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2 一次函数与方程、不等式导学案
学习目标
1.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）之间的关系.
2.能用函数的观点解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）.
3.熟练地掌握用数形结合法解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）.
重点:
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）之间的关系.
难点：
用函数的观点解一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程（组）.
学习过程
一、阅读课本
二、自学指导
【活动1】
①已知函数y＝2x＋20，当函数y＝0时，求得自变量x＝ .
②解方程2x＋20＝0，求得x＝ .
①②的联系是：在函数y＝2x＋20中，当y＝0时，该函数就变成了方程 ,所以解方程2x＋20＝0就相当于在 中，已知 ，求 的值.
【活动2】
①已知函数y＝2x－4，当函数y＞0时，求得自变量x的取值范围是 .
②解不等式2x－4＞0,求得x .
①②的联系是：在函数y＝2x－4中，当函数y＞0时，该函数就变成了不等式 ，所以解不等式2x－4＞0就相当于在 中，已知 ，求 的取值范围.
【活动3】将下列二元一次方程转化成一次函数y＝kx＋b（k,b为常数，k≠0）的形式
① 3x＋5y＝8 ；② 2x－y＝1 .
归纳：任何一个二元一次方程都可转化成 的形式,所以任何一个二元一次方程的图象都是 .
【活动4】
解二元一次方程组得 ，所以直线3x＋5y＝8与直线2x－y＝1的交点
坐标为 .
三、知识归纳
1、解方程ax＋b＝0（a,b为常数，a≠0）等同于在一次函数y＝ax＋b（a,b为常数，a≠0）中
已知 ，求 .
2、从“数”的角度看：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解，就是一次函数 的函数值 （或 ）时，相应的自变量x的取值范围.
3、从“形”角度看：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解，就是一次函数 的图像在x轴 （或 ）时，相应的自变量x的取值范围.
4、一般地，每个二元一次方程组都对应两个 ，于是也对应两条 .从“数”的角度看，解方程组相当于考虑 ，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定 .即
5、
6、图示理解
两个二元一次方程组成的方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
课堂练习
1、在一次函数y＝x－9中，要得到y＝－2，则x应取（ ）
A.－7 B.7 C.11 D.－11
2、若一次函数y＝kx＋b图象与x轴相交点（3，0），则kx＋b＝0的解为（ ）
A.x＝－3 B. x＝3 C. x＝0 D. 不能确定
3、如图，函数y＝ax＋b与y＝kx－c的图象相交于点P，则根据图象
可得二元一次方程组 （第1题）
的解是 .
4、如右图所示：是一次函数y＝－的图象，那么不等式
－≤8的解集是（ ）
A.x＜ 10 B. x≥ 10 C. x≤ 10 D. x≤13
5、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（ ）
6、当x＝ 时，函数y＝2x＋3与y＝4x＋7的值相等，这个值是 .
7、直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限，与x轴的交点到原点的距离为2，则方程kx＋b＝0的解为
.
8、直线y＝x－1上的点在x轴上方时，自变量x的取值范围是 .
9、如图所示，直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交点A（6，4），
那么不等式k1x＋b1＞k2x＋b2的解集是 .
10、如图，直线y＝2x＋3与坐标轴相交于A、B两点.
求A、B两点的坐标；
五、课后反思
我的问题：
我小组的问题：
六、达标训练
1.如图，直线y1=x+b与y2=kx-1相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式x+b＞kx-1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的方程k1x+b=k2x+c的解x=____________.
3.如图，直线y=kx+b过A（-1，2）、B（-2，0）两点，则0≤kx+b≤-2x的解集为________.
4.如图，一次函数y=-x+m的图象和y轴交于点B，与正比例函数y=x图象交于点P（2，n）．
（1）求m和n的值；
（2）求△POB的面积.
5.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b）．
（1）求b的值；
（2）不解关于x，y的方程组，请你直接写出它的解；
（3）直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由.
6.已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．
7.在一条笔直的公路上有A、B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回，如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：
（1）写出A、B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
参考答案
1.A[提示：当x＞-1时，x+b＞kx-1，即不等式x+b＞kx-1的解集为x＞-1．]
2.1[提示：∵直线y=k1x+b与直线y=k2x+c的交点坐标为（1，-2），∴关于x的方程k1x+b=k2x+c的解为x=1．]
3.0≤kx+b≤-2x[提示：直线OA的解析式为y=-2x，由图象可知：当-2≤x≤-1时，0≤kx+b≤-2x.]
4.解：（1）把P（2，n）代入y=x得n=3，所以P点坐标为（2，3），把P（2，3）代入y=-x+m得-2+m=3，解得m=5，即m和n的值分别为5，3；（2）把x=0代入y=-x+5得y=5，所以B点坐标为（0，5），所以△POB的面积=×5×2=5.
5.解：（1）∵（1，b）在直线y=x+1上，∴当x=1时，b=1+1=2；
（2）方程组的解是；
（3）直线y=nx+m也经过点P．理由如下：∵当x=1时，y=nx+m=m+n=2，∴（1，2）满足函数y=nx+m的解析式，则直线经过点P.
6.解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），∴4=k+3，∴k=1，∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．（2）∵k=1，∴x+3≤6，∴x≤3，即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3.
7.解：（1）x=0时，甲距离B地30千米，所以，A、B两地的距离为30千米；
（2）由图可知，甲的速度：30÷2=15千米/时，乙的速度：30÷1=30千米/时，30÷（15+30）=，×30=20千米，所以，点M的坐标为（，20），表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米；（3）设x小时时，甲、乙两人相距3km，①若是相遇前，则15x+30x=30-3，解得x=，②若是相遇后，则15x+30x=30+3，解得x=，③若是到达B地前，则15x-30（x-1）=3，解得x=，所以，当≤x≤或≤x≤2时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系.
二元一次方程组的解 两直线交点坐标
x
y
o
p
·
y＝ax＋b
y＝kx－c
-1
-3
D
C
B
x
y
o
·
y1
y2
6
4
·
·
x
y
o
1
B
A
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19.2 函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
看看下面两个问题之间的关系：
（1）解方程：2x+20=0.
（2）自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
分析：
可以从下面三个方面思考：.
（1）对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看，有什么不同？
（2）从问题的本质上看，（1）和（2）有什么关系？
（3）若作出y=2x+20的图象，（1）和（2）有什么关系？
问题导入
问题：（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
◆对于2x+20=0和y=2x+20,从形式上看，有什么不同？
2x+20=0 y=2x+20
形式上
一元一次方程
一次函数
合作探究
活动1：探究一次函数与一元一次方程
问题：（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
◆从问题的本质上看，有什么不同？
2x+20=0 y=2x+20
本质上
（从“数”
的角度看）
解方程
2x+20=0,
得x=-10
当函数值y为0时，所对应的自变量x的值，也就是：当y=0时，即2x+20=0,解得
x=-10
从“数”上看
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程2x+20=0 当x为何值时，y=2x+20的值为0？
2 当x为何值时，
y=-2x+20的值为0？
3 解方程-2x+2=-1
4
解方程-2x+20=0
当x为何值时，
y=-2x+3的值为0
先转化为-2x+3=0
解方程ax+b=0
当x为何值时，
y=ax+b的值为0
问题：（1）解方程2x+20=0.
（2）当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
◆若作出y=2x+20的图象，（1）和（2）有什么关系？
从“形”的角度看：
直线y=2x+20的图象与x轴的交点坐标为（ ， ），
这说明方程2x+20=0的解是x= .
y=2x+20
(-10,0)
-10
0
-10
序号 一次函数问题 图像
1
2
3
4
从“形”上看
当x为何值时，y=2x+20的值为0
当x为何值时，y=2x-2的值为0
当x为何值时，y=2x+3的值为0
当x为何值时，y=ax+b的值为0
直线y=ax+b与x轴交点的横坐标（即ax+b=0)
一次函数与一元一次方程的关系
求ax+b=0(a,b是
常数，a≠0)的解
从“函数值”看
当x为何值时，
函数y=ax+b的
值为0
求ax+b=0(a,b是
常数，a≠0)的解
从“函数图象”看
求直线y=ax+b
与x轴交点的
横坐标
结论：前面两个问题实际上是同一个问题（只是表达形式不同）.
下面3个方程有什么共同点与不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1)2x+1=3
(2)2x+1=0
(3)2x+1=-1
2x+1=0的解
2x+1=3的解
2x+1=0的解
用函数的观点看
解一元一次方程ax+b=k就是求当函数值为k时对应的自变量x的值.
◆一元一次方程ax+b=k（a≠0)与函数y=ax+b
一次函数
与一元一
次方程的
关系
求ax+b=k(a≠0)的解
x为何值时y=ax+b的值为k
当函数y=ax+b纵坐标为k时，
所对应的横坐标x的值
（从“数”的角度）
（从“形”的角度）
知识要点
从“数”上看
（1）解不等式：2x-4>0；
（2）当x为何值时，函数y=2x-4的值大于0.
解：
（1）解得x>2；
（2）就是要使2x-4>0,解得x>2时函数y=2x-4的值大于0.
从数的角度看它们是同一个问题
议一议：
在上面的问题解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？
活动2：探究一次函数与一元一次不等式
(1)解不等式3x-6<0,可以看作
(2)“当自变量x取何值时，函数y=3x+8的值大于0”可看作
求一次函数y=3x-6的函数值小于0的自 变量的取值范围
求不等式3x+8>0的解集
从“形”上看
问题3. 如何用函数图象来解释：自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0
解：
画出直线y=2x-4
x>2
根据下列一次函数的图象，说出对应不等式的解集.
y=3x+6
(1)3x+6>0
-2
x>-2
3
(2)-x+3≥0
x≤3
y=-x+3
思考：
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
（1）3x+2>2;
（2）3x+2<0;
（3）3x+2<-1.
y=3x+2
y=2
y=-1
(1) x>0
(3) x<-1
★不等式ax+b>c的解集就是使函数y=ax+b的数值大于c的对应的自变量取值范围；
★不等式ax+by=3x+2
y=2
y=-1
知识要点
找出方程组所对应的一次函数图象的交点坐标.
1.结合前面，你能说说怎样用图象法解二元一次组吗？
写函数，作图象，找交点，下结论
2.如何从图象中找出二元一次方程组的解？
活动3：探究一次函数与二元一次方程组
归纳总结:
从数的角度看：
从形的角度看：
求二元一次方程组的解
自变量为何值时，两个函数的值相等并求函数值
求二元一次方程组的解
是确定两条直线交点的坐标
例 老师为了教学，需要在家上网查资料.电信公司提供了两种上网收费方式：
方式 1 ：按上网时间以每分钟 0.1 元计费；
方式 2 ：月租费 20 元，再按上网时间以每分钟 0.05 元计费.
请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算？
o
y/元
x /分
20
400
200
y1 =0.1x
y 2=0.05x+20
40
30
在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像
当 x = 400 时,
y1 = y2
当 x＞400 时,
y1 ＞ y2
当 0≤x＜400 时,
y1 ＜ y2
y1=0.1x
y2=0.05x+20
解：设上网时间为 x 分，若按方式 1 则收 元；
若按方式 2 则收 元.
y1=0.1x
y2=0.05x+20
由函数图像得：
当 时，y＞0，
即选方式 省钱；
当 时，y=0，
即选方式A、B ；
当 时，y＜0，
即选方式 省钱；
400
y=－0.05x+20
20
0
y
x
解法2：设上网时间为 x 分，方式 B与方式 A两种计费的差额为 y元,则 y 随 x 变化的函数关系式为 ________ . 化简得 ____.
在直角坐标系中画出这个函数的图像。
y=(0.05x+20) －0.1x
y=－0.05x +20
0≤x＜400
x=400
x＞400
A
B
一样
课堂小结
用函数的观点看，解一元一次方程ax+b=k就是求当函数值为k时对应的自变量x的值.
不等式ax+b>c的解集就是使函数y=ax+b的数值大于c的对应的自变量取值范围；反之，为小于.
方程的解
直线上的点的坐标
方程组的解
直线交点的坐标
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