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2 正比例函数导学案
学习目标
1.理解正比例函数的概念及其图象的特征
2.能够画出正比例函数的图象
3.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系
4.能够利用正比例函数解决简单的数学问题
重点:正比例函数的概念
难点:正比例函数性质
学习过程
【课前准备】
1、还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？
①______________,②___________________③____________________
2、细读课本内容，完成课本“思考”，试着写出函数解析式：
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ .
【学习流程】
一、正比例函数的概念
观察“思考”中所得的四个函数；
（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量 的形式，
（2）一般地，形如 （ ）函数，叫做正比例函数，其中叫做 .
思考：为什么强调K是常数，K≠0 ？
(3)、列举日常生活中正比例函数的模型，你知道多少？
新 课 标 第 一 网 ( http: / / www.xkb1.com / )
练一练
（1）、下列函数哪些是正比例函数？
① y= ② y= ③ y=-+1 ④ y=2x ⑤y=x+1 ⑥ y=(a+1)x+2
(2)、若y=5x是正比例函数，则m=___________.
(3)、若y=(m-2)x是正比例函数，则m=____________.
二、正比例函数图像的画法与性质
1、用描点法画出下列函数的图像
（1）、 y=2x （2）、 y=-2x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … …
解：①列表得： 解：①列表得：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … …
②描点、连线： ②描点、连线：
（3）、 y=0.5x （4）、 y=-0.5x
解：①列表得： 解：①列表得：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … …
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=0.5x … …
②描点、连线： ②描点、连线：
2、活动二：观察上题画函数，完成下列问题
（1）正比例函数是一条 ，它一定经过 .
（2）因为过 点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（ ， ）和（ ， ）
（3）当k > 0时，直线经过 象限，随的增大而
当k〈0时，直线经过 象限，随的减小而
三、知识升华
既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？
试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像
（1）、 y=-3x （2） y=x
解：（1）当x=_____时，y=_____, 解：当x=_____时，y=_____,
取点_______和_________, 取点_______和_________,
（2）描点、连线得： （2）描点、连线得：
四、收获乐园
本节课你有哪些收获？请在小组内交流.
五、达标测试
1.下列关于x的函数中，是正比例函数的为（ ）
A．y=x2 B．y= C．y= D．y=
2.函数y=3x的图象经过（ ）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
3.正比例函数y=-2x的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
4.正比例函数y=（2k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-B．k＜-C．k=D．k=0
5.已知正比例函数y=（m-1）的图象在第二、第四象限，则m的值为___________．
6.如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y=ax，②y=bx，③y=cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为_____________.
7.关于x的正比例函数y=（m+2）x，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是_______________.
8.已知y与x-1成正比例，且x=3时y=4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＞4时，求x的取值范围；
（3）当y的值取什么范围时x≥6？
9.已知函数y=（|a|-3）x2+2（a-3）x是关于x的正比例函数．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）画出它的图象；
（3）若它的图象有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2，试比较y1和y2的大小．
参考答案
1.C 2.A 3.C 4.B 5.-2 6.a＜c＜b 7.m＞-2
8. 解：（1）∵y与x-1成正比例，∴关系式设为：y=k（x-1），∵x=3时，y=4，∴4=k（3-1），解得：k=2，∴y与x的函数关系式为：y=2（x-1）=2x-2．故y与x之间的函数关系式为：y=2x-2；（2）当y＞4时，2x-2＞4，解得x＞3，即x的取值范围是x＞3；（3）∵x≥6，∴2x≥12，∴2x-2≥10，∵y=2x-2，∴当y≥10时x≥6．
9.解：（1）∵y=（|a|-3）x2+2（a-3）x是关于x的正比例函数，
∴|a|-3=0且a-3≠0，解得a=-3，
∴y=-12x；
（2）当x=1时，y=-12，且函数图象过原点，
其图象如图所示：
（3）在y=-12x中，k=-12＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2时，y1＞y2．
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19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
问题1 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米设列车的平均速度为300千米每小时。考虑以下问题：
（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时？（保留一位小数）
（2）京沪高铁的行程ykm与时间th之间有何数量关系？
（3）从北京南站出发2.5小时后是否已过了距始发站1100千米的南京南站？
情景导入
（1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？
1318÷300≈4.4（h）
（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？
y=300t（0≤t≤4.4）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？
y=300×2.5=750（km）, 这是列车尚未 到 达 距 始 发 站 1 100km的南京站.
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：
（1）圆的周长l 随半径r的变化而变化．
（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化．
m=7.8v
自主学习
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，
一些练习本摞在一起的总厚度h
（单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．
（4）冷冻一个0°C的物体，使它每
分钟下降2°C，物体问题T（单位：°C）
随冷冻时间t（单位：min）的变化而变
化．
(3)h=0.5n
(4)T=-2t
认真观察以上出现的三个函数解析式，分别说出哪些是函数、常数和自变量．
函数解析式 函数 常量 自变量
l =2πr
h = 0.5n
T = -2t
这些函数解析式有什么共同点？
这些函数解析式都是常数与自变量的乘积的形式！
2π
r
l
h
T
t
0.5
-2
n
函数=常数×自变量
y
k
x
＝
m
v
7.8
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
思考
为什么强调k是常数，k≠0 呢？
y = k x (k≠0的常数)
比例系数
自变量
正比例函数
注: 正比例函数y=kx（k≠0）
的结构特征
①k≠0
②x的次数是1
（1）y=-0.1x （2）
（3）y=2x2
是正比例函数，
正比例系数为-0.1
是正比例函数，
正比例系数为0.5
不是正比例函数
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
例1 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
（4）y2=4x （5）y=-4x+3
（6）y=2(x－x2 )+2x2
不是正比例函数
不是正比例函数
是正比例函数，化简后为y=2x,正比例系数为2.
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
例1 判断下列函数解析式是否是正比例函数？如果是，指出其比例系数是多少？
例2（1）如果y=(k-1)x，是y关于x的正比例函数，则k满足________________.
（2）如果y=kxk-1，是y关于x的正比例函数，则k=__________.
（3）如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，则k=_________.
k≠1
2
4
（4）若 是关于x的正比例函数，m= .
-2
１.列表；
２.描点；
３.连线.
画图步骤：
合作探究
活动：探究正比例函数的图象和性质
y =2x
6
4
2
-2
-5
5
x
y
O
y =2x
y =x
y =4x
6
4
2
-2
-5
5
x
y
O
在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？
思考 对一般正比例函数y =kx，当k＞0时，它的图象形状是什么？位置怎样？
对应地，当自变量的值增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？
y =2x
y =x
y =4x
6
4
2
-2
-5
5
x
y
O
这些图象都是经过原点的 ，函数y=2x的图象从左向右 ，经过第 象限， y随x的增而 ；函数y= 的图象从左向右 ，经过第 象限，y随x的增大而 .
直线
上升
一、三
增大
y=
上升
一、三
增大
说一说
根据前面的方法，请你画出 y=-1.5x ， y=-4x的图象.
y=-4x
y=-1.5x
和你画的一样吗？
当k＜0 时，正比例函数的图象特征及性质又怎样呢？
y
x
O
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx 经过的象限 从左向右 y随x的增大而
k＞0 第一、三象限 上升 增大
k＜0 第二、四象限 下降 减小
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点 (1，k)，连线即可.
两点
作图法
知识要点
O
例 3 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1） y=-3x；（2）
x 0 1
y=-3x
0
-3
0
y=-3x
例4 若正比例函数y=(k-3)x满足下列条件，求出k的范围.
（1）y 随x的增大而增大；
（2）图象经过一、三象限；
（3）图象如图所示.
k>3
k>3
k<3
O
x
y
例5. 比较大小：
（1）k1 k2；（2）k3 k4；
（3）比较k1， k2， k3， k4大小，并用不等号连接．
＜
k1＜k2 ＜k3 ＜k4
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y =k4 x
-4
-2
2
y =k3 x
y =k2 x
y =k1 x
＜
课堂小结
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y=kx 经过的象限 从左向右 y随x的增大而
k＞0 第一、三象限 上升 增大
k＜0 第二、四象限 下降 减小
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