ECD．又∠FAE=∠EDC=90°，EF=EC．所以Rt△AEF≌Rt△DCE．所以AE=CD．AD=AE+4．因为矩形ABCD的周长为32cm．所以2(AE+AE+4)=32．解得，AE=6(cm)．
11.解：设EC的长为xcm，所以DE=(8-x)cm．因为△ADE折叠后的图形是△AFE，所以AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．因为AD=BC=10cm，所以AF=AD=10cm．又因为AB=8cm，在RT△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2，所以82+BF2=102，所以BF=6cm．所以FC=BC-BF=10-6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，所以42+x2=(8-x)2，化简，得16x=48．所以x=3．故EC的长为3cm．
A
C
B
D
A
C
B
D
D
O
C
B
A
O
O
B
A
C
A
C
D
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18.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形的性质
18.2.1 矩形
这个平行四边形有何特殊之处？
它的内角是直角
情景引入
平行四边形
有一个角是直角的平行四边形
叫做矩形.
有一个角是直角
矩形
活动：探究矩形的性质
合作探究
大胆说出展现自我
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，猜想还有哪些特殊性质呢？
A
B
C
D
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
几何画板验证性质
边 角 对角线
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
O
这是矩形所特有的性质
知识要点
O
D
C
B
A
┛
在Rt△ABD中，AO是斜边BD的中线
直角三角形的性质 ：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
则有：AO= BD
问题：矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.(1)图中有哪些相等的线段 (2)图中有哪些特殊形状的三角形
在矩形ABCD中
AO=CO=BO=DO= AC= BD
D
C
B
A
┓
例1 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,
BD＝_____㎝.
6
5
10
A
B
C
D
o
60
例2 已知铝合金窗框ABCD两条对角线的夹角
∠ AOB为60 ° ， △ AOB的周长为3 m.
（1）求窗框对角线AC长；
（2）求窗框ABCD的面积.
课堂小结
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