中小学教育资源及组卷应用平台
2 正方形
学习目标
使学生掌握正方形的概念，知道正方形具有矩形和菱形的一切性质，并会用它们进行有关的论证和计算.
重点：
正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：
正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
学习过程
一、想一想
1．矩形的定义：
2．菱形的定义：
3．通过你以前学到的知识说说什么样的图形叫正方形？
二、探一探
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．试用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形来．
3．通过折纸你认为具备什么条件的矩形是正方形？
4．你再想想，具备什么条件的菱形是正方形？
5．通过1、3、4我们发现：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：
（1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形）
（2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形）
三、试一试
1．通过上图，我们发现：
正方形具有 的性质，同时又具有 的性质．
2．归纳正方形的所有性质：
四、练一练
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．下列说法是否正确，并说明理由．
①对角线相等的菱形是正方形；（ ）
②对角线互相垂直的矩形是正方形；（ ）
③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ）
④四条边都相等的四边形是正方形；（ ）
⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ）
3．已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF．
五、做一做
1．求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
2.已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）．求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
3．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
4．如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形．
5．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．
6．已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．
7．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数．
六、小结与反思：
七、达标测试
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角
2. 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C
C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC
3. 如图，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角α的大小等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，那么图中共有___个等腰直角三角形．
5.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC，则∠BCE的度数是_______度．
6. 如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC=______度．
7. 如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_____．
8. 如图，已知P是边长为2的正方形ABCD的边CD任意一点，且PE⊥DB，垂足为E，PF⊥CA垂足为F，则PE+PF的长是______．
9.已知：如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．
10. 如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F．你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由．
11.如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
(1)请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；
(2)若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
A
B
C
D
E
F
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共16张PPT)
18.2 特殊的平行四边形
第1课时 正方形的性质
18.2.3 正方形
取一张长方形纸片,对折两次,并沿图(3)中的斜线剪开,把剪下的1这部分展开,平铺在桌面上.
(1)
(2)
(3)
问剪出的这个图形是哪一种四边形
45°
（
情景引入
2.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出是什么四边形纸片？
A
B
C
D
正方形就在身边
勾股定理
1． 正方形的定义
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形.如图(1).
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
活动：探究正方形的性质
合作探究
正方形性质:
边 对边平行
四边相等
角 ：四个角都是直角
对角线 相等
互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
A
B
D
C
O
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
正方形的性质=
对称性
特征
正方形是中心对称图形,对称中心为点O.
它也是轴对称图形,有4条对称轴.
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
知识要点
从图中可看出，
⑴在正方形中产生了哪些特殊图形？
⑵产生了哪些特殊角？
D
O
A
B
C
450
450
450
450
450
450
450
450
4个全等的小等腰直角三角形和4个全等的大等腰直角三角形.
900和450
正方形图形“庐山真面目”
例1（1）已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm,如右图.则AC=_______cm,面积S=________cm2.
4
(2)正方形ABCD的面积是9cm2.则AB=_______,AC=___________.
3cm
A
B
D
C
O
例2 如图在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，则PE和PC的长度之和最小可达到_____________ .
A
B
C
D
E
F
G
P
提示
由于正方形是轴对称图形，对角线BD是它的对称轴，点A与点C是对称点，因此AC的长就是PE和PC长度和的最小值.
一个角是直角
1.正方形的概念：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
有一组邻边相等
有一个角是直角
图示：
课堂小结
正方形具有_____的性质，同时又具有______的性质．
边：对边________，四边_________；
角：四个角都是________；
线：对角线相等，互相________，每条对角线平分一组________．
形：是_______________对称图形.
菱形
矩形
直角
都相等
相等
轴对称和中心
平分
对角
2.正方形的性质：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php(共13张PPT)
18.2 特殊的平行四边形
第2课时 正方形的判定
18.2.3 正方形
有位小姐在商店看到一条非常漂亮的纱巾，非常想买，她拿起看时总感觉这块纱巾不是正方形，商店老板看她犹豫的样子，马上过来拉起一组对角，让小姐看另一组对角是否对齐，小姐还有些疑惑，老板又拉起另一组对角，让小姐检验，小姐看到都对齐后就买了这条方巾，你认为小姐买的这条方巾真是正方形吗？你能采用什么方法可以检验出来？
情景引入
怎样判定一个矩形是正方形？怎样判定一个菱形是正方形？
怎样判定一个平行四边形是正方形？
活动：探究正方形的判定
合作探究
1 .定义法：
2.矩形法：
4.对角线法：
一邻边相等
一个直角
+
+
平行四边形
=
正方形
3.菱形法：
一邻边相等
+
矩形
=
正方形
一个直角
+
菱形
=
正方形
互相平分
+
互相垂直
相等
+
=
正方形
例1 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
（2）对角线互相垂直的矩形；
（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形.
解：(1) 是正方形，根据平行四边形判定法；(2) 是正方形，根据矩形判定法. (3) 是正方形,根据菱形判定法.(4) 是正方形，根据上述其中一个判定方法皆可.
7
7
7
7
例2 下列三个图形都是正方形,你相信吗
5
5
5
5
5
5
5
5
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.
例2 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
提示
即用矩形法.即先证四边形CFDE是矩形；
再证DF=DE .
例2 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．
求证：四边形CFDE是正方形．
证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于E，
DF⊥AC于F
∴四边形CEDF有三个直角，
它是矩形
又∵CD平分∠ACB
根据角平分线上的点都两边的距离相等，可知DE=DF，所以矩形CEDF有一组邻边相等
根据正方形的判定方法，知四边形CEDF是正方形
想一想：你能用另外一种方法完成证明吗？
答：不一定是正方形，因为菱形会对角对齐,简单的判断的方法是对折两次看是否是等腰直角三角形，如是则一定是正方形，反之，则不是.如下图
第一次可确定为菱形
第二次即可确定其为正方形
思考：正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中.
菱形
正方形
矩形
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
