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第2课时 矩形的判定导学案
学习目标
1. 经历探索矩形的判定方法的过程，理解矩形的判定定理.
2. 能利用矩形的判定解决问题．
重点：理解矩形的判定定理，应用矩形的判定定理解决问题．
难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．
学习过程
一、复习旧知
二、探究新知
1、探究归纳矩形的判定定理，并用模式表示：
（1）你能确定有三个角是直角的四边形是矩形吗？（自己探究）.
判定定理1（从四边形矩形）：有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言: 在四边形ABCD中， ∵
∴
（2）我们知道矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
由此这个定义可以作为一个判定吗？
判定定理2（从平行四边形矩形）：有一个角是直角（900）的平行四边形是矩形.
几何语言: 在平行四边形ABCD中， ∵ 或 或 或
∴
（3）矩形的对角线 ，对角线相等的平行四边形是矩形吗？（证明你的回答）
证明：
判定定理3（从平行四边形矩形）：对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言: 在平行四边形ABCD中， ∵
∴
【归纳总结】矩形的判定方法：
1、有一个角是 的平行四边形是矩形；
2、四个角都是 的四边形是矩形；
3、对角线 的四边形是矩形.或者说，对角线 的平行四边形是矩形
三、课堂练习
思考：下列命题是否正确，正确的加以证明，不正确的通过举反例或画图加以说明
（1）有一个角是直角的四边形是矩形
（2）对角线互相平分且又相等的四边形是矩形
（3）四个角都相等的四边形是矩形
四、课堂小结
（1）证明四边形是矩形的方法：
一般先证明它是平行四边形，然后再证明一个直角或者对角线相等
（2）证明平行四边形是矩形的方法：
一般可在角上找条件，也可在对角线上找条件.
判定方法 ： 从角的条件看 、
( 种)
从对角线的条件看 .
五、达标测试
1．下列说法错误的是( )
A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B.矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.有两个角是直角的四边形是矩形
2. 平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是( )
A.AB=BC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD
3. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是( )
A、甲量得窗框两组对边分别相等
B、乙量得窗框的对角线相等
C、丙量得窗框的一组邻边相等
D、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
4. 如图所示，已知平行四边形ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能说明平行四边形ABCD是矩形的有 (填写编号).
5. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使得平行四边形ABCD变为矩形，需要添加的条件是 ．(写出一个即可)
6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是 ．(写出一种情况即可)
7. 将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形．试写出其中一种四边形的名称 ．
8.平行四边形内角平分线能够围成的四边形是______.
9.如图甲，李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为矩形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为矩形(图乙供设计备用)．
10.如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
11.如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
参考答案
1.D
2.B 解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
3.D 解析：先判断是平行四边形，在判断是矩形，由此可判断选项D正确.
4.①④
5.AC＝BD或∠ABC＝90°等．
6. ∠A=90°或AD=BC或AB∥CD
6. ∠A=90°或AD=BC或AB∥CD
7.平行四边形或矩形
8.矩形 解析：因为“平行四边形的两组对角分别相等”，“邻角互补”所以相邻两个角的平分线组成角是直角，即平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形四个角都是直角，是矩形.
9.解：方案如下：
(1)用卷尺分别比较AB与CD，AD与BC的长度，当AB=CD，且AD=BC时，四边形ABCD为平行四边形；否则四边形ABCD不是平行四边形，从而不是矩形．
(2)当四边形ABCD是平行四边形时，用卷尺比较对角线AC与BD的长度．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形；否则四边形ABCD不是矩形．
10.解：(1)因为BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，所以BF=CE．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=DC．在△ABF和△DCE中，因为AB=DC，BF=CE，AF=DE，所以△ABF≌△DCE．
(2)因为△ABF≌△DCE，所以∠B=∠C．因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD．所以∠B+∠C=180°．所以∠B=∠C=90°．所以四边形ABCD是矩形．
11..(1)在等边△ABC中，因为点D是BC边的中点，所以∠DAC＝30 ，又因为等边△ADE，所以∠DAE＝60 ，所以∠CAE＝30
(2)在等边△ABC中，因为F是AB边的中点，D是BC边的中点，所以CF＝AD，∠CFA＝90 ，又因为AD＝AE，所以AE＝CF，由(1)知∠CAE＝30 ，所以∠EAF＝60 +30 ＝90 ，所以∠CFA＝∠EAF，所以CF∥AE，因为AE＝CF，所以四边形AFCE是平行四边形，又因为∠CFA＝90 ，所以四边形AFCE是矩形．
A
C
B
D
A
C
B
D
D
O
C
B
A
D
O
C
B
A
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18.2 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
18.2.1 矩形
1.什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.矩形有哪些性质？在这些性质中哪些是平行四边形所没有的？列表进行比较.
平行四边形 矩形
边
角
对角线
两组对边平行
两组对边相等
两组对边平行
两组对边相等
两组对角相等
四个角都直角
互相平分
互相平分且相等
复习引入
3.小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框吗？看看谁的方法可行？
平行四边形
有一个角是直角的平行四边形
叫做矩形.
有一个角是直角
矩形
矩形定义也是矩形的原始判定方法.
你还有其它的判定方法吗？
活动：探究矩形的判定方法
合作探究
为了检测小华做的相框是否成矩形，我们还有一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
A
B
O
C
D
已知：在平行四边形ABCD中，AC=BD.
求证：平行四边形ABCD是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
对角线相等的平行四边形是矩形 .
矩形的判定定理1：
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
A
B
C
D
O
（或OA=OC=OB=OD）
知识要点
前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？
提示：用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”去证.
矩形的判定定理2：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
A
B
C
D
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
几何语言：
例1 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
例1 下列各句判定矩形的说法是否正确？
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
X
例2 已知：矩形的对角线ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，且AE=BF=CG=DH
求证：四边形EFGH是矩形
Ｂ
A
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
题中涉及到对角线，因此选用对角线的判定方法进行证明会比较简单.
提示
Ｂ
A
Ｃ
Ｄ
Ｏ
Ｅ
Ｆ
Ｇ
Ｈ
∵四边形ABCD是矩形；∴OA=OC=OB=OC,AC=BD
∵AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形
又EG=FH
∴四边形EFGH是矩形.
证明：
矩形的判定方法 分两类
从四边形来判定
从平行四边形来判定
矩形的常用
判定方法
定义法
判定定理1
判定定理2
课堂小结
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 .
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 .
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