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2 菱形
第1课时 菱形的性质导学案
学习目标
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．
重点：菱形的性质1、2．
难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
学习过程
一、自主学习
看课本P55回答下列问题：平行四边形 菱形
1、 叫做菱形.菱形是 的平行四边形.
2、从菱形的定义中可以发现：两层意义1、 ；2、
二、探究菱形的性质与面积计算
1、菱形的一般性质
（1）菱形也具有平行四边形的所有性质．
、 、 .
2、菱形的特殊性质
观察剪下来的图形是怎样的图形．实际上，学生很容易发现，剪下的一个图形是菱形．动手操作后发现：
（1）菱形是轴对称图形，有 条对称轴
对称轴就是它的对角线所在的直线（两条）．
（2）利用轴对称图形的性质可知：
性质定理1：（1）菱形的四条边都相等；
几何语言: ∵
∴
性质定理2：（2）菱形的两条对角线互相垂直，
并且每一条对角线平分一组对角．
几何语言: ∵
∴
3、菱形被两条对角线分成四个全等的小直角三角形，
思考：你可以用哪些方法求菱形的面积？每种方法中要知道哪些条件？
得出菱形的面积计算公式：
（方法一）
（方法二）
三、课堂练习
1、如图2
（1）菱形是 图形，它的对称轴是 ；
（2）菱形的 互相垂直，并且每一条对角线 .
我可以结合图形2，将菱形的性质加以描述：
（1）菱形ABCD是轴对称图形，它的对称轴有 条，
是直线 ；
（2）菱形的对角线 ；
（3）在菱形ABCD中，
= = =；
= = = = （第1题）
= ；
= = = == ；
= + = + = + =
（4）在图形2中，有 对全等的三角形，它们分别是
2、如图，在菱形ABCD中，E、 F是AB、AC的中点，，如果EF=4，那么CD的长为（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．8
3、已知菱形 的边长为2cm， ，两条对角线AC与BD相交于O点 ，如右图，求这个菱形的对角线长和面积．
四、达标测试
1．在菱形ABCD中，两条对角线AC＝6，BD＝8，则此菱形的边长为 ( )
A．5 B．6 C．8 D．10
2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC=4，∠BAD=120°，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．18 C．16 D．15
3. 已知菱形的边长为5cm，一条对角线的长为5cm，则菱形的最大内角是( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
4.菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD长为7cm，则此菱形周长_____cm．
5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是 cm2．
6.已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AB=6，∠BDC =30，则菱形的面积为 ．
7. 已知菱形的边长等于2cm，菱形的一条对角线也是长2cm，则另一条对角线长是_____.
8. 菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是_______.
第2题图 第5题图 第8题图
9.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F．请你猜想DE与DF的大小有什么关系，并证明你的猜想．
10. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．
(1)求△BDE的周长；
(2)点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP=DQ．
11.如图，菱形ABCD中，AB=4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
参考答案
1.A 解析：菱形对角线的一半与菱形一边组成直角三角形，由勾股定理可得菱形的边长是=5.
2.C 解析：因为∠BAD=120°，所以∠BAC=60°，因为BA=BC，所以△ABC是等边三角形，所以AB=AC=4，所以菱形ABCD的周长为4×4=16.
3. B 解析：根据已知可求得该对角线与菱形的边长组成一个等边三角形，从而得到菱形的一个角为60°，从而得到其邻角为120°，即菱形的最大的内角为120°．
4.28 解析：因为∠A=60°，所以△ABD是等边三角形，所以AB=BD=7cm，所以此菱形周长4×7=28cm．
5.16 解析：利用勾股定理求出一个直角三角形的面积乘以4即可.
6. 解析：利用30°所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理，求出另一条对角线，再求出一个直角三角形的面积乘以4即可.
7. 解析：根据菱形的对角线和一边长组成一个直角三角形的性质，再由勾股定理得出另一条对角线的长即可．
8.(3，-1) 解析：首先连接AB交OC与点D，由四边形OACB是菱形，可得AB⊥OC，AD=BD=1，OD=CD=3，易得点B的坐标是(3，-1)．
9.解：DE=DF．
证明：连接BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以∠CBD=∠ABD．
因为DF⊥BC，DE⊥AB，
所以DF=DE．
10.解：(1)因为四边形ABCD是菱形，
所以AB=BC=CD=AD=5，
AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=3，
所以OB= ，
BD=2OB=8，
因为AD∥CE，AC∥DE，
所以四边形ACED是平行四边形，
所以CE=AD=BC=5，DE=AC=6，
所以△BDE的周长是BD+BC+CE+DE=8+10+6=24．
证明：(2)因为AD∥BC，
所以∠OBP=∠ODQ，∠OPD=∠OQD，
因为OB=OD，
所以△BOP≌△DOQ，
所以BP=DQ．
11.解：(1)连接AC、BD并且AC和BD相交于点O，
因为AE⊥BC，且AE平分BC，
所以△ABC和△ADC都是正三角形，
所以AB=AC=4，
因为△ABO是直角三角形，
所以BD=，
所以菱形ABCD的面积是．
(2)因为△ADC是正三角形，AF⊥CD，
所以∠DAF=30°，
又因为CG∥AE，AE⊥BC，
所以四边形AECG是矩形，
所以∠AGH=90°，
所以∠AHC=∠DAF+∠AGH=120°．
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18.2 特殊的平行四边形
第1课时 菱形的性质
18.2.2 菱形
两组对边
分别平行
平行
四边形
矩形
前面我们学行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形
菱形
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化,让它有一组邻边相等,这个特殊的四边形叫什么呢
(菱形)
四边形
情景引入
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
“法兰西巡逻兵”飞行表演队称得上是世界最著名、同时也是世界最古老的飞行特技小组之一，他们的飞行秉承法国文化中固有的优雅风范，编排巧妙，它的飞行表演也并不在意是否雷霆万钧气势迫人，而是专注于芭蕾般的优美与法国击剑一样的敏捷和灵活.
三菱汽车标志欣赏
菱形就在我们身边
菱形就在我们身边
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？从这个图形中你有什么发现？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
活动1：探究菱形的性质
合作探究
A
D
O
C
B
我们已经知道矩形和菱形是特殊的平行四边形，因此矩形菱形都是中心对称图形，想一想 矩形、菱形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，对称轴各几条？
矩形是轴对称图形，对称轴有两条.
菱形是轴对称图形，对称轴有两条.
性质1：菱形的四条边都相等.
A
B
D
C
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
菱形的特殊性质：
菱形是轴对称图形, 对称轴有两条,是菱形两条对角线所在的直线.
应用格式：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角.
菱形的性质2：
O
D
C
B
O
A
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，
AC平分∠DAB和∠DCB
BD平分∠ADC和∠ABC
应用格式：
O
证明欣赏
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD,（菱形的定义）
∴ AC⊥BD ,AC平分∠DAB (为什么 )
同理：AC平分∠DCB
OD=OB （平行四边形的对角线互相平分）
BD平分∠ADC和∠ABC
D
C
B
O
A
边
角
对角线
对称性
菱形的两组对边平行且相等
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相平分
菱形的两条对角线互相垂直，
每一条对角线平分一组对角.
菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.
菱形是轴对称图形，有2条对称轴，是两条对角线所在的直线.
O
D
C
B
O
A
知识要点
例1.（1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
（2）菱形ABCD中∠ABC＝60度，则∠BAC＝_______.
3cm
60度
（3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ）
C
A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm
A
B
C
D
O
3
4
1.有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.
2.当菱形有一内角是60度或120度时，菱形可以看成是由两个全等的等边三角形拼成的.我们称这种菱形为特殊菱形.此时菱形的面积公式=2倍等边三角形的面积.
（提示：等边三角形面积计算公式是 ）.
菱形是特殊的平行四边形,
那么能否利用平行四边形
面积公式计算菱形的面积吗
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
菱形的面积
活动1：探究菱形的面积计算公式
菱形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能 计算菱形的面积公式吗
S菱形=底×高=对角线乘积的一半
为什么
菱形的面积
ABCD=4SRt△ABO = AC·BD
S菱形
例2 已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2.
求（1）∠ABC的度数；
A
B
C
D
E
O
2
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB
∴AD=AB=BD
∵ E是AB的中点，且DE⊥AB
∴DA=DB（DE为AB 的中垂线）
∴ ∠DAB= 60 °， ∴ ∠ABC=120 °
解：
A
B
C
D
E
O
2
（2）
∵AE=2， ∴ AB=4 ∴ BD=AB=4
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥DB
∵ DB=4 ∴ 0B=2
∴ 在R t△AOB中,由勾股定理得
2
AO=
∴ AC=4
（3）
在Rt△DAE中,由勾股定理得
DE=
=2
∴ S菱形ABCD=4×2
=8
例2 已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2.
求（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积
你知道本题还有更简单的求面积方法吗？
1个定义
2个公式
3个特性
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形.
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
：特在“边、对角线、对称性”
课堂小结
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