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19.1 函数
第十九章 一次函数
第2课时 函数
19.1.1 变量与函数
1.国家为了提高农村学生营养水平，每天补助学生营养午餐费3元/人.某中学八（2）班有学生60人，则每天国家需补助 元；该中学共有学生325人，则每天国家补助了 元.设学生数为x（人），国家补助金额为y（元），则y= .
在这个变化过程中，通过计算可以发现：
（1） 随 的变化而变化;
（2）每当学生数x取定一个值时，国家补助金额y就
.
180
975
3x
国家补助金额y
学生数x
有唯一确定的对应值
情景导入
2.因营养午餐产生了大量垃圾，学校要新建一个垃圾池.规划中的垃圾池平面图是周长为10米的长方形，设长方形一边长为x米，则另一边长为（5-x）米，面积S（米2）与长方形的一边长x的关系式为S=x(5-x),完成下表：
一边长x/米 4 3 2.5 2
面积S=x(5-x)/米2
4
6
6.25
6
在这个变化过程中，通过填表可以发现：
（1） 随 的变化而变化;
（2）每当长方形一边长x取定一个值时，面积S就
.
面积S
一边长x
有唯一确定的对应值
时间x
o
（x，0）
数形结合思想
3.患有“乳糖不耐症”的同学不能饮用某些品种的牛奶.有位同学饮用某品种牛奶后感到不适，下图是该同学体检时的心电图.图中点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.
生物电流y
在这个变化过程中，通过观察图形可以发现：
（1） 随 的变化而变化；
（2）每当时间x取定一个值时，心脏的生物电流y就
.
有唯一确定的对应值
生物电流y
时间x
在上面的每个问题中：
1.每个变化的过程中都存在着（ ）变量；
2.两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就( ).
两个
有唯一确定的对应值
自主学习
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数．
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
阐述概念
最早给出函数概念明确定义的是詹姆斯·格雷戈里。1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”
1775年数学家欧拉又给出一个新的函数定义：如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。
函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间，经历了由不全面到全面，不严密到严密的发展过程，才逐步形成了今天的函数概念。
1859年我国清代数学家李善兰翻译《代数学》一书
时首先用“函数”一词翻译“function”一词，他解释说：
“凡此变数函彼变数，则此为彼之函数”。中国古代用天、
地、人、物表示未知数。李善兰译《代数学》中有“凡式
中含天，为天之函数”这样的语句。
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、
转化问题和解决问题。
李善兰
追根溯源
例如，在“营养午餐”问题中，国家补助金额 y（y=3x）随学生数x的变化而变化，其中学生数x是自变量，补助金额y是x的函数.当x=60时的函数值y=180，当x=325时的函数值y=975.据统计，赣县农村中小学学生数约为70000人，那么国家每天大约需补助 元.
210000
注意：
其中在变化过程中居于主导地位的变量叫做自变量，
随之变化的另一个变量叫做自变量的函数（因变量）.
函数与函数值的区别：函数是变量，函数值是确定了自变量时函数所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值.
知识要点
例1 下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数 试写出用自变量表示函数的式子.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随之改变.
（2）秀水村的耕地面积是106m2 ,这个村人均占有耕地面积y随这个村人数n的变化而变化.
_______是自变量，_____是______的函数，
关系式是 .
_______是自变量，_____是______的函数，
关系式是 .
x
S
x
S=x2 (x>0)
n
y
n
106
n
Y=
(n为正整数）
2.在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.
1.函数关系式
用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数关系式,也称为函数的解析式.
合作探究
活动：探究函数的关系式及自变量的取值范围
分式有意义的条件是：
分母不等于零；
整式有意义的条件是：
字母取全体实数；
二次根式有意义的条件是：
被开方数为非负数.
知识要点
（1） y＝3x （2） y＝x2＋9
（3） y= （4） y＝
（1）x为任意实数（或全体实数）；
（3）由x-3≠0 得x≠3；
（4）由2x-8≥0得x≥4.
解：
（2） x为任意实数；
例2 求下列函数关系式中自变量x的取值范围：
巧记自变量的取值范围：
分式分母不为零，
偶次根下负不行；
零次幂底数不为零，
整式、奇次根全能行.
例3 为了让学生吃上放心、健康的营养午餐，某贫困县营养办要求食品公司必须用专车定期配送.该公司的一辆配送专车油箱中有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km.
（1）写出表示y与x的函数关系的式子；
（2）指出自变量x的取值范围；
（3）县城至某乡村中学路程为50 km，该汽车从县城往返该县乡村中学配送一次牛奶后油箱中还有多少油？
（4）汽车行驶多少km时，油箱中还有15L油？
解:(1) 函数关系式为: y = 50－0.1x
(2) 由x≥0及50－0.1x ≥0 得 0 ≤ x ≤ 500
∴自变量x的取值范围是: 0 ≤ x ≤ 500
(3)当 x = 100时,函数 y 的值为:y=50－0.1×100=40
因此,该汽车配送一次牛奶后油箱中还有40L油.
（4）当函数y=15时，有15= 50－0.1x ，解得自变量x=350， 所以当汽车行驶350km时，油箱中还有15L油.
表示函数关系的式子叫函数解析式
1.怎样列函数解析式
(1)对于一些简单问题的函数解析式，往往可以通过利用已有的公式列出.
例如:底边一定,三角形的面积随高的变化而变化. (a已知).
S＝ ah
1
2
怎样列函数解析式
(2)一些实际问题的函数解析式
先找出自变量x与函数y之间的等量关系
列出关于x, y的二元一次方程
然后用x表示y
最后还要考虑数量的实际意义
2.本题函数计算问题有两种：
第一种已知自变量的值求函数值；
第二种反过来已知函数值求自变量的值，实质上是解方程的问题.
一、知识
函数的定义及有关概念，如自变量、函数值等.函数是描述变化中的数量关系的数学工具.
二、能力
1.能正确辨别两个变量是否具有函数关系，分清函数关系中的自变量与函数；
2.能列出实际问题中的函数解析式，知道函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法）;
3.能确定函数自变量的取值范围.
三、思想方法
1.函数思想；2.数形结合思想；3.观察思考、比较归纳.
课堂小结
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第2课时 函数导学案
学习目标
理解函数的概念，能准确识别出函数关系中的自变量和函数，会用变化的量描述事物，初步学会列函数解析式，会确定自变量的取值范围.
重点：函数的概念 及确定自变量的取值范围.
难点：认识函数，领会函数的意义.
学习过程
创设情境：
请你举出生活中含有两个变量的变化过程，说明其中的常量和变量.
二、自主学习与合作探究：
请看书72——74页内容，完成下列问题：
思考书中第72页的问题，归纳出变量之间的关系.
完成书上第73页的思考，体会图形中体现的变量和变量之间的关系.
归纳出函数的定义，明确函数定义中必须要满足的条件.
归纳：一般的，在一个变化过程中，如果有______变量x和y，并且对于x的_______，y都有_________与其对应，那么我们就说x是__________，y是x的________.如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
补充小结：
（1）函数的定义：
（2）必须是一个变化过程；
（3）两个变量；其中一个变量每取一个值 ，另一个变量有且有唯一值对它对应.
三、巩固练习：
例1：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：千米）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/千米.
（1）写出表示y与x的函数关系式.
（2）指出自变量x的取值范围.
（3） 汽车行驶200千米时，油箱中还有多少汽油？
拓展提升
1、P74---75页：1，2题
2、判断下列变量之间是不是函数关系：
（1）长方形的宽一定时，其长与面积；（2）等腰三角形的底边长与面积；
（3）某人的年龄与身高；
3．写出下列函数的解析式．
（1）一个长方体盒子高3cm，底面是正方形，这个长方体的体积为y（cm3），底面边长为x（cm），写出表示y与x的函数关系的式子．
（2）汽车加油时，加油枪的流量为10L/min．
①如果加油前，油箱里还有5 L油，写出在加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min）之间的函数关系；
②如果加油时，油箱是空的，写出在加油过程中，油箱中的油量y（L）与加油时间x（min） 之间的函数关系．
（3）某种活期储蓄的月利率为0.16%,存入10000元本金，按国家规定，取款时，应缴纳利息部分的20%的利息税，求这种活期储蓄扣除利息税后实得的本息和y(元)与所存月数x之间的关系式.
（4）如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有n盆花，每个图案的花盆总数是S，求S与n之间的关系式.
四、反思小结
1.通过本节课的学习你有什么收获？把你的收获与全班同学分享.
2.你还有什么问题吗？
3.教师点评各小组的学习表现.
五、达标测试
1、一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒后的速度经测量如下表：
时间（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度（米/秒） 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
（3）当t每增加1秒时，v的变化情况相同吗？在哪1秒钟内，v的增加最大？
（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？
2、如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．
（1）填写下表：
层数 1 2 3 4 5 6
该层对应的点数
所有层的总点数
（2）写出第n层所对应的点数；
（3）如果某一层共96个点，你知道它是第几层吗；
（4）有没有一层，它的点数为100点；
（5）写出n层的六边形点阵的总点数．
3、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下表：
降价（元） 5 10 15 20 25 30 35
日销量（件） 780 810 840 870 900 930 960
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量？
（2）每降价5元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多少？
（3）如果售价为500元时，日销量为多少？
4、如图，△ABC底边BC上的高是6厘米，当三角形的定点C沿底边所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化．
1．在这个变化过程中，自变量是__________，因变量是__________．
2．如果三角形的底边长为x（厘米），三角形的面积y（厘米2）可以表示为__________．
3．当底边长从12厘米变到3厘米时，三角形的面积从__________厘米2到__________厘米2；当点C运动到什么位置时，三角形的面积缩小为原来的一半？
参考答案
1.解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是V随着T的增大而增大；
（3）当T每增加1秒，V的变化情况不相同，在第9秒时，V的增加最大；
（4）≈33.3（米/秒），由33.3-28.9=4.4，且28.9-24.2=4.7＞4.4，所以估计大约还需1秒．
2. 解：（1）如表：
层数 1 2 3 4 5 6
该层对应的点数 1 6 12 18 24 30
所有层的总点数 1 7 19 37 61 91
（2）第n层所对应的点数为n；（3）第n层有（6n-6）个点，则有6n-6=96，解得n=17，即在第17层；
（4）6n-6=100，解得n= ，不合题意，所以没有一层，它的点数为100点；
（5）第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n层六边形点阵的总点数为，
1+1×6+2×6+3×6+…+（n-1）×6=1+6[1+2+3+4+…+（n-1）]=1+6×=1+3n（n-1）．
第n层六边形的点阵的总点数为：1+3n（n-1）=3n2-3n+1．
3.解：∵日销量随降价的改变而改变，∴降价（元）是自变量，日销量是因变量．从表中可：日销量与降价之间的关系为：日销量=750+（原价-售价）÷5×30；则可以估计降价之前的日销量为780-30=750件，售价为500元时，日销量=750+（560-500）÷5×30=1110件．
4.解：（1）在这个变化过程中，自变量是BC，因变量是△ABC的面积，
（2）y=3x，
（3）y1=3×12=36，y2=3×3=9，当C运动到中点时，三角形的面积缩小为原来的一半
故答案为：BC，△ABC的面积，y=3x，36，9．
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